列举法求概率

24 224 2 列举法求概率列举法求概率 教学目标 教学目标 知识与技能目标 学习用知识与技能目标 学习用列表法 画树形图法列表法 画树形图法计算概率 并通过比较概率大小作出合计算概率 并通过比较概率大小作出合 理的决策 理的决策 过程与方法目标 经历实验 列表 统计 运算 设计等活动 学生在具体情境中分过程与方法目标 经历实验 列表 统计 运算 设计等活动 学生在具体情境中分 析事件 计算其发生的概率 渗透数形结合 分类讨论 由特殊到一般的思想 提高析事件 计算其发生的概率 渗透数形结合 分类讨论 由特殊到一般的思想 提高 分析问题和解决问题的能力 分析问题和解决问题的能力 情感与态度目标 通过丰富的数学活动 情感与态度目标 通过丰富的数学活动 交流交流成功的经验 体验数学活动充满着探索成功的经验 体验数学活动充满着探索 和创造 体会数学的应用价值 培养积极思维的学习习惯 和创造 体会数学的应用价值 培养积极思维的学习习惯 教学重点 习运用列表法或树形图法计算事件的概率 教学重点 习运用列表法或树形图法计算事件的概率 教学难点 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举 解决较复杂事件概率的计教学难点 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举 解决较复杂事件概率的计 算问题 算问题 教学过程教学过程 1 1 创设情景 发现新知创设情景 发现新知 教材是通过教材是通过 P151P151 P152P152 的例的例 5 5 例 例 6 6 来介绍列表法和树形图法的 来介绍列表法和树形图法的 例例 5 5 教材 教材 P151P151 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 1 1 两个骰子的点数相同 两个骰子的点数相同 2 2 两个骰子的点数的和是两个骰子的点数的和是 9 9 3 3 至少有一个骰子的至少有一个骰子的 点数为点数为 2 2 这个例题难度较大 事件可能出现的结果有这个例题难度较大 事件可能出现的结果有 3636 种 若首先就拿这个例题给学生讲种 若首先就拿这个例题给学生讲 解 大多数学生理解起来会比较困难 所以在这里 我将新课的引入方式改为了一个解 大多数学生理解起来会比较困难 所以在这里 我将新课的引入方式改为了一个 有实际背景的转盘游戏 前一课已有例 作基础 有实际背景的转盘游戏 前一课已有例 作基础 1 1 创设情景 创设情景 引例 为活跃联欢晚会的气氛 组织者设计了以下转盘游戏 引例 为活跃联欢晚会的气氛 组织者设计了以下转盘游戏 A A B B 两个带指针的两个带指针的 转盘分别被分成三个面积相等的扇形 转盘转盘分别被分成三个面积相等的扇形 转盘 A A 上的数字分别是上的数字分别是 1 1 6 6 8 8 转盘 转盘 B B 上的数上的数 字分别是字分别是 4 4 5 5 7 7 两个转盘除表面数字不同外 其他完全相同 两个转盘除表面数字不同外 其他完全相同 每次选择 每次选择 2 2 名同学名同学 分别拨动分别拨动 A A B B 两个转盘上的指针 使之产生旋转 指针停止后所指数字较大的一方为两个转盘上的指针 使之产生旋转 指针停止后所指数字较大的一方为 获胜者 负者则表演一个节目 若箭头恰好停留在分界线上 则重转一次 获胜者 负者则表演一个节目 若箭头恰好停留在分界线上 则重转一次 作为游戏 作为游戏 者 你会选择哪个装置呢 并请说明理由 者 你会选择哪个装置呢 并请说明理由 设计意图设计意图 选用这个引例 是基于以下考虑 以贴近学生生活的联欢晚会为背选用这个引例 是基于以下考虑 以贴近学生生活的联欢晚会为背 景 创设转盘游戏引入 能在最短时间内激发学生的兴趣 引起学生高度的注意力 景 创设转盘游戏引入 能在最短时间内激发学生的兴趣 引起学生高度的注意力 进入情境 进入情境 2 2 学生分组讨论 学生分组讨论 探索交流探索交流 在这个环节里 首先要求在这个环节里 首先要求学生分组讨论 学生分组讨论 探索交流 然后引导学生探索交流 然后引导学生将将实际问题转化为实际问题转化为 数学问题 即 数学问题 即 停止转动后 哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢 停止转动后 哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢 由于事件的随机性 我们必须考虑事件发生概率的大小 此时由于事件的随机性 我们必须考虑事件发生概率的大小 此时我首先引导学生观我首先引导学生观 看转盘动画 看转盘动画 同学们会发现同学们会发现这个游戏涉及这个游戏涉及 A A B B 两转盘 两转盘 即涉及即涉及 2 2 个因素 与前一课个因素 与前一课 所讲授所讲授单转盘概率问题 教材单转盘概率问题 教材 P148P148 例例 2 2 相比 可能产生的结果数目增多了 列举时相比 可能产生的结果数目增多了 列举时 1 6 8 A 4 5 7 B 图 2 联欢晚会游戏转盘 很容易造成重复或遗漏 怎样避免这个问题呢 很容易造成重复或遗漏 怎样避免这个问题呢 实际上 可以将这个游戏分两步进行 实际上 可以将这个游戏分两步进行 于是 指导学生构造表格于是 指导学生构造表格 3 3 指导学生构造表格 指导学生构造表格 A A B B4 45 57 7 1 1 6 6 8 8 首先考虑转动首先考虑转动 A A 盘 指针可能指向盘 指针可能指向 1 1 6 6 8 8 三个数字中的任意一个 可能出现的三个数字中的任意一个 可能出现的 结果就会有结果就会有 3 3 个 接着考虑转动个 接着考虑转动 B B 盘 当盘 当 A A 盘指针指向盘指针指向 1 1 时 时 B B 盘指针可能指向盘指针可能指向 4 4 5 5 7 7 三个数字中的任意一个 这是列举法的简单情况 当三个数字中的任意一个 这是列举法的简单情况 当 A A 盘指针指向盘指针指向 6 6 或或 8 8 时 时 B B 盘指针同样可能指向盘指针同样可能指向 4 4 5 5 7 7 三个数字中的任意一个 一三个数字中的任意一个 一共会产生共会产生 9 9 种不同的结果 种不同的结果 设计意图设计意图 这样既分散了难点 又激发了学生兴趣 渗透了转化的数学思想 这样既分散了难点 又激发了学生兴趣 渗透了转化的数学思想 4 4 学生独立填写表格 通过观察与计算 得出结论 即列表法 学生独立填写表格 通过观察与计算 得出结论 即列表法 A A B B4 45 57 7 1 1 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 7 7 6 6 6 6 4 4 6 6 5 5 6 6 7 7 8 8 8 8 4 4 8 8 5 5 8 8 7 7 从表中可以发现 从表中可以发现 A A 盘数字大于盘数字大于 B B 盘数字的结果共有盘数字的结果共有 5 5 种 种 P A P A 数较大数较大 9 5 P BP B 数较大数较大 9 4 P A P A 数较大数较大 P BP B 数较数较 大大 选择选择 A A 装置的获胜可能性较大 装置的获胜可能性较大 在学生填写表格过程中 注意向学生强调数对的有序性 在学生填写表格过程中 注意向学生强调数对的有序性 由于游戏是分两步进行的 我们也可用其他的方法来列举 即先转动 盘 可能由于游戏是分两步进行的 我们也可用其他的方法来列举 即先转动 盘 可能 出现出现 1 1 6 6 8 8 三种结果 第二步考虑转动 盘 可能出现三种结果 第二步考虑转动 盘 可能出现 4 4 5 5 7 7 三种结果 三种结果 5 5 解法二 解法二 由图知 可能的结果为 由图知 可能的结果为 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 7 7 6 6 4 4 6 6 5 5 6 6 7 7 8 8 4 4 8 8 5 5 8 8 7 7 共计 共计 9 9 种 种 P A P A 数较大数较大 9 5 P BP B 数较大数较大 9 4 P A P A 数较大数较大 P BP B 数较大数较大 选择选择 A A 装置的获胜可能性较大 装置的获胜可能性较大 然后 引导学生对所画图形进行观察 若将图形倒置 你会联想到什么 这个图然后 引导学生对所画图形进行观察 若将图形倒置 你会联想到什么 这个图 形很像一棵树 所以称为树形图 在幻灯片上放映 形很像一棵树 所以称为树形图 在幻灯片上放映 列表和树形图是列举法求概率的 列表和树形图是列举法求概率的 两种常用的方法 两种常用的方法 设计意图设计意图 自然地学生感染了分类计数和分步计数思想 自然地学生感染了分类计数和分步计数思想 2 2 自主分析 再探新知自主分析 再探新知 168 开始 A 装置 457 457 457 B 装置 通过引例的分析 学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解 为了帮助学通过引例的分析 学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解 为了帮助学 生熟练掌握这两种方法 我选用了下列两道例题 本节教材生熟练掌握这两种方法 我选用了下列两道例题 本节教材 P151P151 P152P152 的例的例 5 5 和例和例 6 6 例例 1 1 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 同时掷两个质地均匀的骰子 计算下列事件的概率 1 1 两个骰子的点数相同 两个骰子的点数相同 2 2 两个骰子的点数的和是两个骰子的点数的和是 9 9 3 3 至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为 2 2 例例 1 1 是教材上一道是教材上一道 掷骰子掷骰子 的问题 有了引例作基础 学生不难发现 引例涉及的问题 有了引例作基础 学生不难发现 引例涉及 两个转盘 这里涉及两个骰子 实质都是涉及两个因素 于是 学生通过类比列出下两个转盘 这里涉及两个骰子 实质都是涉及两个因素 于是 学生通过类比列出下 列表 列表 第第 2 2 个个 第第 1 1 个个 1 12 23 34 45 56 6 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 5 5 2 2 6 6 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 5 5 3 3 6 6 4 4 4 4 1 1 4 4 2 2 4 4 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 4 4 6 6 5 5 5 5 1 1 5 5 2 2 5 5 3 3 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 1 1 6 6 2 2 6 6 3 3 6 6 4 4 6 6 5 5 6 6 6 6 由上表可以看出 同时掷两个骰子 可能出现的结果有由上表可以看出 同时掷两个骰子 可能出现的结果有 3636 个 它们出现的可能性个 它们出现的可能性 相等 由所列表格可以发现 相等 由所列表格可以发现 1 1 满足两个骰子的点数相同 记为事件 满足两个骰子的点数相同 记为事件 A A 的结果有 的结果有 6 6 个 即 个 即 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 所以 所以 P A P A 36 6 6 1 满足条件的结果在表格的对角线上满足条件的结果在表格的对角线上 2 2 满足两个骰子的点数的和是 满足两个骰子的点数的和是 9 9 记为事件 记为事件 B B 的结果有 的结果有 4 4 个 即 个 即 3 3 6 6 4 4 5 5 5 5 4 4 6 6 3 3 所以 所以 P B P B 36 4 9 1 满足条件的结果在 满足条件的结果在 3 3 6 6 和 和 6 6 3 3 所在的斜线上 所在的斜线上 3 3 至少有一个骰子的点数为 至少有一个骰子的点数为 2 2 记为事件 记为事件 C C 的结果有 的结果有 1111 个 所以个 所以 P C P C 36 11 满足条件的结果在数字满足条件的结果在数字 2 2 所在行和所在行和 2 2 所在的列上所在的列上 接着 引导学生进行题后小结 接着 引导学生进行题后小结 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时 通常采用列表法 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时 通常采用列表法 运用列表法求概率的步骤如下 运用列表法求概率的步骤如下 列表列表 通过表格计数 确定公式通过表格计数 确定公式 P A P A n m 中中 m m 和和 n n 的值 的值 利用公式利用公式 P A P A n m 计算事件的概率 计算事件的概率 分析到这里 我会问学生 分析到这里 我会问学生 例例 1 1 题目中的题目中的 掷两个骰子掷两个骰子 改为改为 掷三个骰子掷三个骰子 还可以使用列表法来做吗 还可以使用列表法来做吗 由此引出下一个例题 由此引出下一个例题 例例 2 2 甲口袋中装有甲口袋中装有 2 2 个相同的球 它们分别写有字母个相同的球 它们分别写有字母 A A 和和 B B 乙口袋中 乙口袋中 3 3 个相个相 同的球 它们分别写有字母同的球 它们分别写有字母 C C D D 和和 E E 丙口袋中 丙口袋中 2 2 个相同的球 它们分别写有字母个相同的球 它们分别写有字母 H H 和和 I I 从三个口袋中各随机地取出 从三个口袋中各随机地取出 1 1 个球 个球 1 1 取出的三个球上恰好有 取出的三个球上恰好有 1 1 个 个 2 2 个和个和 3 3 个元音字母的概率分别为多少 个元音字母的概率分别为多少 2 2 取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少 取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少 例例 2 2 与前面两题比较 有所不同 要从三个袋子里摸球 即涉及到与前面两题比较 有所不同 要从三个袋子里摸球 即涉及到 3 3 个因素 此个因素 此 时同学们会发现用列表法就不太方便 可以尝试树形图法 时同学们会发现用列表法就不太方便 可以尝试树形图法 本游戏可分三步进行 分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键 本游戏可分三步进行 分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 1212 个 即 个 即 幻灯片上用颜色区分 幻灯片上用颜色区分 这些结果出现的可能性相等 这些结果出现的可能性相等 1 1 只有一个元音字母的结果 黄色 有 只有一个元音字母的结果 黄色 有 5 5 个 即个 即 ACHACH ADHADH BCIBCI BDIBDI BEHBEH 所以所以 12 5 P 一个元音 有两个元音的结果 白色 有有两个元音的结果 白色 有 4 4 个 即个 即 ACIACI ADIADI AEHAEH BEIBEI 所以 所以 3 1 12 4 P 两个元音 全部为元音字母的结果 绿色 只有全部为元音字母的结果 绿色 只有 1 1 个 即个 即 AEIAEI 所以 所以 12 1 P 三个元音 2 2 全是辅音字母的结果 红色 共有 全是辅音字母的结果 红色 共有 2 2 个 即个 即 BCHBCH BDHBDH 所以 所以 6 1 12 2 P 三个辅音 通过例通过例 2 2 的解答 很容易得出题后小结 的解答 很容易得出题后小结 当一次试验要涉及当一次试验要涉及 3 3 个或更多的因素时 通常采用个或更多的因素时 通常采用 画树形图画树形图 运用树形图法 运用树形图法 求概率的步骤如下 幻灯片 求概率的步骤如下 幻灯片 画树形图画树形图 列出结果 确定公式列出结果 确定公式 P A P A n m 中中 m m 和和 n n 的值 的值 利用公式利用公式 P A P A n m 计算事件概率 计算事件概率 接着我向学生提问 到现在为止 我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况 接着我向学生提问 到现在为止 我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况 列表法和画树形图法求概率有什么优越性 什么时候使用列表法和画树形图法求概率有什么优越性 什么时候使用 列表法列表法 方便 什么时候方便 什么时候 使用使用 树形图法树形图法 更好呢 更好呢 设计意图设计意图 通过对上述问题的思考 可以加深学生对新方法的理解 更好的认通过对上述问题的思考 可以加深学生对新方法的理解 更好的认 A A C C H H A A C C I I A A D D H H A A D D I I A A E E H H A A E E I I B B C C H H B B D D H H B B D D I I B B E E H H B B E E I I B B C C I I A CDE HIHIHI B CDE HIHIHI 甲 乙 丙 识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观 快捷 准确地获取所需信息 识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观 快捷 准确地获取所需信息 有利于学生根据实际情况选择正确的方法 有利于学生根据实际情况选择正确的方法 3 3 应用新知 深化拓展应用新知 深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况 提高应用所学知识解决问题的为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况 提高应用所学知识解决问题的 能力 在此我选择了教材能力 在此我选择了教材 P139P139 课后练习作为随堂练习 课后练习作为随堂练习 1 1 经过某十字路口的汽车 它可能继续前行 也可能向左或向右 如果这三种 经过某十字路口的汽车 它可能继续前行 也可能向左或向右 如果这三种 可能性大小相同 三辆汽车经过这个十字路口 求下列事件的概率 可能性大小相同 三辆汽车经过这个十字路口 求下列事件的概率 三辆车全部继续前行 三辆车全部继续前行 两辆车向右转 一辆车向左转 两辆车向右转 一辆车向左转 至少有两辆车向左转 至少有两辆车向左转 随堂练习 随堂练习 1 1 是一道与实际生活相关的交通问题 可用树形图法来解决 是一道与实际生活相关的交通问题 可用树形图法来解决 2 2 在 在 6 6 张卡片上分别写有张卡片上分别写有 1 1 6 6 的整数 随机地抽取一张后放回 再随机地的整数 随机地抽取一张后放回 再随机地 抽取一张 那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少 抽取一张 那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少 通过解答随堂练习 通过解答随堂练习 2 2 学生会发现列出的表格和例 学生会发现列出的表格和例 1 1 的表格完全一样 不同的的表格完全一样 不同的 是 变换了实际背景 设置的问题也不一样 这时 我提出 我们是否可以根据这个是 变换了实际背景 设置的问题也不一样 这时 我提出 我们是否可以根据这个 表格再编一道用列举法求概率的题目来呢 表格再编一道用列举法求概率的题目来呢 为了进一步拓展思维 我向学生提出了这样一个问题 供学生课后思考 为了进一步拓展思维 我向学生提出了这样一个问题 供学生课后思考 在前面的引例中 转盘的游戏规则是不公平的 你能把它改成一个公平的游戏吗 在前面的引例中 转盘的游戏规则是不公平的 你能把它改成一个公