随机过程及其应用.ppt

第二章分枝过程 一 母函数假设X是取非负整数值的随机变量 且P X k k 0 1 则称级数p s 为随机变量的母函数 s 例1 设X是参数为的普阿松数分布 则其母函数p s s 例2 设x B n p 即x是二项式分布 则其母函数p s ps q 母函数有如下一些性质 定理2 1 设随机变量x的母函数为p s 则有 1 E x 1 2 若E x 则Var x P 1 P 1 p 1 例如对普阿松随机变量x 因为E x 所以 E x P 1 var x P 1 P 1 P 1 定理2 2 设x与y相互独立 且f s g s 分别为其母函数 则x y的母函数h s f s g s 推论2 1 设x 1 x n 是相互独立的取非负整数的随机变量 x i 的母函数为f s 则x 1 x n 的母函数为f s f s f s 例3 x y z相互独立 分别是B 3 p B 5 p B 6 p 的二项式分布 则x y z B 14 p 定理2 3 设N x 1 x n 都是取非负整数的随机变量且相互独立 x 1 x n 具有共同的分布 其母函数为f s N的母函数为g s 令当N 0时 x x 1 x N 当N 0时 x 0则x的母函数为h s g f s 注 x的母函数与其分布函数1 1对应 所以对于一个取非负整数值的随机变量x 只要知道了它的母函数其分布也就完全知道了 二 分枝过程设有一个反应堆 最初有n 0 个质点 由于质点之间的相互碰撞或其它射线的轰击 每隔一单位时间 一个质点可分离成k个质点 k 0 1 2 并设 1 这些质点的分离情况是相互独立的 具有共同分布 2 质点的分离情况与其年龄无关 Z n 1 i 表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 n 1 时刻分离出的质点数 X n 表示n时刻反应堆中的质点数 则有X 0 n 0 X 1 Z 1 1 Z 1 2 Z 1 n 0 X 2 Z 2 1 Z 2 2 Z 2 x 1 X n 1 Z n 1 1 Z n 1 2 Z n 1 x n 上面的假设 1 2 说明 z n 1 i i1 n0 是一族相互独立具有共同分布的取非负整数的随机变量 令其共同分布为p k P z n i k k0 i1 n0 其母函数f s 则称 x n n0 是一个初始状态为n 0 的以f s 为本原母函数的分枝过程 定理2 4 设 x n n0 如上所设 令f n s 为x n 母函数 n E x n var x n 则 1 f 1 s f s 2 f n 1 s f n f s n0 3 1 n 0 其中 f 1 E Z n i 4 5 6 当1时 当 1时 从定理2 4可知 只要f s 已知 则 X n n0 的一切信息都知道了 对于某一时刻n 若x n 0 则该过程就灭绝了 下面来讨论过程灭绝的概率因为 X n 0 x n 1 0 所以0P x n 0 P x n 1 0 1 即 P x n 0 n 1 2 是一个单调有界序列 故其极限一定存在 我们称这个极限limP x n 0 为 x n n0 的绝灭概率 显然定理2 5设 x n n0 是一个初始状态为1的以f s p 0 p 1 s 为本原母函数的分枝过程 为其绝灭概率 则 1 f 2 当1 p 1 1时有 1 3 当1 时 是s f s 在 0 1 内的唯一解 例4 设 x n n0 是以初始状态为1的以f s p 1 qs 为本原母函数的分枝过程 其中01 此时是方程s f s 在 0 1 内的唯一解 解这一方程s p 1 qs 得 p q 定理2 7 设 x n n0 是一个初始状态为n 0 的以f s 为本原母函数的分枝过程 是 x n n0 的绝灭概率 则证明 设y n i 表示初始时刻的第i个质点 在时刻n时所产生的反应堆中的质点数 i 1 2 n 0 显然 对任意的n x n y n 1 y n 2 y n n 0 且y n 1 y n 2 y n n 0 独立同分布所以p x n 0 P y n