拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 引言引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个 是微分学 应用的桥梁 在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用 研究拉格朗日中值定理的 证明方法 力求正确地理解和掌握它 是十分必要的 拉格朗日中值定理证明的关键在于 引入适当的辅助函数 实际上 能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个 因此 如果以引入辅助函数的个数来计算 证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个 但事 实上若从思想方法上分 我们仅发现五种引入辅助函数的方法 首先对罗尔中值定理拉格 朗日中值定理及其几何意义作一概述 1 罗尔罗尔中值定理中值定理 Rolle 如果函数满足条件 在闭区间上连续 在开区间内可导 xf 1 ba 2 ba 3 则在内至少存在一点 使得 bfaf ba 0 f 罗尔中值定理的几何意义 如果连续光滑曲线在点处的纵坐标相等 xfy BA 那么 在弧 上至少有一点 曲线在点的切线平行于轴 如图 1 AB Cf Cx 注意注意 定理中三个条件缺少其中任何一个 定理的结论将不一定成立 但不能认为定 理条件不全具备 就一定不存在属于的 使得 这就是说定理的条件是 ba 0 f 充分的 但非必要的 2 拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理 lagrange 若函数满足如下条件 在闭区间上连续 在开区间内可导 xf 1 ba 2 ba 则在内至少存在一点 使 ba ab afbf f 拉格朗日中值定理的几何意义 函数在区间上的图形是连续光滑曲线 xfy ba 1 弧 上至少有一点 曲线在点的切线平行于弦 如图 2 ABCCAB 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见 若在闭区间两端点的函数值相等 xf ba 即 则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理 换句话说 罗尔中值定理是拉格 bfaf 朗日中值定理的一个特殊情形 正因为如此 我们只须对函数作适当变形 便可借助 xf 罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理 3 3 证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理 3 13 1 教材证法教材证法 证明证明 作辅助函数 f bf a F xf xx ba 显然 函数满足在闭区间上连续 在开区间内可导 而 xF ba ba 且 于是由罗尔中值定理知道 至少存在一点 使 F aF b ba 即 0 ab afbf fF ab afbf f 3 23 2 用作差法引入辅助函数法用作差法引入辅助函数法 证明证明 作辅助函数 ax ab afbf afxfx 显然 函数在闭区间上连续 在开区间内可导 因此 x ba ba 0 ba 由罗尔中值定理得 至少存在一点 使得 即 ba 0 ab afbf f ab afbf f 推广推广 1 1 如图 3 过原点作 由与直线对应的函数之差构成辅助OOTAB xfOT 函数 因为直线的斜率与直线的斜率相同 即有 x OTAB 的直线方程为 于是引入的辅助函 ab afbf KK ABOT OT x ab afbf y 数为 证明略 x ab afbf xfx 推广推广 2 2 如图 4 过点作直线 直线的方程为 Oa B AAB B A 由与直线函数之差构成辅助函数 于是有 ax ab afbf y xf B A x 2 证明略 ax ab afbf xfx 推广推广 3 3 如图 5 过点作直线 直线的方程为 Ob B AAB B A 由与直线 bx ab afbf y xf 函数之差构成辅助函数 于是有 A B x bx ab afbf xfx 事实上 可过轴上任已知点作y mO 得直线为 B AAB mx ab afbf y 从而利用与直线的函数之差构成满足 xf B A 罗尔中值定理的辅助函数都可以用来证明拉 x 格朗日中值定理 因是任意实数 显然 这样的辅助函数有无多个 m 3 33 3 用对称法引入辅助函数法用对称法引入辅助函数法 在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于轴的对称函数也有无数个 显然这些x 函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 从几何意义上看 上面的辅助函数是用曲线函数 减去直线函数 反过来 用直线函数减曲线函数 即可得与之对称的辅助函数 xf xf 如下 xfax ab afbf afx xfx ab afbf x 3 xfax ab afbf x xfbx ab afbf x 等等 这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个 这里仅以 为例给出 拉格朗日中值定理的证明 证明证明 显然 函数满足条件 在闭区间上连续 在开区间内 x 1 ba 2 ba 可导 由罗尔中值定理知 至少存在一点 使 3 ab abfbaf ba ba 得 从而有 显然可用其它辅助函 0 f ab afbf ab afbf f 数作类似的证明 3 43 4 转轴法转轴法 由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出 若把坐标系逆时针旋转适当的角度 xoy 得新直角坐标系 若平行于弦 则在新的坐标系下满足罗尔中值定理 XOYOXAB xf 由此得拉格朗日中值定理的证明 证明证明 作转轴变换 为求出 解出 sincosYXx cossinYXy 得 YX xXxfxyxX sincossincos xYxfxyxY cossincossin 由得 从而 bYaY cossincossinbfbafa 取满足上式即可 由在闭区间上连续 在开区间 ab afbf tan xf ba 内可导 知在闭区间上连续 在开区间内可导 且 因 ba xY ba ba bYaY 此 由罗尔中值定理知 至少存在一点 使得 ba 0cossin fY 即 ab afbf f tan 3 53 5 用迭加法引入辅助函数法用迭加法引入辅助函数法 让迭加一个含待顶系数的一次函数 例如令 xfmkxy 或 通过使 确定出 即 mkxxfx mkxxfx ba mk 可得到所需的辅助函数 4 例如由 令 mkxxfx ba 得 从而 而可取任意实数 这样 mkbbfmkaaf ab afbf k m 我们就得到了辅助函数 由的任意性易知迭加法可构造出无 mx ab afbf x m 数个辅助函数 这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理 3 63 6 用行列式引入辅助函数法用行列式引入辅助函数法 证明证明 构造一个含且满足罗尔中值定理的函数 关键是满足 xf x ba 我们从行列式的性质想到行列式的值在时恰恰均为 0 因此可设 1 1 1 xf x af a bf b xa xb 易证 展开得 1 1 1 xf x xaf a bf b xf b xbf aaf xaf bf a xbf x 因为在闭区间上连续 在开区间内可导 所以在闭区间上连续 xf ba ba x ba 在开区间内可导 且 所以由罗尔中值定理知 至少存在一点 ba 0ab 使得 因为 ba 0 0 fbabfaf 即 ab afbf f 3 73 7 数形相结合法数形相结合法 引理引理 在平面直角坐标系中 已知三个顶点的坐标分别为 ABC A a f a 则面积为 B b f b C c f cABC 1 1 1 2 ABC af a Sbf b acf c 这一引理的证明在这里我们不做介绍 下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一 种新的证明 这种方法是将数形相结合 考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定 理的条件 如图 设是直线与从点开始的第一个交点 则构造 c f cAB yf x A 2 1 1 1 4 1 af a xcf c xf x 5 易验证满足罗尔中值定理的条件 在闭区间上连续 在开区间内可导 x a c a c 而且 则至少存在一点 使 即 ba ba 0 0 11 1 1 1 1 1 f cfc afa f cfc afa 但是 这是因为 如果 1 10 1 af a cf c f 1 10 1 af a cf c f 则 这样使得成为直线与从点 ff cf cf a cca f AB yf x A 的第一个交点 与已知矛盾 故 即 若只从满足罗尔中值定理 0 1 1 1 f cfc afa ac afcf ab afbf f 的要求出发 我们可以摈弃许多限制条件 完全可以构造来解决问 1 1 1 af a xbf b xf x 题 从而使形式更简洁 而且启发我们做进一步的推广 可构造 来证明柯西中值定理 1 1 1 g af a xg bf b g xf x 3 83 8 区间套定理证法区间套定理证法 证明证明 将区间二等分 设分点为 作直线 它与曲线 Ia b 1 1 x yf x 相交于 过作直线 弦 此时 有如下两种可能 1 M 1 M 11L M baM M 若直线与曲线仅有一个交点 则曲线必在直线 的一侧 11 M L yf x 1 M 11 M L 否则 直线不平行于直线 由于曲线 11 M L ab M M 在点处有切线 根据曲线上一点切线的定 yf x 1 M 6 义 直线就是曲线在点处的切线 从而 由作法 11 M L yf x 1 M ab afbf f 1 知 在区间内部 取 1 a b 1 于是有 ab afbf f 若直线与曲线还有除外的其 11 M L yf x 1 M 他交点 设为另外一个交点 这时选取以 111 Nx y 为端点的区间 记作 有 11 x 111 Ia b 1 11 2 ba lI ba 把作为新的 选用区间 将二等分 并进行与上 11 11 f bf af bf a baba 1 I 1 I 面同样的讨论 则要么得到所要求的点 要么又得到一个新 选用区间 如此下去 2 I 有且只有如下两种情形中的一种发生 a 在逐次等分 选用区间 的过程中 遇到某一个分点 作直线它与曲线 k k x 交于 过点作直线 弦 它与曲线只有一个交点 yf x k M k M kkL M b MM yf x 此时取即为所求 k M k b 在逐次等分 选用区间 的过程中 遇不到上述那种点 则得一闭区间序列 n I 满足 12 III nnn baI 0 2 nn n ba ban nn nn f bf af bf a baba 由 知 构成区间套 根据区间套定理 存在唯一的一点 n I 3 2 1 nIn 此点即为所求 事实上 存在 n n n n balimlim f f ab afbf nn nn n lim 由 所以 从 选用区间 lim n nn nn f bf af bf a baba ab afbf f 7 的取法可知 确在的内部 a b 3 93 9 旋转变换法旋转变换法 证明证明 引入坐标旋转变换 AcossinxXY cossinYXy 因为 22 cossin cossin10 sincos 所以有逆变换 A A cossincossinXxyxf xX x sincossincosYxyxf xY x 由于满足条件 在闭区间上连续 在开区间内可导 因此 式中函 xf 1 ba 2 ba 数在闭区间上连续 在开区间内可导 为使满足罗尔中值定理的第 Y x ba ba Y x 三个条件 只要适当选取旋转角 使 即 Y aY b 也即 sincossincosaf abf b tan f bf a ba 这样 函数就满足了罗尔中值定理的全部条件 从而至少存在一点 Y x ba 使即 由于所选取旋转角满足 0cossin fY tan f 所以 ab afbf tan ab afbf f 结论结论 本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是 我没有想到的 而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充 通过这篇论文我只 是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏 里面包含了很多深奥的内容 而且更重要的 是我们应该学会去思考 学会凡是多问几个为什么 不要让自己仅仅局限于课本上的内容 要开动脑筋学会举一反三 不要单纯为了学习而学习 让自己做知识的主人 总之 数学的发展并非是无可置疑的 也并非是反驳的复杂过程 全面的思考问题有 助于我们思维能力的提高 也有助于创新意识的培养 参考文献参考文献 1 华东师范大学数学系 数学分析 上册 第二版 M 北京 高等教育出版社 1991 153 161 8 2 吉林大学数学系 数学分析 上册 M 北京 人民教育出版社 1979 194 196 3 同济大学应用数学系 高等数学 第一册 M 北京 高等教育出版社 第五版 2004 143 153 4 周性伟 刘立民 数学分析 M 天津 南开大学出版社 1986 113 124 5 林源渠 方企勤 数学分析解题指南 M 北京 北京大学出版社 2003 58 67 6 孙清华等 数学分析内容 方法与技巧 上 M 武汉 华中科技大学出版社 2003 98 106 7 洪毅 数学分析 上册 M 广州 华南理工大学出版社 2001 111 113 8 党宇飞 促使思维教学进入数学课堂的几点作法 J 上海 数学通报 2001 1 15 18 9 王爱云 高等数学课程建设和教学改革研究与实践 J 西安 数学通报 2002 2 84 88 10 谢惠民等 数学分析习题课讲义 M 北京 高等教育出版社 2003 126 135 11 刘玉莲 杨奎元等 数学分析讲义学习指导书 上册 M 北京 高等教出版社 1994 98 112 12 北京大学数学力学系 高等代数 北京 人民教育出版社 1978 124 135 13 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 M 北京 高等教育出版社 1993 102 110 14