2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 20102010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案 考试时间 2010 年 9 月 4 日 9 00 11 30 二 题号一 9101112 总分 得分 评卷人 复核人 注意 1 本试卷共 12 小题 满分 150 分 2 用钢笔 圆珠笔或签字笔作答 3 书写不要超过装订线 4 不能使用计算器 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 8 8 分 共分 共 6464 分 分 1 函数的值域是 2 24f xxxx 2 函数 的图象与的图象关于直线对称 y x ye 1xy 3 正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 4 设椭圆与双曲线相切 则 22 1 11 xy tt 1xy t 5 设是复数 则的最小值等于 z 1 1 zziz 6 设 是实数 若方程的三个根构成公差为 1 的等差数列 abc 32 0 xaxbxc 则 应满足的充分必要条件是 abc 7 设是的内心 OABC 5AB 6AC 7BC OPxOAyOBzOC 动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 0 1x y z P 8 从正方体的八个顶点中随机选取三点 构成直角三角形的概率是 二 解答题 共二 解答题 共 8686 分 分 9 20 分 设数列满足 求的通项公式 n a 1 0a 1 2 1 n n a a 2n n a 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 10 22 分 求最小正整数使得可被 2010 整除 n 2 24nn 11 22 分 已知的三边长度各不相等 分别是 的平ABC DEFA B C 分线与边 的垂直平分线的交点 求证 的面积小于的面积 BCCAABABC DEF 12 22 分 桌上放有根火柴 甲乙二人轮流从中取走火柴 甲先取 第一次可取走至多n 根火柴 此后每人每次至少取走 根火柴 但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍 1n 1 取得最后一根火柴者获胜 问 当时 甲是否有获胜策略 请详细说明理由 100n 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 填空题 每小题 8 分 共 64 分 1 答案 42 5 8 提示 因 设 则04x 22cosx 0 其中 为锐4cos2sin42 5cos 4y 2 cos 5 1 sin 5 角 所以当时 当时 故 0 max 8y min 42 5y 42 5 8y 2 答案 1 ln 1 x 提示 因两函数图象关于直线对称 所以 1xy 1xy 1yx 解得 1 1 y xe 1 ln 1 yx 3 答案 1 3 提示 正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成 所 以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二 面角的两倍 tan2 2 2 11 cos 1tan3 则 2 1 cos22cos1 3 4 答案 5 提示 由椭圆方程知 设其参数方程为 为 22 1 11 xy tt 1t 1cos 1sin xt yt 参数 代入双曲线方程 得 1xy 2 2 sin2 1t 因两曲线相切 故 2 2 1 1t 5t 5 答案 13 提示 在复平面上 设 则当为的费马点时 1 0 A 1 0 B 0 1 CZABC 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 取得最小值 最小值为 1 1 zziz 32 32 3 113 333 6 答案 且 2 1 3 a b 3 273 aa c 提示 设三个根为 则 1 1 32 1 1 xaxbxcxxx 右边展开与左边比较得 3a 2 1 1 1 1 31b 消去得 这就是所 1 1 c 2 3 1 3 273 a b aa c 求的充要条件 7 答案 12 6 提示 如图 根据向量加法的几何意义 知点在图P 中的三个平形四边形及其内部运动 所以动点的轨迹所P 覆盖的平面区域的面积等于等于面积的 2 倍 即ABC 12 6 8 答案 6 7 提示 从正方体的八个顶点中随机选取三点 共有个三角形 其中直角三角形有 3 8 C 个 所求 构成直角三角形 的概率是 3 4 12 C 3 4 3 8 126 7 C C 二 解答题 共 86 分 9 解 特征根法 又 10 分 1 1 42 2 1 n n n a a a 1 1 1 1 1 n n n a a a 得 2 12 12 222 2 2 2 111 n nnn nnn aaa aaa 于是 20 分 2 2 2 1 n n n a 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 10 解 2 2010 24nn 2 2 2 2 240mod2 240mod3 240mod5 240mod67 nn nn nn nn 2 2 2 0mod3 1mod5 43mod67 nn nn nn 10 分 又或 2 0mod30nnn 2mod3 2 1mod52mod5nnn 或 2 43mod6710nnn 56mod67 故所求最小正整数 22 分 77n 11 证明 由题设可证 六点共圆 10 分 ABCDEF 不妨设圆半径为 1 则有 1 sin2sin2sin2 2 ABC SABC 1 sinsinsin 2 DEF SABC 由于sin2sin2sin2ABC 111 sin2sin2 sin2sin2 sin2sin2 222 ABBCCA sin sin sin sin sin sin ABABBCBCCACA sin sin sin ABBCCA sinsinsinABC 的面积小于的面积 22 分 ABC DEF 12 解 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目从小到大排序为 n 不难发现其前 4 项分别为 2 3 5 8 1 n 2 n 3 n 下面我们用数学归纳法证明 1 满足 i n 11iii nnn 2 当时 乙总可取到最后一根火柴 并且乙此时所取的火柴数目 i nn 1i n 3 当时 甲总可取到最后一根火柴 并且甲此时所取的火柴数目 1ii nnn i n 10 分 设 注意到 i knn 4i 21 2 i ii n nn 当时 甲第一次时可取根火柴 剩余根火柴 乙无法获胜 1 2 i n k k2 i nk 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 6 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 当时 根据归纳假设 甲可以取到第根火柴 并且甲 1 2 i i n kn 21ii nkn k 此时所取的火柴数目 剩余根火柴 乙无法获胜 2i n 2 2 ii nn 当时