江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程教师用书文

1 2 82 8 函数与方程函数与方程 1 函数的零点 1 函数零点的定义 对于函数y f x x D 把使函数y f x 的值为 0 的实数x叫做函数y f x x D 的 零点 2 几个等价关系 方程f x 0 有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 上有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个 c 也就是 方程f x 0 的根 2 二分法 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0 的图象与零点的关系 0 0 0 的图 象 与x轴的交点 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 零点个数 210 知识拓展 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 2 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 思考辨析 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 4 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0 时没有零点 5 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零 点 1 教材改编 函数f x x的零点个数为 1 2 x 1 2 答案 1 解析 f x 是增函数 又f 0 1 f 1 1 2 f 0 f 1 0 f x 有且只有一个零点 2 教材改编 已知f x ax2 bx c的零点为 1 3 则函数y ax2 bx c的对称轴是 答案 x 2 解析 y a x 1 x 3 a x 2 2 a 对称轴为x 2 3 2016 长春检测 函数f x ln x x 2 的零点所在的区间是 1 2 1 x 1 1 2 1 e 2 e e 3 答案 解析 因为f e 2 0 f 1 2 0 f 2 ln 2 0 1 2 1 e 所以f 2 f e 0 所以函数f x ln x x 2 的零点所在区间是 2 e 1 2 1 x 4 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 3 答案 1 3 1 解析 函数f x 的图象为直线 由题意可得 f 1 f 1 0 3a 1 1 a 0 解得 a 1 1 3 实数a的取值范围是 1 3 1 5 教材改编 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 答案 2 0 解析 结合二次函数f x x2 x a的图象知 Error 故Error 所以 2 a 0 题型一 函数零点的确定 命题点 1 确定函数零点所在区间 例 1 1 2016 盐城调研 已知函数f x ln x x 2的零点为x0 则x0所在的区间是 1 2 填序号 0 1 1 2 2 3 3 4 2 设函数y x3与y x 2的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n N N 则x0所 1 2 在的区间是 答案 1 2 1 2 解析 1 f x ln x x 2在 0 为增函数 1 2 又f 1 ln 1 1 ln 1 2 0 1 2 4 f 2 ln 2 00 1 2 x0 2 3 2 令f x x3 x 2 则f x0 0 易知f x 为增函数 且f 1 0 x0所在 1 2 的区间是 1 2 命题点 2 函数零点个数的判断 例 2 1 函数f x Error 的零点个数是 2 若定义在 R R 上的偶函数f x 满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 则函数 y f x log3 x 的零点个数是 答案 1 2 2 4 解析 1 当x 0 时 令x2 2 0 解得x 正根舍去 所以在 0 上有一个 2 零点 当x 0 时 f x 2 0 恒成立 所以f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 1 x 2 ln 20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的 零点个数为 2 2 由题意知 f x 是周期为 2 的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如图 观察图象可以发现它们有 4 个交点 即函数y f x log3 x 有 4 个零点 思维升华 1 确定函数零点所在区间 可利用零点存在性定理或数形结合法 2 判断函数零点个数的方法 解方程法 零点存在性定理 结合函数的性质 数形 结合法 转化为两个函数图象的交点个数 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 6 x 填序号 0 1 1 2 2 4 4 2 教材改编 已知函数f x 2x 3x 则函数f x 的零点个数为 答案 1 2 2 5 解析 1 因为f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 f 4 log24 0 所 3 2 1 2 以函数f x 的零点所在区间为 2 4 2 令f x 0 则 2x 3x 在同一平面直角坐标系中分别作出y 2x和y 3x的图象 如 图所示 由图知函数y 2x和y 3x的图象有 2 个交点 所以函数f x 的零点个数为 2 题型二 函数零点的应用 例 3 1 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a 的取值范围是 2 x 2 已知函数f x x2 3x x R R 若方程f x a x 1 0 恰有 4 个互异的实数根 则实数a的取值范围是 答案 1 0 3 2 0 1 9 解析 1 因为函数f x 2x a在区间 1 2 上单调递增 又函数f x 2x a的一 2 x 2 x 个零点在区间 1 2 内 则有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由图象得a 0 0 a9 6 引申探究 本例 2 中 若f x a恰有四个互异的实数根 则a的取值范围是 答案 0 9 4 解析 作出y1 x2 3x y2 a的图象如下 当x 时 y1 当x 0 或x 3 时 y1 0 3 2 9 4 由图象易知 当y1 x2 3x 和y2 a的图象有四个交点时 0 a 9 4 思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 1 步骤 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 组 解不等式 组 即得参数的取值范围 2 方法 常利用数形结合法 1 已知函数f x x2 x a a 0 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围为 2 2016 江苏前黄中学调研 若函数f x kx2有 4 个零点 则实数k的取值范围 x x 1 是 答案 1 2 0 2 4 解析 1 a x2 x在 0 1 上有解 又y x2 x x 2 1 2 1 4 函数y x2 x x 0 1 的值域为 0 2 0 a 2 2 a 0 2 令f x 0 则方程 kx2有 4 个不同的实数根 显然 x 0 是方程的一个实数根 x x 1 当x 0 时 方程可化为 x x 1 1 k 设h x g x x x 1 1 k 由题意知h x 与g x 图象 如图所示 有三个不同的交点 由g x Error 结合图象知 0 所以k 4 1 4 1 k 7 题型三 二次函数的零点问题 例 4 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比 1 大 一个零点比 1 小 求实数a的 取值范围 解 方法一 设方程x2 a2 1 x a 2 0 的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二 函数图象大致如图 则有f 1 0 即 1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故实数a的取值范围是 2 1 思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 1 利用一元二次方程的求根公式 2 利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 2016 江苏泰州中学质检 关于x的一元二次方程x2 2 m 3 x 2m 14 0 有两个不同的实根 且一根大于 3 一根小于 1 则m的取值范围是 答案 21 4 解析 设f x x2 2 m 3 x 2m 14 由题设可得Error 所以m0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 8 2 若关于x的方程 22x 2xa a 1 0 有实根 则实数a的取值范围为 思想方法指导 1 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数 利用数形结合求解参 数范围 2 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域解决 解析 1 函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 即方程ax x a 0 有两个根 即函数y ax与函数y x a的图象有两个交点 当 0 a1 时 图象如图 2 所示 此时有两个交点 实数a的取值范围为 1 2 由方程 解得a 设t 2x t 0 22x 1 2x 1 则a t 1 t2 1 t 1 2 t 1 2 t 1 其中t 1 1 2 t 1 由基本不等式 得 t 1 2 当且仅当t 1 时取等号 故a 2 2 2 t 1222 答案 1 1 2 2 2 2 1 2016 江苏东海中学期中 若函数f x Error 则函数g x f x x的零点为 答案 1 或 1 2 解析 题目转化为求方程f x x的根 所以Error 或Error 解得x 1 或x 1 所以g x 的零点为 1 或 1 22 2 若函数f x log3x x 3 的零点所在的区间是 n n 1 n Z Z 则n 答案 2 解析 由f 2 log32 10 知f x 0 的根在区间 2 3 内 即n 2 3 已知三个函数f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零点依次为a b c 则 a b c的大小关系为 9 答案 a c b 解析 方法一 由于f 1 1 0 且f x 为 R R 上的递增函数 1 2 1 2 故f x 2x x的零点a 1 0 g 2 0 g x 的零点b 2 h 1 0 1 2 1 2 1 2 且h x 为 0 上的增函数 h x 的零点c 因此a c b 1 2 1 方法二 由f x 0 得 2x x 由h x 0 得 log2x x 作出函数y 2x y log2x和y x的图象 如图 由图象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c0 的解的个数是 答案 2 解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1 的图象总有两个交点 5 函数f x Error 的零点个数为 答案 2 解析 当x 0 时 令f x 0 得x2 1 0 x 1 此时f x 有一个零点 当x 0 时 令f x 0 得x 2 ln x 0 在同一个坐标系中画出y 2 x和y ln x的图象 图略 观察其图象可知函数y 2 x和y ln x的图象在 0 上的交点个数是 1 所以此时 函数f x 有一个零点 所以f x 的零点个数为 2 10 6 已知x R R 符号 x 表示不超过x的最大整数 若函数f x a x 0 有且仅有 3 个 x x 零点 则实数a的取值范围是 答案 3 4 4 5 4 3 3 2 解析 当 0 x 1 时 f x a a x x 当 1 x 2 时 f x a a x x 1 x 当 2 x1 时 由f x 1 log2x 0 解 得x 1 2 又因为x 1 所以此时方程无解 综上 函数f x 的零点只有 0 8 已知函数f x Error 若函数g x f x m有 3 个零点 则实数m的取值范围是 答案 0 1 解析 画出函数f x Error 的图象 如图 由于函数g x f x m有 3 个零点 结合图象得 0 m0 时 f x 2 015x log2 015x 则在 R R 上 函数 f x 零点的个数为 11 答案 3 解析 函数f x 为 R R 上的奇函数 因此f 0 0 当x 0 时 f x 2 015x log2 015x在区间 0 内存在一个零点 1 2 015 又f x 为增函数 因此在 0 内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在 0 内有且仅有一解 从而函数f x 在 R R 上的零点的个数为 3 10 若a 1 设函数f x ax x 4 的零点为m 函数g x logax x 4 的零点为n 则 的最小值为 1 m 1 n 答案 1 解析 设F x ax G x logax h x 4 x 则h x 与F x G x 的交点A B横坐标 分别为m n m 0 n 0 因为F x 与G x 关于直线y x对称 所以A B两点关于直线y x对称 又因为y x和h x 4 x交点的横坐标为 2 所以m n 4 又m 0 n 0 所以 1 m 1 n 1 m 1 n m n 4 2 2 2 1 1 4 n m m n 1 4 n m m n 当且仅当 即m n 2 时等号成立 n m m