嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏

1 4 中 等 数 学 嵌入不等式 数学竞赛i 命 i 题的一个宝藏 朱 华 伟 广州大学教育软件研究所 5 1 0 0 0 6 中圈分类号 0 1 2 2 3 文献标识码 A 文章 编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 O 1 0 0 1 4一 O 3 1 关于嵌入不等式 定理 1 对 A B C和任意的实数 Y z 均有 2 v2 2 2 y z c o s A 2 z x c o s B 2 x y c o s C 其中 当且仅当 y s i n A s i n曰 s i n C时 式 等号成立 不等式 称为嵌入不等式 显然 嵌入不 等式中的条件 A C 兀 可推广 至 0 日 C 2 k 1 兀 嵌入不等式还有一个形象的几何解释 如果 0 A B C 0 求证 题 6 设 A B C为锐角三角形 求证 c o s A z c o s B c I 2 8 c o s A C O S B C O S Ct 4 MO S P 2 0 0 0 证明将所 证不 等式 写成关 于 c o s B c o s C的形式 由恒等式 得 4 8 c o s A C O S B C O s C 4 C O S A c o S 2 B c o s C 故只要证明 c o s 曰A z c o Ac C O S A l 5 I 4 C O S A C O S B C O S C n C O S B C O S C C O S A 议 cos C y c o s A 由嵌入不等式得 嘶c o s A I 2 c 0c o 8c c o s AC Y 十 12 y z c o s A Z X C O S B x y c o s C z co s B c os C 再设 y 业 c 0 s 4 由嵌 入不等式得 2 C O S A C O S B C O S B C O S C CO S C C O S A 2 v Z 2 4 3 z c o s A Z X O S B x y c o s C 4 c o s 2 A c o s B C O S 2 C 题 7 设 0 0 1 i n n 且 仅 8 则 妻 i l cot 第 2 9届 I MO预选题 证明 当 n 2时 C O S 卢 1 C O S 2 C O S 1 C O S l Si l l j Si l l 2 Si n O l Sl l l d I 0 c o t l c o t 2 当 n 3时 即要证 已知两个 三角形 的 内角分别为 d 和 则 COS S I n C O S 7 Si l l c o t c o t 十 c o t y 面积 知 上式等价于 4 Sc o s S1 n o L 4S c o s l s i n 6 c S表示三角形 的 4S c o s l SI n 又 由 5 6 i y 知 上 式 等 价 于 旦 一 器 1 6 2 b e e o s l 2 c a c o s 卢l 2 a b e o s l n 十b C 2 此即为不等式 假设所证不等式对于 n一1 13 成立 则对于 凡有 i l C O S J B Sln co s 一 co s 一 2 Sl n 1 Sl n 2 S i n S1 1 n J cos Sl n C O S 1 s i n L 1 1 J f 鱼 一 C O S c o s 丌 一 1 一 一 一 十一 一 l s i n l s i n 2 s i n 丁 c 一 l 2 COS S1 n 鱼 1 s i n 1 2 J l c o t l c o t a 2 c o t 丁 c 一0 c l 一 2 c o t c 0 t c 0 t 因此 对一切 凡 i 2 所证不等式成立 题 8 设 6 c 是给定的正实数 求所有 的正实数 Y 满足方程组 f y z 6 c l 4 x y z 一 a 2 x b 2 y e 2 z b 第 3 6届 I M O预选题 解首先证明如下引理 引理方 程 Y 4 有正实数解 x Y z当且仅 当存 在一个 锐角 A B C 使得 2 C 0 S A Y 2 C O S B z 2 C O S C 引理的证明首先 由恒等式 知 所有 的 元数组 2 c o s A 2 c o s B 2 c o s C 均是方 程 的解 反之 易看出 0 y x y 1 9 9 8 印度数学竞赛 证明将已知等式变形为 4 由题 8的引理知 存在一个锐角 A B C 使得 y z 2 c o s A 0 z x 2 c o s B v 一 x y 2c 0 s C 联立解得 y z 2 c o s B c o s C 2 c 0 s A C O S C 2 e 0 s A c 0 s B e 0 S A c 0 s 8 e 0 s C 因此 只要 证 明 2 c o s B C O S C 2 c o s A c o s C 2 c o s A c o s B 一上 一 C O S A C O S B x C 4 C O S A C O S B C O S C 在不等式 中 取 Q L 一 C S c L l I L 2 0 1 0年第 1 期 1 7 两种拆分方法在解不等式I闭题中的应用 李 涛 天津师范大学数学科学学院 0 7级研究生 3 0 0 3 8 7 中圉分类号 O1 2 2 3 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 1 0 0 1 7 0 3 1 差项比较法 定理 1 对于数列 Y 有 1 2 一 1 3 一 2 一 一 1 y y l 2 y 1 y 3 Y 2 y 一 y 一 i 若 l y l 且 一 l 一 y l 2 则 y 例 1 求证 旦 号 1 rt n 9 2 2 1 T 一 y 2 又 一 l 1 1 1 y y 而 一 于是 只须证 式 右边 击 2 k 1 一 一 一一 2 设 等 则z 1 y z 一 一 于是 只须证明 一 2c o s A C O S B C O S C 即得证 把此题稍加改造 即为 题 l O 设正数 u W满足 u 4 掘 2 0 0 7 中国国家集训队测试题 顺便指 出 在大学 自主招生试题中也有 嵌入不等式的影子 如 题 l l 已知 卢 y 1 8 0 y 0 求 3 c o s 4 c o s 卢 5 c o s y的最大值 解在不等式 中 令 2 y z 3 2 z x 4 2 x 5 僭 舞 且 A B C 则 3c o s d 4c 当 且 仅 当 s in s i