概率论期末复习知识点

精品文档 1欢迎下载 知识点知识点 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 本章重点 随机事件的概率计算 本章重点 随机事件的概率计算 1 1 事件的关系及运算事件的关系及运算 1 AB 或BA 2 和事件和事件 AB 12n AAA 简记为 1 n i i A 3 积事件积事件 AB 12n AAA 简记为 12n A AA 或 1 n i i A 4 互不相容互不相容 若事件 A 和 B 不能同时发生 即AB 5 对立事件对立事件 A 6 差事件差事件 若事件 A 发生且事件 B 不发生 记作AB 或AB 7 德德A摩根 摩根 DeDe MorganMorgan 法则 法则 对任意事件 A 和 B 有 ABAB ABAB 2 古典概率的定义古典概率的定义 古典概型古典概型 A nA P A n 中所含样本点的个数 中所含样本点的个数 几何概率 A P A 的长度 或面积 体积 样本空间的的长度 或面积 体积 精品文档 2欢迎下载 3 3 概率的性质概率的性质 1 0P 2 有限可加性 设 n 个事件 1 2 n A AA 两两互不相容 则有 12 1 n ni i P AAAP A 3 1 P AP A 4 若事件 A B 满足AB 则有 P BAP BP A P AP B 5 1P A 6 加法公式 对于任意两个事件 A B 有 P ABP AP BP AB 对于任意 n 个事件 1 2 n A AA 有 1 1 1111 1 nn n iiijijkn iij nij k ni PAP AP A AP A A AP AA 4 4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 P AB P A B P B 乘法公式 P ABP A P B AP B P A B 5 5 随机事件的相互独立性随机事件的相互独立性 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件一 P ABP A P B 精品文档 3欢迎下载 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件二 P A BP A 对于任意 n 个事件 1 2 n A AA 相互独立性定义如下 对任意一个 2 kn 任意的 1 1 k iin 若事件 1 2 n A AA 总满足 11 kk iiii P AAP AP A 则称事件 1 2 n A AA 相互独立 这里实际上包含了2 1 n n 个等式 6 6 贝努里概型与二项概率贝努里概型与二项概率 设在每次试验中 随机事件 发生的概率 01 P App 则在 n 次重复独立试 验中 事件 恰发生k次的概率为 1 0 1 kn k n n P kppkn k 7 7 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式 贝叶斯公式 如果事件 1 2 n A AA 两两互不相容 且 1 n i i A 0 i P A 1 2 in 则 1 1 2 kk kn ii i P A P B A P ABkn P A P B A 第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 本章重点 离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算本章重点 离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算 概率论主要研究随机变量的统计规律 也称这个统计规律为随机变量的分布 1 1 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 1 2 ii pP Xain 精品文档 4欢迎下载 分布律律也可用下列表格形式表示 X 12n aaa r P 12n ppp 2 2 概率函数的性质概率函数的性质 1 0 i p 1 2 in 2 1 1 i i p 3 3 常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布 1 0 0 1 1 分布分布 1 Bp 它的概率函数为 1 1 ii P Xipp 其中 0i 或 1 0 1p 2 二项分布二项分布 B n p 它的概率函数为 1 in i n P Xipp i 其中 0 1 2 in 0 1p 泊松分布泊松分布 P 它的概率函数为 i P Xie i 其中 0 1 2 in 0 4 4 二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量及联合概率 二维离散型随机变量 X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示 精品文档 5欢迎下载 1 2 ijij P Xa Ybpi j 其中 0 1 2 1 ijij ij pi jp 5 5 二维离散型随机变量的边缘概率二维离散型随机变量的边缘概率 设 X Y 为二维离散型随机变量 ij p 为其联合概率 1 2 i j 称概率 1 2 i P Xai 为随机变量X的边缘分布律 记为 i p A并有 1 2 iiij j pP Xap i 称概率 1 2 j P Ybj 为随机变量 Y 的边缘分布率 记为 jp 并有 jp 1 2 jij i P Ybpj 6 6 随机变量的相互独立性 随机变量的相互独立性 设 X Y 为二维离散型随机变量 X与Y相互独立的充分必要条件为 1 2 ijij pp pi j AA 对一切 多维随机变量的相互独立性可类似定义 即多维离散型随机变量的独立性有与二维相 应的结论 7 7 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设X是一个随机变量 g x 是一个已知函数 Yg X 是随机变量X的函数 它 也是一个随机变量 对离散型随机变量X 下面来求这个新的随机变量Y的分布 设离散型随机变量X的概率函数为 X 12n aaa 精品文档 6欢迎下载 r P 12n ppp 则随机变量函数 Yg X 的概率函数可由下表求得 Yg X 12 n g ag ag a r P 1 p 2 p n p 但要注意 若 i g a 的值中有相等的 则应把那些相等的值分别合并 同时把对应的概率 i p 相加 第三章第三章 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 本章重点 一维及二维随机变量的分布及其概率计算本章重点 一维及二维随机变量的分布及其概率计算 边缘分布和独立性计算边缘分布和独立性计算 1 1 分布函数分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示 2 2 分布函数 分布函数 F x 的性质的性质 1 0 1 F x 2 0 1 limlim xx F xF x 由已知随机变量X的分布函数 F x 可算得X落在任意区间 a b 内的概率 3 3 联合分布函数 联合分布函数 二维随机变量 X Y 的联合分布函数 F xP Xx P aXbF bF a F x yP Xx Yx 精品文档 7欢迎下载 4 联合分布函数的性质 1 0 1F x y 2 0 0lim lim x y F x yF x y 0 1lim lim x x y y F x yF x y 3 121222211211 P xXxyYyF xyF xyF x yF x y 5 5 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X的分布函数为 F x 如果存在一个非负函数 f x 使得对于任一实 数x 有 x F xf x dx 成立 则称称 X X 为连续型随机变量为连续型随机变量 函数 f x 称为连续型随机变量X的概率密度 6 6 概率密度概率密度 f x 及连续型随机变量的性质及连续型随机变量的性质 0 f x 1f x dx F xf x 4 设X为连续型随机变量 则对任意一个实数 c 0P Xc 5 设 f x 是连续型随机变量X的概率密度 则有 P aXbP aXbP aXbP aXb b a f x dx 7 7 常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布 精品文档 8欢迎下载 1 均匀分布均匀分布 R a b 它的概率密度为 1 0 axb f xba 其余 其中 ab 2 指数分布指数分布 E 它的概率密度为 0 0 x ex f x 其余 其中 0 3 正态分布正态分布 2 N 它的概率密度为 2 2 2 1 2 x f xex 其中 0 当 0 1 时 称 0 1 N 为标准正态分布 它的概率密 度为 2 2 1 2 x f xex 标准正态分布的分布函数记作 x 即 2 2 1 2 t x xedt 当出 0 x 时 x 可查表得到 当 0 x 时 x 可由下面性质得到 1 xx 设 2 XN 则有 x F x ba P aXb 精品文档 9欢迎下载 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量 X Y 的分布函数 F x y 如果存在一个二元非负函数 f x y 使得对于任意一对实数 x y 有 xy F x yf s t dtds 成立 则 X Y 为二维连续型随机变量 f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密 度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 1 0 f x yx y 2 1f x y dxdy 3 在 f x y 的连续点处有 2 F x y f x y x y 4 设 X Y 为二维连续型随机变量 则对平面上任一区域D有 D P X YDf x y dxdy 1 1 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 X Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 设 f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度 则X的边缘概率密度为 X fxf x y dy Y的边缘概率密度为 Y fyf x y dx 11 常用的二维连续型随机变量 精品文档 10欢迎下载 1 均匀分布 如果 X Y 在二维平面上某个区域 G 上服从均匀分布 则它的联合概率密度为 1 x y f x yG G 的面积 0 其余 2 二维正态分布 22 1212 N 如果 X Y 的联合概率密度 22 1121 222 2 1121 12 11 exp2 2 1 21 xxyx f x y 则称 X Y 服从二维正态分布 并记为 22 1212 X YN 如果 22 1212 X YN 则 2 11 XN 2 22 YN 即二维正 态分布的边缘分布还是正态分布 1212 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 XY F x yFx Fyx y 对一切 那么 称随机变量X与Y相互独立 设 X Y 为二维连续型随机变量 则X与Y相互独立的充分必要条件为 XY f x yfx fy 在一切连续点上 如果 22 1212 X YN 那么 X与Y相互独立的充分必要条件是 0 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 本章重点 随机变量的期望 方差的计算本章重点 随机变量的期望 方差的计算 1 1 数学期望数学期望 精品文档 11欢迎下载 设X是离散型的随机变量 其概率函数为 1 2 ii P Xapi 则定义X的数学期望数学期望为 ii i E Xa p 设X为连续型随机变量 其概率密度为 f x 则定义X的数学期望数学期望为 E Xxf x dx 2 2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设X为离散型随机变量 其概率函数 1 2 ii P Xapi 则X的函数 g X 的数学期望为 ii i E g Xg a p 设 X Y 为二维离散型随机变量 其联合概率函数 1 2 ijij P Xa Ybpi j 则 X Y 的函数 g X Y 的数学期望为 ijij ji E g X Yg a bp 3 3 数学期望的性质数学期望的性质 1 E cc 其中 c 为常数 2 E kXbkE Xb k b为常数 3 E XYE XE Y 4 如果X与相互独立 则 E XYE X E Y 精品文档 12欢迎下载 4 4 方差与标准差方差与标准差 随机变量X的方差定义为 2 D XE XE X 计算方差常用下列公式 22 D XE XE X 当X为离散型随机变量 其概率函数为 1 2 ii P Xapi 则X的方差为 2 ii i D XaE Xp 当X为连续型随机变量 其概率密度为 f x 则X的方差为 2 D XxE xf x dx 随机变量X的标准差定义为方差 D X 的算术平方根 D X 5 5 方差的性质方差的性质 1 0D c c 是常数 2 2 D kXk D X k为常数 3 如果X与Y独立 则 D XYD XD Y 6 原点矩与中心矩 随机变量X的k阶原点矩定义为 k E X 随机变量X的k阶中心矩定义为 k E XE X 7 7 常用分布的数字特征常用分布的数字特征 1 当X服从二项分布 B n p 时 精品文档