07-10宁夏高考l理科数学真题附答案

20072007 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 理科数学理科数学 本试卷分第本试卷分第 I 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 II 卷第卷第 22 题为选考题 题为选考题 其他题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 考试结束后 其他题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的准 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的准 考证号 姓名 并将条形码粘贴在指定位置上 考证号 姓名 并将条形码粘贴在指定位置上 2 选择题答案使用 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 非选择题答案使用非选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或炭素笔书写 字体工整 笔迹清楚 毫米的黑色中性 签字 笔或炭素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无 效 效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 保持卡面清洁 不折叠 不破损 5 作选考题时 用 作选考题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 参考公式 参考公式 样本数据样本数据 的标准差的标准差锥体体积公式锥体体积公式 1 x 2 x n x 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中其中为样本平均数为样本平均数其中其中为底面面积 为底面面积 为高为高xSh 柱体体积公式柱体体积公式球的表面积 体积公式球的表面积 体积公式 VSh 2 4 SR 3 4 3 VR 其中其中为底面面积 为底面面积 为高为高其中其中为球的半径为球的半径ShR 第 I 卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 已知命题 则 px Rsin1x px Rsin1x px Rsin1x px Rsin1x px Rsin1x 2 已知平面向量 则向量 11 11 ab 13 22 ab 21 21 10 12 3 函数在区间的简图是 sin 2 3 yx 2 4 已知是等差数列 其前 10 项和 则 n a 10 10a 10 70S 其公差 d 2 3 1 3 1 3 2 3 5 如果执行右面的程序框图 那么输出的 S 2450 2500 2550 2652 6 已知抛物线的焦点为 2 2 0 ypx p F 点 在抛物线上 111222 P xyP xy 333 P xy 且 则有 213 2xxx 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP 213 2 FPFPFP 2 213 FPFPFP 7 已知 成等差数列 成等比数列 则0 x 0y xaby xcdy 的最小值是 2 ab cd 0124 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 2 6 1 O 1 3 开始 1k 0S 50 k 是 2SSk 1kk 否 输出S 结束 8 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标 出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积 是 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 9 若 则的 cos22 2 sin 4 cossin 值为 7 2 1 2 1 2 7 2 10 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1 2 e x y 2 4e 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 11 甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次 三人的测试成绩如下表 123 sss 分别表示 甲 乙 丙三名运 动员这次测试成绩 的标准差 则有 312 sss 213 sss 123 sss 231 sss 12 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三 棱锥 三棱柱的高分别为 则 1 h 2 hh 12 hhh 3 1 13 2 23 2 23 2 3 第第 II 卷卷 甲的成绩 环数78910 频数5555 乙的成绩 环数78910 频数6446 丙的成绩 环数78910 频数4664 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第做答 第 22 题为选考题 考生根据要求做答 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 13 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心 率为 14 设函数为奇函数 则 1 xxa f x x a 15 是虚数单位 用的形式表示 i 5 10 34 i i abi ab R 16 某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践 每个班去一个工厂 每个工厂至少安排一 个班 不同的安排方法共有种 用数字作答 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图 测量河对岸的塔高时 可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与 现ABBCD 测得 并在点测得塔顶的仰角为 求塔BCDBDCCDs CA 高 AB 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥中 侧面与侧面均为等边SABC SABSAC 三角形 为中点 90BAC OBC 证明 平面 SO ABC 求二面角的余弦值 ASCB 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个xOy 02 kl 2 2 1 2 x y 不同的交点和 PQ I 求的取值范围 k II 设椭圆与轴正半轴 轴正半轴的交点分别为 是否存在常数 使得向量xyAB k 与共线 如果存在 求值 如果不存在 请说明理由 OPOQ AB k 20 本小题满分 12 分 O S B A C 如图 面积为的正方形中有一个不规则的图形 可按下面方法估计的面积 SABCDMM 在正方形中随机投掷个点 若个点中有个点落入中 则的面积的估ABCDnnmMM 计值为 假设正方形的边长为 2 的面积为 1 并向正方形中随机 m S n ABCDMABCD 投掷个点 以表示落入中的点的数目 10000XM I 求的均值 XEX II 求用以上方法估计的面积时 的面积的估计值与实MM 际值之差在区间内的概率 0 03 附表 10000 10000 0 0 250 75 k ttt t P kC k2424242525742575 P k0 04030 04230 95700 9590 21 本小题满分 12 分 设函数 2 ln f xxax I 若当时 取得极值 求的值 并讨论的单调性 1x f xa f x II 若存在极值 求的取值范围 并证明所有极值之和大于 f xa e ln 2 22 请考生在请考生在三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答ABC 时 用时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知是的切线 为切点 是APOAPAC 的割线 与交于两点 圆心在OAOABC O 的内部 点是的中点 PAC MBC 证明四点共圆 APOM 求的大小 OAMAPM 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 和的极坐标方程分别为 1 OA 2 OA4cos4sin 把和的极坐标方程化为直角坐标方程 1 OA 2 OA 求经过 交点的直线的直角坐标方程 1 OA 2 OA 22 本小题满分 10 分 选修 不等式选讲45 设函数 214f xxx I 解不等式 2f x DC BA M A P O M C B II 求函数的最小值 yf x 20082008 年普通高等学校统一考试 宁夏卷 年普通高等学校统一考试 宁夏卷 数学 理科 数学 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知函数 y 2sin x 0 在区间 0 2 的图像如下 那么 A 1B 2C 1 2D 1 3 2 已知复数 则 1zi 2 2 1 zz z A 2iB 2i C 2 D 2 3 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 那么它的顶角的余弦值为 A 5 18B 3 4 C 2 D 7 83 4 设等比数列的公比 前 n 项和为 则 n a2q n S 4 2 S a A 2B 4C D 15 2 17 2 5 右面的程序框图 如果输入三个实数 a b c 要求输出这三 个数中最大的数 那么在空白的判断框中 应该填入下面四 个选项中的 A c xB x cC c bD b c 6 已知 则使得都成 123 0aaa 2 1 1 i a x 1 2 3 i 立的取值范围是 x A 0 B 0 1 1 a 1 2 a C 0 D 0 3 1 a 3 2 a 是是 否否 开始开始 输入输入 a b c x a b x 输出输出 x 结束结束 x b x c 否否 是是 7 0 20 3sin70 2cos 10 A B C 2 D 1 2 2 2 3 2 8 平面向量 共线的充要条件是 a r b r A 方向相同B 两向量中至少有一个为零向量a r b r a r b r C D 存在不全为零的实数 R ba rr 1 2 12 0ab rrr 9 甲 乙 丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动 要求每人参加 一天且每天至多安排一人 并要求甲安排在另外两位前面 不同的安排方法共有 A 20 种B 30 种C 40 种D 60 种 10 由直线 x 2 曲线及 x 轴所围图形的面积为 2 1 x x y 1 A B C D 4 15 4 17 2ln 2 1 2ln2 11 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时 点 P 的坐标为 A 1 B 1 C 1 2 D 4 1 4 1 1 2 12 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为的线76 段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段 则 a b 的最大值为 A B C 4D 223252 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 已知向量 且 则 0 1 1 a r 4 1 0 b r 29ab rr 0 14 过双曲线的右顶点为 A 右焦点为 F 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 22 1 916 xy 直线与双曲线交于点 B 则 AFB 的面积为 15 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 3 那么这个球的体积为 9 8 16 从甲 乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 单位 mm 结果如下 由以上数据设计了如下茎叶图 甲甲乙乙 3127 7550284 5422925 8733130467 940312355688 855332022479 741331367 343 2356 根据以上茎叶图 对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较 写出两个统计结论 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列是一个等差数列 且 n a 2 1a 5 5a 1 求的通项 n a n a 2 求前 n 项和的最大值 n a n S 18 本小题满分 12 分 如图 已知点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上 PDA 60 1 求 DP 与 CC1所成角的大小 2 求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小 甲品种 271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352 乙品种 284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356 B1 C1 D1 A1 C D AB P 19 本小题满分 12 分 A B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2 根据市场 分析 X1和 X2的分布列分别为 X15 10 X22 8 12 P0 80 2P0 20 50 3 1 在 A B 两个项目上各投资 100 万元 Y1和 Y2分别表示投资项目 A 和 B 所获 得的利润 求方差 DY1 DY2 2 将 x 0 x 100 万元投资 A 项目 100 x 万元投资 B 项目 f x 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和 求 f x 的最小值 并指出 x 为何值时 f x 取到最小值 注 D aX b a2DX 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系 xOy 中 椭圆 C1 的左 右 22 22 1 0 xy ab ab 焦点分别为 F1 F2 F2也是抛物线 C2 的焦点 点 M 为 C1与 C2在第一象限 2 4yx 的交点 且 2 5 3 MF 1 求 C1的方程 2 平面上的点 N 满足 直线 l MN 且与 C1交于 A B 两点 12 MNMFMF uuu ruuuruuuu r 若 0 求直线 l 的方程 OA uur OB uu u r 21 本小题满分 12 分 设函数 曲线在点 1 f xaxa bZ xb yf x 处的切线方程为 2 2 f3y 1 求的解析式 yf x 2 证明 曲线的图像是一个中心对称图形 并求其对称中心 yf x 3 证明 曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形 yf x 1x yx 的面积为定值 并求出此定值 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 过圆 O 外一点 M 作它的一条切线 切点为 A 过 A 作直线 AP 垂直直线 OM 垂足为 P 1 证明 OM OP OA2 2 N 为线段 AP 上一点 直线 NB 垂直直线 ON 且交圆 O 于 B 点 过 B 点的切线 交直线 ON 于 K 证明 OKM 90 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 曲线 C2 cos sin x y 为参数 2 2 2 2 2 xt t yt 为参数 1 指出 C1 C2各是什么曲线 并说明 C1与 C2公共点的个数 2 若把 C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 写 1 C 2 C 出 的参数方程 与公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相 1 C 2 C 1 C 2 C 同 说明你的理由 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 4 8 xxxf K B P A OM N 1 作出函数的图像 xfy 2 解不等式 2 4 8 xx 20082008 年普通高等学校统一考试 宁夏卷 年普通高等学校统一考试 宁夏卷 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题一 选择题 1 B2 B3 D4 C5 A6 B 7 C8 D9 A10 D11 A12 C 二 填空题二 填空题 13 14 15 3 32 15 4 3 16 1 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 或 乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度 2 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 或 乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中 稳定 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大 3 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm 4 乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的 而且大多集中在中间 均值附近 甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值 352 外 也大致对称 其分布较均匀 三 解答题三 解答题 17 解 设的公差为 由已知条件 解出 n ad 1 1 1 45 ad ad 1 3a 2d 所以 1 1 25 n aandn 2 1 1 4 2 n n n Snadnn 2 4 2 n 所以时 取到最大值 2n n S4 18 解 如图 以为原点 为单位长建立空间直角坐标系 DDADxyz 则 10 0 DA uu u r 0 01 CC uuu r 连结 BDB D 在平面中 延长交于 BB D D DPB D H 设 1 0 DHmmm uuu r 由已知 60DH DA o uuu r uu u r A B C D P A B C D x y z H 由cosDA DHDA DHDADH uu u r uuu ruu u r uuu ruu u r uuu r g 可得 2 221mm 解得 所以 2 2 m 22 1 22 DH uuu r 因为 22 001 1 2 22 cos 2 12 DH CC uuu r uuu r 所以 45DH CC o uuu r uuu r 即与所成的角为 DP CC 45 平面的一个法向量是 AA D D 010 DC uuu r 因为 22 01 1 0 1 22 cos 2 12 DH DC uuu r uuu r 所以 60DH DC o uuu r uuu r 可得与平面所成的角为 DPAA D D 30 19 解 由题设可知和的分布列分别为 1 Y 2 Y Y1510 P0 80 2 1 5 0 8 10 0 26EY 22 1 56 0 8 106 0 24DY 2 2 0 28 0 5 12 0 38EY 222 2 28 0 2 88 0 5 128 0 312DY 12 100 100100 xx f xDYDY Y22812 P0 20 50 3 22 12 100 100100 xx DYDY 22 2 4 3 100 100 xx 22 2 4 46003 100 100 xx 当时 为最小值 600 75 2 4 x 3f x 20 解 由 知 2 C 2 4yx 2 10 F 设 在上 因为 所以 11 M xy M 2 C 2 5 3 MF 1 5 1 3 x 得 1 2 3 x 1 2 6 3 y 在上 且椭圆的半焦距 于是M 1 C 1 C1c 消去并整理得 22 22 48 1 93 1 ab ba 2 b 42 93740aa 解得 不合题意 舍去 2a 1 3 a 故椭圆的方程为 1 C 22 1 43 xy 由知四边形是平行四边形 其中心为坐标原点 12 MFMFMN uuuruuuu ruuu r 12 MFNFO 因为 所以 与的斜率相同 lMN lOM 故 的斜率 l 2 6 3 6 2 3 k 设 的方程为 l6 yxm 由 消去并化简得 22 3412 6 xy yxm y 22 916840 xmxm 设 11 A xy 22 B xy 12 16 9 m xx 2 12 84 9 m x x 因为 所以 OAOB uuruu u r 1212 0 x xy y 12121212 6 x xy yx xxm xm 2 1212 76 6x xm xxm 2 2 8416 766 99 mm mm gg 2 1 1428 0 9 m 所以 2m 此时 22 16 4 9 84 0mm 故所求直线 的方程为 或 l62 3yx 62 3yx 21 解 2 1 fxa xb 于是 解得 或 2 1 23 2 1 0 2 a b a b 1 1 a b 9 4 8 3 a b 因 故 ab Z 1 1 f xx x 证明 已知函数 都是奇函数 1 yx 2 1 y x 所以函数也是奇函数 其图像是以原点为中心的中心对称图形 1 g xx x 而 1 11 1 f xx x 可知 函数的图像按向量平移 即得到函数的图像 故函数的图 g x 11 a f x f x 像是以点为中心的中心对称图形 11 证明 在曲线上任取一点 00 0 1 1 xx x 由知 过此点的切线方程为 0 2 0 1 1 1 fx x 2 00 0 2 00 11 1 1 1 xx yxx xx 令得 切线与直线交点为 1x 0 0 1 1 x y x 1x 0 0 1 1 1 x x 令得 切线与直线交点为 yx 0 21yx yx 00 2121 xx 直线与直线的交点为 1x yx 11 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 1 21 1222 2121 x xx xx 所以 所围三角形的面积为定值 2 22 解 证明 因为是圆的切线 所以 MAOOAAM 又因为 在中 由射影定理知 APOM RtOAM 2 OAOM OP g 证明 因为是圆的切线 BKOBNOK 同 有 又 2 OBON OK gOBOA 所以 即 OP OMON OK gg ONOM OPOK 又 NOPMOK 所以 故 ONPOMK 90OKMOPN 23 解 是圆 是直线 1 C 2 C 的普通方程为 圆心 半径 1 C 22 1xy 1 0 0 C 1r 的普通方程为 2 C20 xy 因为圆心到直线的距离为 1 C20 xy 1 所以与只有一个公共点 2 C 1 C 压缩后的参数方程分别为 为参数 t 为参数 1 C cos 1 sin 2 x y 2 C 2 2 2 2 4 xt yt 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 4 2 10 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点 和与公共点个数相同 2 C 1 C 1 C 2 C 24 解 44 21248 48 x f xxx x 图像如下 1 1 Ox y 2 3 4 2 4 1 2 2 8 4 不等式 即 842xx 2f x 由得 2122x 5x 由函数图像可知 原不等式的解集为 f x 5 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷年普通高等学校招生全国统一考试 宁夏卷 数学 理工农医类 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知集合 M x 3 x 5 N x 5 x0 V S T B A0 V S T D A 0 V S T 解析 月总收入为 S 因此 A 0 时归入 S 判断框内填 A 0 支出 T 为负数 因此月盈利 V S T 答案 C 11 正六棱锥 P ABCDEF 中 G 为 PB 的中点 则三棱锥 D GAC 与三棱锥 P GAC 体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 由于 G 是 PB 的中点 故 P GAC 的体积等于 B GAC 的体 积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH ABtan30 3 3 AB 而 BD 3AB 故 DH 2BH 于是 VD GAC 2VB GAC 2VP GAC 答案 C 12 若 1 x 满足 2x 2 x 5 2 x 满足 2x 2 2 log x 1 5 1 x 2 x A 5 2 B 3 C 7 2 D 4 解析 由题意 1 1 225 x x 222 22log 1 5xx 所以 1 1 252 x x 121 log 52 xx 即 2 121 2log 52 xx A B C DE F H 令 2x1 7 2t 代入上式得 7 2t 2log2 2t 2 2 2log2 t 1 5 2t 2log2 t 1 与 式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 答案 C 13 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品 第一 二 三分厂的产量之比为 1 2 1 用分层抽样方法 每个分厂的产品为一层 从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试 由所得的测试结果算得从第一 二 三分厂取出的产品的使用 寿命的平均值分别为 980h 1020h 1032h 则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h 解析 980 1 1020 2 1032 1 4 x 1013 答案 1013 14 等差数列 n a 的前n项和为 n S 且 53 655 SS 则 4 a 解析 Sn na1 1 2n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 15 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为 m 则该几何体的体积为 3 m 解析 这是一个三棱锥 高为 2 底面三角形一边为 4 这边上的高为 3 体积等于 1 6 2 4 3 4 答案 4 16 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP 是双曲线右支上的动点 则 PFPA 的最小值为 解析 注意到 P 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当 A P F 三点共线时等号成立 答案 9 17 本小题满分 12 分 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 0 75 0 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 0 60 AC 0 1km 试探究图中 B D 间距离与另外哪两点间距离相等 然后求 B D 的距离 计算结果精确到 0 01km 2 1 414 6 2 449 17 解 在 ABC 中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD AC 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 5 分 在 ABC 中 ABCsin C BCAsin AAB 即 AB 20 623 15sin ACsin60 因此 BD km33 0 20 623 故 B D 的距离约为 0 33km 12 分 18 本小题满分 12 分 如图 已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 18 I 解法一 取 CD 的中点 G 连接 MG NG 设正方形 ABCD DCEF 的边长为 2 则 MG CD MG 2 NG 2 因为平面 ABCD 平面 DCED 所以 MG 平面 DCEF 可得 MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角 因为 MN 6 所以 sin MNG 3 6 为 MN 与 平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分 解法二 设正方形 ABCD DCEF 的边长为 2 以 D 为坐标原点 分别以射线 DC DF DA 为 x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图 则 M 1 0 2 N 0 1 0 可得MN 1 1 2 又DA 0 0 2 为平面 DCEF 的法向量 可得 6 cos 3 MN DA MN DA MNDA 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 cos 3 6 DAMN 6 分 假设直线 ME 与 BN 共面 8 分 则 AB 平面 MBEN 且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知 两正方形不共面 故 AB 平面 DCEF 又 AB CD 所以 AB 平面 DCEF 面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线 所以 AB EN 又 AB CD EF 所以 EN EF 这与 EN EF E 矛盾 故假设不成立 所以 ME 与 BN 不共面 它们是异面直线 12 分 19 本小题满分 12 分 某人向一目射击 4 次 每次击中目标的概率为 该目标分为 3 个不同的部分 第一 二 三部分面积之比为 1 3 6 击中目标时 击中任何一部分的概率与其面积成正比 1 3 设 X 表示目标被击中的次数 求 X 的分布列 若目标被击中 2 次 A 表示事件 第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 求 P A 19 解 依题意 X 的分列为 01234 P16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 6 分 设 A1 表示事件 第一次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 B1 表示事件 第二次击中目标时 击中第 i 部分 i 1 2 依题意知 P A1 P B1 0 1 P A2 P B2 0 3 11111122 AA BA BA BA B 所求的概率为 11111122 P AP A BP A BP A BP A B 11111122 P A BP A P BP A P BP A P B 0 1 0 90 9 0 1 0 1 0 1 0 3 0 30 28 12 分 20 本小题满分 12 分 已知 椭圆 C 过点 A 3 1 2 两个焦点为 1 0 1 0 求椭圆 C 的方程 E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 证明直线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 20 解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 19 1 14bb 解得 2 3b 2 3 4 b 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 设直线 AE 方程为 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 34 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 x y EE E x y FF F 因为点 3 1 2 A 在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 8 分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以 K 代 K 可得 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 所以直线 EF 的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk K xxxx 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 1 x 2 ax a 1 ln x 1a 1 讨论函数 f x 的单调性 2 证明 若 5a 则对任意 x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 21 解 1 f x 的定义域为 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx 2 分 i 若 11a 即 2a 则 2 1 x fx x 故 f x 在 0 单调增加 ii 若 1 1a 而 1a 故1 2a 则当 1 1 xa 时 0fx 当 0 1 xa 及 1 x 时 0fx 故 f x 在 1 1 a 单调减少 在 0 1 1 a 单调增加 iii 若 11a