数列中的数学思想和方法

1 数列中的数学思想和方法 数学思想方法是数学知识的精髓 是知识转化为能力桥梁 能否有意识地正确运用数学思想方 法解答数学问题 是衡量数学素质和数学能力的重要标志 数列中蕴涵了许多重要的数学思想 下 面我们一起来看一看吧 一 方程思想 方程思想就是通过设元建立方程 研究方程解决问题的方法 在解数列问题时 利用等差 等比 数列的通项公式 求和公式及性质构造方程 组 是解数列问题基本方法 例 已知等差数列的公差是正数 且 1 n ad 37 12 a a 求其前项和 46 4aa n n S 解 由等差数列知 从而 n a 3746 aaaa 3737 12 4a aaa 故是方程的两根 又 解之 得 37 a a 2 4120 xx 0d 37 6 2aa 再解方程组 1 1 26 62 ad ad 1 10 2 a d 所以 10 1 n Snn n 法二 基本量法 建立首项和公差的二元方程 知三求二 点评 本题利用了这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 再利 3746 aaaa 37 6 2aa 用方程求得了首项与公差的值 从而使问题得到解决 由此可知在数列解题时往往可借助方程的思 想与 或 找出解题的捷径 关注未知数的个数 关注独立方程 nmpq aaaa nmpq aaaa 的个数 点评基本量法 性质法 技巧 备用 设 an 是公比大于 1 的等比数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S3 7 且 a1 3 3a2 a3 4 构成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 令 bn ln a3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解 1 由已知得Error 解得 a2 2 设数列 an 的公比为 q 由 a2 2 可得 a1 a3 2q 2 q 又 S3 7 可知 2 2q 7 即 2q2 5q 2 0 2 q 解得 q1 2 q2 由题意得 q 1 q 2 a1 1 1 2 故数列 an 的通项为 an 2n 1 2 由于 bn ln a3n 1 n 1 2 由 1 得 a3n 1 23n bn ln 23n 3nln 2 又 bn 1 bn 3ln 2 bn 是等差数列 Tn b1 b2 bn ln 2 n b1 bn 2 3n n 1 2 故 Tn ln 2 3n n 1 2 小结 方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一 注意到方程思想在数列间题中的应用 常 可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题 在等差数列和等比数列中 通项公式 an和 2 前 n 项和公式 Sn共涉及五个量 a1 an n q d Sn 其中首项 a1和公比 q 公差 d 为基本量 知 三求二 是指将已知条件转换成关于 a1 an n q d Sn的方程组 通过方程的思想解出需要的 量 二 函数思想 函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象 数列是一类特殊的函数 以函数的观点认识理 解数列 是解决数列问题的有效方法 例 2 已知等差数列中 则该数列前多少项的和最大 n a 1 29a 1020 SS 寻求通项寻求通项 借助数列的单调性解决 借助数列的单调性解决 解 102011 10920 19 1020 22 SSadad 又 1 29a 2d 29 1 2 231 n ann 令 所以数列首项为正 公差为负 0 15 n annN 前项为正 从第项开始为负 所以前项的和最大 151615 151 15 14 15225 2 Sad 巧用等差数列下标的性质 关注数列的单调性 解 10201112131920 0SSaaaaa 由等差数列下标的性质可得 11121319201516 5 0aaaaaaa 又 1 290a 1516 0 0aa 当时 取得最大值 15n n S 又 1 29a 2d 29 1 2 231 n ann 令 所以数列首项为正 公差为负 前项为正 从第项开始为0 15 n annN 1516 负 所以前项的和最大 且 15 151 15 14 15225 2 Sad 思路思路 2 2 从函数的代数角度来分析数列问题 从函数的代数角度来分析数列问题 解 102011 10920 19 1020 22 SSadad 又 1 29a 2d 2 1 1 30 2 n nn Snadnn 2 15 225n 当时 取得最大值 15n n S225 思路思路 3 3 从函数图象入手 数形结合 从函数图象入手 数形结合 解 设 数列对应的图象是过原点的 2 n SAnBn 抛物线上孤立的点 又 1 290a 1020 SS 3 对称轴为且开口向下 1020 15 2 n 当时 取得最大值 15n n S 四种方法的比较四种方法的比较 设数列 an 的公差为d S10 S20 10 29 d 20 29 d 10 9 2 20 19 2 解得d 2 an 2n 31 设这个数列的前n项和最大 则需Error 即Error 14 5 n 15 5 n N n 15 方法二 设数列 an 的公差为d S10 S20 10 29 d 20 29 d 10 9 2 20 19 2 解得d 2 等差数列 an 的前n项和Sn n2 a1 n是关于n的不含常数项的二次函数 根据其图象的对 d 2 d 2 称性 由S10 S20 知x 15 是其对称轴 10 20 2 由d 2 知二次函数的图象开口向下 故n 15 时Sn最大 备用 数列中 求数列的最大项 n a 2 1 n ann nN n a 小结 利用二次函数的性质解决等差数列的前 n 项和的最值问题 避免了复杂的运算过程 数 列是一种特殊的函数 在求解数列问题时 若涉及参数取值范围 最值问题或单调性时 均可考虑 采用函数的性质及研究方法指导解题 值得注意的是数列定义域是正整数集或 1 2 3 n 这 一特殊性对问题结果可能造成影响 三 分类讨论思想 复杂问题无法一次性解决 常需分类研究 化整为零 各个击破 数列中蕴含着丰富的分类讨论的 问题 分类讨论是一种逻辑方法 同时又是一种重要的解题策略 在数学解题中有广泛的应用 所谓 分类讨论 是在讨论对象明确的条件下 按照同一的分类标准 不重复 不遗漏 不越级的原则下进 行的 它体现了化整为零 积零为整的思想与归类整理的方法 例 已知等差数列的前项的和 求 3 n an32n n S n a 解 当时 1 1n 11 5as 当时 2 2n 11 1 222 nnn nnn ass 综合 可知 1 2 1 51 22 n n n a n 点评 此例从分的体现了与的关系中隐含了分类讨论思想 其理由是中脚码 n a n s 1nnn ass 必须为正整数 1n 4 备用 已知数列的前项和 n bnnnsn18 2 试求数列的前项和的表达式 n bn n T 分析 解题的关键是求出数列的通项公式 并弄清数列中各项的符号以便化去的绝 n b n b n b 对值 故需分类探讨 解 当 n 1 时 1711812 11 sb 当 n 2 时 nnnnnssb nnn 21918118 2 2 1 当 1 n 9 时 当 n 10 时 从而0 n b0 n b 当 1 n 9 时 n T n bbb 21 nnsbbb nn 18 2 21 当 n 10 时 n T n bbb 21 910921 2ssbbbbb nn 16218 9189 218 222 nnnn n T 10 16218 91 18 2 2 nnn nnn 小结 数列中的分类讨论多涉及对公差 d 公比 q 项数 n 的讨论 特别是对项数 n 的讨论成为 近几年高考的热点 四 整体的思想 整体思想就是从整体着眼 通过问题的整体形式 整体结构或其它整体处理后 达到简捷地解 题的目的 例 在等差数列中 已知 4 n a 147 9aaa 求的值 258 15aaa 369 aaa 解 258147 3aaaaaad 2d 369258 321aaaaaad 例 4 在等比数列中 n a 910 0 aaa a 1920 aab 则 99100 aa 分析 根据题设条件可知 q10 a19 a20 a9 a10 b a 而 q90 故可整体代入求解 a99 a100 a9 a10 解析 设等比数列 an 的公比为 q 则 q10 a19 a20 a9 a10 b a 又 q90 q10 9 9 a99 a100 a9 a10 b a 故 a99 a100 9 a9 a10 b a b9 a8 5 答案 b9 a8 小结 解决此题如果不把它与整体思想联系起来 那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求 出它的准确答案 因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的 备用 已知数列为等差数列 前项和为 前项中 n b1235412 奇数项和与偶数项和之比为 求公差 27 32d 分析 此题常规思路是利用求和公式列方程组求解 计算量较大 注意考虑用整体 思想去解决 解法十分简捷 解 由题意令奇数项和为 偶数项和为 x27x32 因为 所以 354593227 12 xxxs6 x 而 5 63052732 ddxxx 五 转化与化归的思想 等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象 使之成为大家熟悉的或 容易解决的问题 这是解决数列问题重要方法 例 5 已知数列的首项 前项和为 且 求的 n a1 1 an n S 24 1 NnaS nn n a 通项公式 分析与略解 当 n 2 时 两式相减 得24 1 nn aS24 1 nn aS 111 44 nnnnn aaSSa 2 22 11 nnnn aaaa 可见是公比为 2 的等比数列 nn aa2 1 又 24 1221 aSaa1 1 a 得 5 2 a 则 32 12 aa 因此 1 1 232 n nn aa 两边同除以 得 1 2 n 常数 4 3 22 1 1 n n n n aa 可见是首项为 公差为的等差数列 因此 n n a 22 1 2 1 a 4 3 1 4 3 2 1 2 n a n n 4 1 4 3 n 从而 2 2 13 n n na 评析 本例通过两次化归 第一次把数列化归为等比数列 第二次把数列化归为等差数列 随 着化归的进行 问题降低了难度 六 类比的思想方法 如 数列与函数 等差数列与一次函数 等比数列与指数函数以及等差数列与等比数列之间概 念和性质的类比等 类比等差数列的通项 性质 前 n 项和 可以得出对等比数列相应问题的研究 类比函数概念 性质 表达式 可以得出对数列 等差数列 等比数列相应问题的研究 类比思想 的应用是本章的主要特色 还有一些重要的思想方法 如递推思想 从特殊到一般 数形结合 构造模型等思想方法 6 数列问题应用数学思想方法来解决非常重要 具体应用在数学解题中灵活多变 如果我们掌握 了数学思想方法解题的一些常用技巧 在解决数列的时候认真分析 巧妙地应用八种数学思想方法 中的一种来解决 那么解题就变得简单多了 在高中数学中 我们也可以应用这些思想方法来解决 相关数学问题 并且学好这些思想方法我们也可以来解决其它数学知识方面的难点问题 预习作业 1 设数列是公差不为零的等差数列 为其前项和 n a n Sn nN 且 则数列的通项公式为 2 12 9SS 42 4SS n a 答案 an 36 2n 1 解析 设等差数列 an 的公差为 d 由前 n 项和的概念及已知条件得 a 9 2a1 d 2 1 4a1 6d 4 2a1 d 由 得 d 2a1 代入 有 a 36a1 2 1 解得 a1 0 或 a1 36 将 a1 0 舍去 因此 a1 36 d 72 故数列 an 的通项公式为 a