2005年交通大学自主招生考试数学试题

1 2005 年交通大学自主招生考试数学试题年交通大学自主招生考试数学试题 一 填空题 每题一 填空题 每题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 已知方程的两根 满足 则 2 2 1 0 2 xpxpR p 1 x 2 x 44 12 22xx p 2 设 则 88 41 sincos 128 xx 0 2 x x 3 已知 且 则 nZ 12004 11 11 2004 n n n 4 如图 将 3 个 12 12的正方形沿邻边的中点剪开 分成两部分 将这 6 部分接在一个边长为cmcm 的正六边形上 若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图 则该多面体的体积为 6 2 5 已知 则 2 3333xy xyQ x y 6 化简 12 2222 2468 12 n n 7 若 且 则 3 1z zC 32 2220zzz 8 一只蚂蚁沿 1 2 3 立方体表面爬 从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 9 4 封不同的信放入 4 个写好地址的信封中 全装错的概率为 恰好只有一封信装错的概率为 2 10 已知等差数列中 则 n a 371119 44aaaa 5916 aaa 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 50 分 分 1 已知方程的三根分别为 且 是不全为零的有理数 求 32 0 xaxbxc abcabca 的值 bc 2 是否存在三边为连续自然数的三角形 使得 1 最大角是最小角的两倍 2 最大角是最小角的三倍 若存在 分别求出该三角形 若不存在 请说明理由 3 已知函数的最大值为 9 最小值为 1 求实数 的值 2 2 8 1 axxb y x ab 4 已知月利率为 采用等额还款方式 若本金为 1 万元 试推导每月等额还款金额关于的函数ymy 关系式 假设贷款时间为 2 年 5 对于数列 1 3 3 3 5 5 5 5 5 即正奇数有个 是否存在整数 使得对于任意 n akkrst 正整数 都有恒成立 表示不超过的最大整数 n n arnst xx 3 20052005 年交通大学自主招生考试试题参考答案年交通大学自主招生考试试题参考答案 一 填空题 每题一 填空题 每题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 答案 1 8 2 解答 2 2 2 44222 12121212 24 11 222 4 xxxxx xx xp pp A 当 时取等号 4 4 1 11 22222 22 p p Ap 1 8 2 2 答案 或 6 3 解答 设 因为 所以 sin cosxxt 0 2 x 1 0 2 t 由 得 即 88 41 sincos 128 xx 2 24 41 122 128 tt 42 256512870tt 解得或 舍 所以 解得或 2 3 16 t 2 29 16 t 3 sin cos 4 xx x 6 3 3 答案 2005 解答 比较得 1 12004 111 111 12004 n n nn 2005n 4 答案 864 3 cm 解答 如图 所得到的多面体相当于将四面体截去三个角 VABC 1 VADI 2 VBEF 这三个小四面体都与相似 相似比为 且的三条侧棱两两互 3 VCGH VABC 1 3 VABC 4 相垂直 所以多面体体积为18VAVBVC 3 3 181 13 864 63 5 答案 3 1 2 2 解答 由 得 2 33 33xy 232xyxy 又因为 且 所以 解得 xyQ xy 2xy 3 4 xy 3 2 x 1 2 y 6 答案 1 121 n n n A 提示 按的奇偶性分类讨论 或找规律 n 7 答案 25 1 19 1 z z 解答 由 得 故或 0 3 1z 2 110zzz 1z 2 1zz 又因为 所以 3223 22202118zzzzzz 当时 上式 25 当 0 时 则上式 19 1z 2 1zz 8 答案 3 2 提示 看侧面展开图 有三种不同情况 9 答案 0 3 8 解答 全装错的概率是 只有一封信装错是不可能事件 概率是 0 4 93 8P 10 答案 33 解答 37111911911910 44224424411aaaaaaaaa 则 59161011910 333aaaaaaa 5 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 50 分 分 1 解答 由韦达定理 得 abca abbccab abcc 1 2 3 若 则 即或 0c 2 ba abb 2 22aa 0a 1a 1 2 0a b c 若 由 3 式 得 代入 2 得 而由 1 得 0c 1ab 1c abb 2cab 22 1 231 2 b a bababb ab 即 22 2 2 22bba b 3 1220bbb 若有有理根 其中 则 3 220bb q p 1p q pqZ 323 2qp qp 为偶数 令 q2qk kZ 代入得 也为偶数 这与矛盾 323 22pp kk p 1p q 无有理根 3 220bb 10b 1b 1 1 1a b c 综合上述 或 1 2 0a b c 1 1 1 2 解答 设三角形三边长为 它们所对角分别为 1n n 12 nnnZ A BC ABC 1 由余弦定理 得 22 2 114 cos 2121 nnnn A n nn 22 2 114 cos 2121 nnnn C n nn 若 则 2CA 2 cos2cos1CA 代入化简 得 即 32 2717100nnn 21250nnn 6 该三角形三边长为 4 5 6 5n 2 如图 设 则 3 3 过点作交于点 使 A CA CCDABDACD 为等腰三角形ACD 又 也为等腰三角形 2BDC BCDBCD 1BDBCn 2ADDC 1 coscos2 1 BCD n coscos 4 n DCA 整理 得 无正整数 2 1 1 18 n n 2 80n nn n 满足条件的三角形不存在 3 解答 将函数表达式整理 得 2 80ya xxyb 由判别式 得 6440yayb 2 160yab yab 依题意 上述不等式解集为 1 9 经检验 满足题意 10 5 169 ab ab ab 5ab 4 解答 依题意 24 11ymmy 24 23 11 1