概率论与数理统计期末考试试卷答案

精品文档 1欢迎下载 数理统计练习数理统计练习 一 填空题一 填空题 1 设 A B 为随机事件 且P A 0 5 P B 0 6 P B A 0 8 则P A B 0 7 2 某射手对目标独立射击四次 至少命中一次的概率为 则此射手的命中率 81 80 3 2 3 设随机变量X服从 0 2 上均匀分布 则 1 3 2 XE XD 4 设随机变量服从参数为的泊松 Poisson 分布 且已知 1 X 2 1 XXE 则 1 5 一次试验的成功率为 进行 100 次独立重复试验 当1 2 时 p p 成功次数的方差的值最大 最大值为 25 6 X Y 服从二维正态分布 则X的边缘分布为 2 2 2 121 N 2 11 N 7 已知随机向量 X Y 的联合密度函数 则E X 其他 0 10 20 2 3 2 yxxy yxf 3 4 8 随机变量X的数学期望 方差 k b为常数 则有 EX 2 DX bkXE kb bkXD 22 k 9 若随机变量X X N 2 4 Y Y N 3 9 且X X与Y Y相互独立 设Z Z 2X X Y Y 5 则Z Z N 2 25 10 的两个 无偏 估计量 若 则称比有效 是常数 21 21 DD 1 2 1 设A B为随机事件 且P A 0 4 P B 0 3 P A B 0 6 则P 0 3 BA 2 设X B 2 p Y B 3 p 且P X 1 则P Y 1 9 5 27 19 3 设随机变量X服从参数为 2 的泊松分布 且Y 3X 2 则E Y 4 4 设随机变量X服从 0 2 上的均匀分布 Y 2X 1 则D Y 4 3 5 设随机变量X的概率密度是 且 则 0 6 其他0 103 2 xx xf 784 0 XP 6 利用正态分布的结论 有 1 dxexx x 2 2 2 2 44 2 1 7 已知随机向量 X Y 的联合密度函数 其他 0 10 20 2 3 2 yxxy yxf 则E Y 3 4 8 设 X Y 为二维随机向量 D X D Y 均不为零 若有常数a 0 与b使 则X与Y的相关系数 1 1 baXYP XY 9 若随机变量X X N 1 4 Y Y N 2 9 且X X与Y Y相互独立 设Z Z X X Y Y 3 则Z Z N 2 13 10 设随机变量X N 1 2 2 以Y表示对X的三次独立重复观察中 2 1 X 出现的次数 则 3 8 2 YP 1 设 A B 为随机事件 且P A 0 7 P A B 0 3 则0 6 BAP 2 四个人独立地破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为 6 1 3 1 4 1 5 1 则密码能被译出的概率是 11 24 5 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布 且 则 6 423 XPXP 6 设随机变量X N 1 4 已知 0 5 0 6915 1 5 0 9332 精品文档 2欢迎下载 则 0 6247 2XP 7 随机变量X的概率密度函数 则E X 1 12 21 xx exf 8 已知总体X N 0 1 设X1 X2 Xn是来自总体X的简单随机样本 则 n i i X 1 2 2 nx 9 设T服从自由度为n的t分布 若 则 TP TP 2 a 10 已知随机向量 X Y 的联合密度函数 其他 0 10 20 yxxy yxf 则E X 4 3 1 设 A B 为随机事件 且P A 0 6 P AB P 则P B 0 4 BA 2 设随机变量X与Y相互独立 且 则P X Y 0 5 5 05 0 11 P X 5 05 0 11 P Y 3 设随机变量X服从以n p为参数的二项分布 且EX 15 DX 10 则n 45 4 设随机变量 其密度函数 则 2 2 NX 6 44 2 6 1 xx exf 5 设随机变量X的数学期望EX和方差DX 0 都存在 令 DXEXXY 则DY 1 6 设随机变量X服从区间 0 5 上的均匀分布 Y服从的指数分布 且X Y相互独立 5 则 X Y 的联合密度函数f x y 其它0 0 50 5 yxe y 7 随机变量X与Y相互独立 且D X 4 D Y 2 则D 3X 2Y 44 8 设是来自总体X N 0 1 的简单随机样本 n XXX 21 则服从的分布为 n i i XX 1 2 1 2 nx 9 三个人独立地向某一目标进行射击 已知各人能击中的概率分别为 3 1 4 1 5 1 则目标能被击中的概率是 3 5 10 已知随机向量 X X Y Y 的联合概率密度 其它0 0 10 4 2 yxxe yxf y 则 EY Y 1 2 1 设 A B 为两个随机事件 且 P A 0 7 P A B 0 3 则P 0 6 AB 2 设随机变量X的分布律为 且X与Y独立同分布 2 1 2 1 10 p X 则随机变量Z max X Y 的分布律为 4 3 4 1 10 P Z 3 设随机变量X N 2 且P 2 X 4 0 3 则P X 0 0 2 2 4 设随机变量X 服从泊松分布 则 2 1 XP 2 1 e 5 已知随机变量的概率密度为 令 则的概率密度为 X xfXXY2 Y yfY 2 2 1y fX 6 设X是 10 次独立重复试验成功的次数 若每次试验成功的概率为 0 4 则 2 4 XD 7 X1 X2 Xn是取自总体的样本 则 2 N 2 1 2 n i i XX 1 2 nx 精品文档 3欢迎下载 8 已知随机向量 X X Y Y 的联合概率密度 则 EX X 2 3 其它0 0 10 4 2 yxxe yxf y 9 称统计量的 无偏 估计量 如果 为参数 E 10 概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的 这个原理称为 小概率事件原理 1 设 A B 为两个随机事件 若P A 0 4 P B 0 3 则 0 3 6 0 BAP BAP 2 设X是 10 次独立重复试验成功的次数 若每次试验成功的概率为 0 4 则 18 4 2 XE 3 设随机变量X N 1 4 9 以Y表示对X的 5 次独立重复观察中 出现的次数 4 1 X 则 5 16 2 YP 4 已知随机变量X服从参数为的泊松分布 且 P X 2 P X 4 则 32 5 称统计量的无偏估计量 如果 为参数 E 6 设 且X Y相互独立 则 t n 1 0 2 nxYNX n Y X 7 若随机变量X X N 3 9 Y Y N 1 5 且X X与Y Y相互独立 设Z Z X X 2Y Y 2 则Z Z N 7 29 8 已知随机向量 X X Y Y 的联合概率密度 则 EY Y 1 3 其它0 0 10 6 3 yxxe yxf y 9 已知总体是来自总体X的样本 要检验 n XXXNX 21 2 2 0 2 o H 则采用的统计量是 2 0 2 1 Sn 10 设随机变量T服从自由度为n的t分布 若 则 TP TP 2 1 a 1 设 A B 为两个随机事件 P A 0 4 P B 0 5 则 0 55 7 0 BAP BAP 2 设随机变量X B 5 0 1 则D 1 2X 1 8 3 在三次独立重复射击中 若至少有一次击中目标的概率为 64 37 则每次射击击中目标的概率为 1 4 4 设随机变量的概率分布为 X5 0 3 3 0 2 2 0 1 XPXPXP 则的期望 EX 2 3 X 5 将一枚硬币重复掷n次 以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数 则 X 和 Y 的相关系数等于 1 6 设 X X Y Y 的联合概率分布列为 Y X 1 04 2 1 91 32 9 11 18ab 若X X Y Y相互独立 则a 1 6 b 1 9 7 设随机变量X服从 1 5 上的均匀分布 则 1 2 42XP 8 三个人独立地破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为 3 1 4 1 5 1 则密码能被译出的概率是 3 5 9 若是来自总体X的样本 分别为样本均值和样本方差 n XXXNX 21 2 1 2 SX 则 t n 1 S nX 10 的两个无偏估计量 若 则称比 有效 是常数 21 21 DD 1 2 精品文档 4欢迎下载 1 已知P A 0 8 P A B 0 5 且 A 与 B 独立 则P B 3 8 2 设随机变量X X N 1 4 且 P X X a P X X a 则a 1 3 随机变量X与Y相互独立且同分布 2 1 1 1 YPXP 2 1 1 1 YPXP 则 0 5P XY 4 已知随机向量 X Y 的联合分布密度 其它0 10 104 yxxy yxf 则EY 2 3 5 设随机变量X N 1 4 则 0 3753 已知 0 5 0 6915 1 5 0 9332 2 XP 6 若随机变量X X N 0 4 Y Y N 1 5 且X X与Y Y相互独立 设Z Z X X Y Y 3 则Z Z N 4 9 7 设总体X N 1 9 是来自总体 X 的简单随机样本 n XXX 21 分别为样本均值与样本方差 则 2 SX n i i XX 1 2 9 1 2 8 n i i X 1 2 1 9 1 2 9 8 设随机变量X服从参数为的泊松分布 且 则 6 423 XPXP 9 袋中有大小相同的红球 4 只 黑球 3 只 从中随机一次抽取 2 只 则此两球颜色不同的概率为 4 7 10 在假设检验中 把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝 这类错误称为 一错误 把不符合H0的总体当作符合H0而接受 这类错误称为 二 错误 1 设 A B 为两个随机事件 P A 0 8 P AB 0 4 则P A B 0 4 2 设X是 10 次独立重复试验成功的次数 若每次试验成功的概率为 0 4 则 2 4 XD 3 设随机变量X的概率分布为 X 1 012 P0 10 30 20 4 则 0 7 1 2 XP 4 设随机变量X的概率密度函数 则 12 21 xx exf XD 2 1 5 袋中有大小相同的黑球 7 只 白球 3 只 每次从中任取一只 有放回抽取 记首次抽到黑球时抽取的次数为X X 则P X X 10 0 39 0 7 6 某人投篮 每次命中率为 0 7 现独立投篮 5 次 恰好命中 4 次的概率是 144 5 3 07 0 C 7 设随机变量X的密度函数 且 则c 2 2 2 2 2 1 x exf cXPcXP 8 已知随机变量U U 4 9X X V V 8 3Y Y 且X X与Y Y的相关系数 1 XY 则U U与V V的相关系数 1 UV 9 设 且X Y相互独立 则t n 1 0 2 nxYNX n Y X 10 概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的 这个原理称为 小概率事件原理 1 随机事件 A 与 B 独立 0 4 5 0 7 0 BPAPBAP则 2 设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为 3 设随机变量X服从 2 6 上的均匀分布 则 0 25 43XP 4 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 且每次命中率为 0 4 则 18 4 2 EX 5 随机变量 则 N 0 1 4 NX 2 X Y 6 四名射手独立地向一目标进行射击 已知各人能击中目标的概率分别为 1 2 3 4 2 3 3 5 则目标能被击中的概率是 59 60 7 一袋中有 2 个黑球和若干个白球 现有放回地摸球 4 次 精品文档 5欢迎下载 若至少摸到一个白球的概率是 则袋中白球的个数是 4 81 80 8 已知随机变量U U 1 2X X V V 2 3Y Y 且X X与Y Y的相关系数 1 XY 则U U与V V的相关系数 1 UV 9 设随机变量X X N 2 9 且 P X X a P X X a 则a 2 10 称统计量的无偏估计量 如果 为参数 E 二 选择题二 选择题 1 设随机事件与互不相容 且 则 D AB0 BPAP B 1 BPAP BPAPABP 1 BAP1 ABP 2 将两封信随机地投入四个邮筒中 则未向前面两个邮筒投信的概率为 A A B C D 2 2 4 2 2 4 1 2 C C 2 4 2 P 4 2 已知随机变量的概率密度为 令 则的概率密度为 D X xfXXY2 Y yfY A B C D 2 2yfX 2 y fX 2 2 1y fX 2 2 1y fX 设随机变量 满足 是的分布函数 xfX xfxf xFx 则对任意实数有 B a A B C a dxxfaF 0 1 a dxxfaF 0 2 1 aFaF D 1 2 aFaF 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生 事件 8 0 AP 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF A B C D y 4 80 y 8016 y 804 y 设 为随机事件 则必有 A AB0 BP1 BAP A B C D APBAP BA BPAP APABP 某人连续向一目标射击 每次命中目标的概率为 他连续射击直到命中为止 43 则射击次数为 3 的概率是 C A B C D 3 4 3 4 1 4 3 2 4 3 4 1 2 22 4 4 1 C 3 设是来自总体的一个简单随机样本 则最有效的无偏估计是 A 12 XXX A B C 12 11 22 XX 12 12 33 XX 12 13 44 XX D 12 23 55 XX 4 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生 事件 0 1P A 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF 精品文档 6欢迎下载 A B C D y 10 3 y 310 y 910 y 5 设为总体的一个样本 为样本均值 21n XXX 2 1 2 NX 则下列结论中正确的是 D A B C 2 1 nt n X 1 1 4 1 1 2 nFX n i i 1 0 2 1 N n X D 1 4 1 2 1 2 nX n i i 已知 A B C 为三个随机事件 则 A B C 不都发生的事件为 A A B C A B C D ABCCBAABC 下列各函数中是随机变量分布函数的为 B A B x x xF 1 1 2 0 1 00 x x x x xF C D xexF x xarctgxxF 2 1 4 3 3 是二维随机向量 与不等价的是 D YX0 YXCov A B C YEXEXYE YDXDYXD YDXDYXD D 和相互独立XY 4 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 0 2P A 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF A B C D y 20 4 y 1620 y 420 y 5 设总体 其中未知 为来自总体的样本 样本均值为 2 2 NX n XXX 21 X 样本方差为 则下列各式中不是统计量的是 C 2 s A B C D X2 2 2 s X 2 2 1 sn 1 若随机事件与相互独立 则 B AB BAP A B C D BPAP BPAPBPAP BPAP BPAP 2 设总体X的数学期望 EX 方差 DX 2 X1 X2 X3 X4是来自总体X的简单随机样本 则下列 的估计量中最有效的是 D 1233123 12341234 1111111 A B 6633333 34111111 C D 55554444 XXXXXXX XXXXXXXX 3 设为标准正态分布函数 x 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 且 相互独立 令 则由中心极限定理知 0 3P A 10021 XXX 100 1i i XY 的分布函数近似于 B Y yF 精品文档 7欢迎下载 A B C D y 30 21 y 30 21 y 30 y 4 设离散型随机变量的概率分布为 则 B 10 1 k kXP3 2 1 0 k XE A 1 8 B 2 C 2 2 D 2 4 5 在假设检验中 下列说法错误的是 C A 真时拒绝称为犯第二类错误 B 不真时接受称为犯第一类错误 1 H 1 H 1 H 1 H C 设 则变大时变小 00 真拒绝HHP 00 不真接受HHP D 的意义同 C 当样本容量一定时 变大时则变小 1 若 A 与 B 对立事件 则下列错误的为 A A B C BPAPABP 1 BAP BPAPBAP D 0 ABP 2 下列事件运算关系正确的是 A A B C D ABBAB ABBAB ABBAB BB 1 3 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 0 4P A 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF A B C D y 40 24 y 40 y 40 24 y 4 若 则 D YEXEXYE A 和相互独立 B 与不相关 C XYXY YDXDXYD D YDXDYXD 5 若随机向量 服从二维正态分布 则 一定相互独立 若 YX YX 0 XY 则一定相互独立 和都服从一维正态分布 若相互独立 则YX XYYX Cov X Y 0 几种说法中正确的是 B A B C D 1 设随机事件 A B 互不相容 则 C qBPpAP BAP A B C D qp 1 pqqp 2 设A B是两个随机事件 则下列等式中 C 是不正确的 A 其中A B相互独立 B 其中 BPAPABP BAPBPABP 0 BP C 其中A B互不相容 D 其中 BPAPABP ABPAPABP 0 AP 3 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 0 5P A 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF A B C D y 50 5 y 50 y 50 25 y 4 设随机变量X X的密度函数为f x 则Y Y 5 2X X的密度函数为 B 1515 A B 2222 1515 C D 2222 yy ff yy ff 精品文档 8欢迎下载 5 设是一组样本观测值 则其标准差是 B xxxn 12 A B C n i i xx n 1 2 1 1 n i i xx n 1 2 1 1 n i i xx n 1 2 1 D n i i xx n 1 1 1 若 A B 相互独立 则下列式子成立的为 A A B C BPAPBAP 0 ABP ABPBAP D BPBAP 2 若随机事件的概率分别为 则与一定 D A B 6 0 AP5 0 BPAB A 相互对立 B 相互独立 C 互不相容 D 相容 3 设为标准正态分布函数 x 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 且 相互独立 令 则由中心极限定理知的 0 6P A 10021 XXX 100 1i i XYY 分布函数近似于 B yF A B C D y 60 24 y 60 y 60 24 y 4 设随机变量X N 81 Y N 16 记 4 9 21 YpXPp 则 B A p1p2 D p1与p2的关系无法确定 5 设随机变量X X的密度函数为f x 则Y Y 7 5X X的密度函数为 B 1717 A B 5555 1717 C D 5555 yy ff yy ff 1 对任意两个事件和 若 则 D AB0 ABP A B C D AB BA0 BPAP APBAP 2 设 为两个随机事件 且 AB1 0 AP1 0 BP ABPABP 则必有 B A B C BAPBAP BPAPABP BPAPABP D 互不相容AB 3 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 0 7P A 10021 XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 100 1i i XYY yF A B C D y 70 21 y 70 y 70 21 y 4 已知随机变量和相互独立 且它们分别在区间 1 3 和 2 4 上服从均匀分布 XY 则 A XYE A 3 B 6 C 10 D 12 5 设随机变量X N 9 Y N 25 记 5 3 21 YpXPp 则 B A p1p2 D p1与p2的关系无法确定 1 设两个随机事件相互独立 当同时发生时 必有发生 则 A 21 A A 21 A AA 精品文档 9欢迎下载 A B C D 21 APAAP 21 APAAP 21 APAAP 21 APAPAP 2 已知随机变量的概率密度为 令 则 Y 的概率密度为 A X xfX32 XY yfY A B C D 2 3 2 1 y fX 2 3 2 1 y fX 2 3 2 1 y fX 2 3 2 1 y fX 3 两个独立随机变量 则下列不成立的是 C YX A B C D EXEYEXY EYEXYXE DXDYDXY DYDXYXD 4 设为标准正态分布函数 且 x 100 2 1 0 A 1 iXi 否则 发生事件 0 9P A 相互独立 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 10021 XXX 100 1i i XYY yF A B C D y 90 3 y 90 y 90 9 y 5 设总体X的数学期望 EX 方差 DX 2 X1 X2 X3是来自总体X的简单随机样本 则下列 的估计量中最有效的是 B 123123 123123 111111 A B 424333 342121 C D 555662 XXXXXX XXXXXX 1 若事件两两独立 则下列结论成立的是 B 321 AAA A 相互独立B 两两独立 321 AAA 321 AAA C D 相互独立 321321 APAPAPAAAP 321 AAA 2 连续型随机变量X X的密度函数f x 必满足条件 C A 0 1 B C 1 D lim 1 x f x f x dxf x 在定义域内单调不减 3 设是任意两个互相独立的连续型随机变量 它们的概率密度分别为和 21 X X 1 xf 2 xf 分布函数分别为和 则 B 1 xF 2 xF A 必为密度函数 B 必为分布函数 21 xfxf 21 xFxF C 必为分布函数 D 必为密度函数 21 xFxF 21 xfxf 4 设随机变量X X Y Y相互独立 且均服从 0 1 上的均匀分布 则服从均匀分布的是 B A X X Y Y B X X Y Y C X X Y Y D X X Y Y 5 设为标准正态分布函数 x 且 相互独立 2 1 0 A 1 niXi 否则 发生事件 P Ap 12n XXX 令 则由中心极限定理知的分布函数近似于 B 1 n i i YX Y yF A B C D y 1 ynp npp ynp 1 ynp npp 三 三 5 5 市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货 其供应量第一厂家为第二厂家的两倍 第二 第三厂家相等 且第一 第二 第三厂家的次品率依次为 2 2 4 若在市场上随机购买一件商品为次品 问该件商品是第一厂家生产的概率为多少 解 设表示产品由第i家厂家提供 i 1 2 3 B 表示此产品为次品 i A 则所求事件的概率为 精品文档 10欢迎下载 111 1 112233 P A BP A P B A P A B P BP A P B AP A P B AP A P B A 1 0 02 2 0 4 111 0 020 020 04 244 答 该件商品是第一产家生产的概率为 0 4 三 三 6 6 甲 乙 丙三车间加工同一产品 加工量分别占总量的 25 35 40 次品率分别为 0 03 0 02 0 01 现从所有的产品中抽取一个产品 试求 1 该产品是次品的概率 2 若检查结果显示该产品是次品 则该产品是乙车间生产的概率是多少 解 设 表示甲乙丙三车间加工的产品 B 表示此产品是次品 1 A 2 A 3 A 1 所求事件的概率为 112233 P BP A P B AP A P B AP A P B A 0 25 0 030 35 0 020 4 0 010 0185 2 22 1 0 35 0 02 0 38 0 0185 P A P B A P A B P B 答 这件产品是次品的 概率为 0 0185 若此件产品是次品 则该产品是乙车间生产的概率为 0 38 三 三 7 7 一个机床有 1 3 的时间加工零件 A 其余时间加工零件 B 加工零件 A 时停机的概率是 0 3 加工零件 A 时停机的概率是 0 4 求 1 该机床停机的概率 2 若该机床已停机 求它是在加工零件 A 时发生停机的概率 解 设 表示机床在加工零件 A 或 B D 表示机床停机 1 C 2 C 1 机床停机夫的概率为 1122 P BP CP D CP CP D A 1211 0 30 4 3330 2 机床停机时正加工零件 A 的概率为 11 1 1 0 3 3 3 11 11 30 P CP D C P CD P D 三 三 8 8 甲 乙 丙三台机床加工一批同一种零件 各机床加工的零件数量之比为 5 3 2 各机床所加工的零件合格率依次为 94 90 95 现从加工好的整批零件中随机抽查一个 发现是废品 判断它是由甲机床加工的概率 解 设 表示由甲乙丙三机床加工 B 表示此产品为废品 2 分 1 A 2 A 3 A 则所求事件的概率为 111 13 1 ii i P A BP A P B A P A B P B P A P B A 1 0 06 3 2 0 5 0 060 3 0 100 2 0 057 答 此废品是甲机床加工概率为 3 7 三 三 9 9 某人外出可以乘坐飞机 火车 轮船 汽车四种交通工具 其概率分别为 5 15 30 50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100 70 60 90 已知该人误期到达 求他是乘坐火车的概率 10 分 解 设 分别表示乘坐飞机 火车 轮船 汽车四种交通工具 B 表示误期到达 1 A 2 A 3 A 4 A 则 222 24 1 ii i P ABP A P B A P AB P B P A P B A 0 15 0 3 0 209 0 05 00 15 0 30 3 0 40 5 0 1 精品文档 11欢迎下载 答 此人乘坐火车的概率为 0 209 三 三 1010 某人外出可以乘坐飞机 火车 轮船 汽车四种交通工具 其概率分别为 5 15 30 50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100 70 60 90 求该人如期到达的概率 解 设 分别表示乘坐飞机 火车 轮船 汽车四种交通工具 1 A 2 A 3 A 4 A B 表示如期到达 则 4 1 ii i P BP A P B A 0 05 1 0 15 0 70 3 0 60 5 0 90 785 答 如期到达的概率为 0 785 四 四 1 1 设随机变量X的概率密度函数为 01 0 Axx f x 其它 求 1 A 2 X的分布函数F x 3 P 0 5 X 2 解 1 2 1 0 0 1 1 22 2 AA f x dxAxdxx A 2 0 20 0 01 2 1 x xx x xF xf t dt xF xf t dttdtx xF xf t dt 当时 当时 当时 1 0 2 21 0 0 01 1 1 tdt x F xxx x 故 3 P 1 2 X 2 F 2 F 1 2 3 4 四 四 2 2 已知连续型随机变量X的概率密度为 求 1 k 2 分布函数F x 3 P 1 5 X 2 5 解 2 22 0 0 1 1 221 2 1 2 k f x dxkxdxxxk k 2 0 20 0 02 0 51 4 2 1 x xx x xF xf t dt x xF xf t dttdtx xF xf t dt 当时 当时 当时 2 0 0 02 4 1 2 x x F xxx x 故 3 P 1 5 X0 25 解 1 0 2 1 1 3 3 2 f x dxa xdxa a 3 2 3 2 0 20 0 01 1 1 x xx x xF xf t dt xF xf t dttdtx xF xf t dt 当时 当时 当时 3 2 0 0 01 1 1 x F xx x x 故 3 P X 1 4 1 F 1 4 7 8 四 四 4 4 已知连续型随机变量X的概率密度为 其它 0 0 2 Axx xf 求 1 A 2 分布函数F x 3 P 0 5 X 1 解 2 0 1 21 1 A f x dxxdxA A 2 0 20 0 01 2 1 1 x xx x xF xf t dt xF xf t dttdtx xF xf t dt 当时 当时 当时 2 0 0 01 1 1 x F xxx x 故 3 P 0 5 X 1 F 1 F 0 5 1 四 四 5 5 已知连续型随即变量 X 的概率密度为 其它 0 1 1 2 x x c xf 求 1 c 2 分布函数F x 3 P 0 5 X 0 5 解 1 1 1 21 1 arcsin 1 1 1 c f x dxdxcxc x c 精品文档 13欢迎下载 1 21 21 0 11 11 arcsin 1 1 arcsin 2 x xx x xF xf t dt xF xf t dtdtt t x 当时 当时 1 1 0 1 1 arcsin 1 2 x xF xf t dt x F xxx 当时 故 1 1 1x 3 P 0 5 X 0 5 F 0 5 F 0 5 1 3 四 四 6 6 已知连续型随机变量X的分布函数为 其它 0 0 2 2 xBeA xF x 求 1 A B 2 密度函数f x 3 P 1 X 2 解 0 1 lim 1 lim 0 1 x x F xA F xAB B 2 2 2 0 0 0 x xex f xF x x 3 P 1 X 2 F 2 F 1 22 1 ee 四 四 7 7 已知连续型随机变量X的分布函数为 xBAxFarctan 求 1 A B 2 密度函数f x 3 P 1 X 2 解 1 lim 1 2 lim 0 2 A1 2 1 x x F xAB F xAB B 2 2 1 1 f xF x x 3 P 0 X 2 F 2 F 0 2arctan 1 四 四 8 8 已知连续型随机变量X的分布函数为 1 1 10 0 0 x xxA x xF 求 1 A 2 密度函数f x 3 P 0 X 0 25 精品文档 14欢迎下载 解 1 1 lim 1 1 x F xA A 2 1 01 2 0 x f xF xx 其他 3 P 0 X 0 25 1 2 四 四 9 9 已知连续型随机变量X的分布函数为 2 0 2 1 2 x x x A xF 求 1 A 2 密度函数f x 3 P 0 X 4 解 2 1 lim 1 4 0 4 x F xA A 3 2 8 2 0 2 x f xF xx x 3 P 0 X 4 3 4 四 四 1010 已知连续型随机变量X的密度函数为 其它 0 0 2 2 ax x xf 求 1 a 2 分布函数F x 3 P 0 5 X 0 5 解 2 0 2 1 1 a x f x dxdx a 2 22 0 20 0 2 0 1 x xx x xF xf t dt tx xF xf t dtdt xF xf t dt 当时 当时 当时 2 2 0 0 0 1 x x F xx x 故 3 P 0 5 X0 时 F Z z P Z z P max X Y z P X z Y z P X z P Y z dyedxe z y z x 00 1 1 zz ee 因此 系统 L 的寿命Z的密度函数为 f Z z 0 0 0 z zeee zF dz d zzz Z 五 五 2 2 已知随机变量X N 0 1 求随机变量Y X 2的密度函数 解 当y 0 时 F Y y P Y y P X 2 y 0 当y 0 时 F Y y P Y y P X 2 y yXyP 精品文档 15欢迎下载 dxedxe x y x y y 2 0 2 22 2 1 2 2 1 因此 f Y y 0 0 0 2 2 y y y e yF dy d y Y 五 五 3 3 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1 L2串联而成 且 L1 L2的寿命 分别服从参数为的指数分布 求系统 L 的寿命Z的密度函数 解 令X Y分别为子系统 L1 L2的寿命 则系统 L 的寿命Z min X Y 显然 当z 0 时 F Z z P Z z P min X Y z 0 当z 0 时 F Z z P Z z P min X Y z 1 P min X Y z 1 P X z Y z 1 P X z P Y z dyedxe z y z x 1 z e 1 因此 系统 L 的寿命Z的密度函数为 f Z z 0 0 0 z ze zF dz d z Z 五 五 4 4 已知随机变量X N 0 1 求Y X 的密度函数 解 当y 0 时 F Y y P Y y P X y 0 当y 0 时 F Y y P Y y P X y yXyP dxedxe x y x y y 2 0 2 22 2 1 2 2 1 因此 f Y y 0 0 0 2 2 2 y ye yF dy d y Y 五 五 5 5 设随机向量 X X Y Y 联合密度为 f x y 0 0 0 32 其它 yxAe yx 1 求系数A 2 判断X X Y Y是否独立 并说明理由 3 求 P 0 X 2 0 Y 1 解 1 由 1 dyedxeAdxdyeAdxdyyxf yxyx 0 3 0 2 32 00 6 3 1 2 1 0 3 0 2 A eeA yx 可得A 6 2 因 X Y 关于X和Y的边缘概率密度分别为 fX x 和 fY y 0 0 2 2 其它 xe x 0 0 3 3 其它 ye y 则对于任意的 均成立f x y fX x fY y 所以X X与Y Y独立 2 Ryx 3 P 0 X 2 0 Y 1 dyedxedxdye yxyx 1 0 3 2 0 2 32 2 0 1 0 326 1 1 34 1 0 3 2 0 2 eeee yx 五 五 6 6 设随机向量 X X Y Y 联合密度为 f x y 0 0 0 43 其它 yxAe yx 精品文档 16欢迎下载 1 求系数A 2 判断X X Y Y是否独立 并说明理由 3 求P 0 X 1 0 Y 1 解 1 由 1 dyedxeAdxdyeAdxdyyxf yxyx 0 4 0 3 43 00 可得A 12 12 4 1 3 1 0 4 0 3 A eeA yx 2 因 X Y 关于X和Y的边缘概率密度分别为 fX x 和 fY y 0 0 3 3 其它 xe x 0 0 4 4 其它 ye y 则对于任意的 均成立f x y fX x fY y 所以X X与Y Y独立 2 Ryx 3 P 0 X 1 0 Y 1 dyedxedxdye yxyx 0 4 0 3 43 1 0 1 0 4312 1 1 43 1 0 4 1 0 3 eeee yx 五 五 7 7 设随机向量 X X Y Y 联合密度为 f x y 0 10 6 其它 yxx 1 求 X X Y Y 分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度fX x fY y 2 判断X X Y Y是否独立 并说明理由 解 1 当x1 时 fX x 0 当 0 x 1 时 fX x 1 66 1 xxxdydyyxf x 因此 X Y 关于X的边缘概率密度fX x 0 10 66 2 其它 xxx 当y1 时 fY y 0 当 0 y 1 时 fY y 3 36 2 0 2 0 yxxdxdxyxf y y 因此 X Y 关于Y的边缘概率密度fY y 0 10 3 2 其它 yy 2 因为f 1 2 1 2 3 2 而fX 1 2 fY 1 2 3 2 3 4 9 8 f 1 2 1 2 所以 X与Y不独立 五 五 8 8 设二维随机向量 X Y 的联合概率密度为 f x y 0 0 其它 yxe y 1 求 X Y 分别关于X和Y的边缘概率密度fX x fY y 2 判断X与Y是否相互独立 并说明理由 解 1 当x 0 时 fX x 0 当x 0 时 fX x x x y edyedyyxf 因此 X Y 关于X的边缘概率密度fX x 0 0 其它 xe x 当y 0 时 fY y 0 当y 0 时 fY y 0 y y y yedxedxyxf 精品文档 17欢迎下载 因此 X Y 关于Y的边缘概率密度fY y 0 0 其它 yye y 2 因为f 1 2 e 2 而fX 1 fY 2 e 1 2e 2 2 e 3 f 1 2 所以 X与Y不独立 五 五 9 9 设随机变量X的概率密度为 其它 0 0 xe xf x 设F x 是X的分布函数 求随机变量Y F X 的密度函数 解 当y1 时 F Y y P Y y P F X y 1 当 0 y 1 时 F Y y P Y y P F X y 1 yFXP yyFF 1 因此 f Y y 0 10 1 其它 y yF dy d Y 五 五 1010 设随机向量 X X Y Y 联合密度为 f x y 0 10 8 其它 yxxy 1 求 X X Y Y 分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度fX x fY y 2 判断X X Y Y是否独立 并说明理由 解 1 当x1 时 fX x 0 当 0 x 1 时 fX x 1 4 48 212 1 xxyxxydydyyxf x x 因此 X Y 关于X的边缘概率密度fX x 0 10 44 3 其它 xxx 当y1 时 fY y 0 当 0 y 1 时 fY y 4 48 3 0 2 0 yxyxydxdxyxf y y 因此 X Y 关于Y的边缘概率密度fY y 0 10 4 3 其它 yy 2 因为f 1 2 1 2 2 而fX 1 2 fY 1 2 3 2 1 2 3 4 f 1 2 1 2 所以 X与Y不独立 六 六 1 1 已知随机向量 X X Y Y 的协方差矩阵 V V 为 7 6 6 9 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 7 9 2 6 28 D X Y DX DY 2Cov X Y 7 9 2 6 4 Cov X Y X Y DX DY 7 9 2 28 1 4 28 2 YXDYXD YXYXCov YXYX 所以 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 28 2 2 4 1 1 28 1 1 28 精品文档 18欢迎下载 六 六 2 2 已知随机向量 X X Y Y 的协方差矩阵 V V 为 9 2 2 1 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 9 1 2 2 14 D X Y DX DY 2Cov X Y 9 1 2 2 6 Cov X Y X Y DX DY 9 1 8 21 4 6 14 8 YXDYXD YXYXCov YXYX 所以 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 14 8 8 6 4 1 21 4 1 21 六 六 3 3 已知随机向量 X X Y Y 的协方差矩阵 V V 为 9 6 6 6 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 9 6 2 6 27 D X Y DX DY 2Cov X Y 9 6 2 6 3 Cov X Y X Y DX DY 9 6 3 3 1 3 27 3 YXDYXD YXYXCov YXYX 所以 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 27 3 3 3 1 1 3 1 1 3 六 六 4 4 已知随机向量 X X Y Y 的协方差矩阵 V V 为 4 5 5 9 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 4 9 2 5 23 D X Y DX DY 2Cov X Y 4 9 2 5 3 Cov X Y X Y DX DY 4 9 5 69 5 3 23 5 YXDYXD YXYXCov YXYX 所以 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 23 5 5 13 5 1 69 5 1 69 六 六 5 5 已知随机向量 X X Y Y 的协方差矩阵 V V 为 1 1 1 4 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 1 4 2 1 7 D X Y DX DY 2Cov X Y 1 4 2 1 3 Cov X Y X Y DX DY 1 4 3 21 3 3 7 3 YXDYXD YXYXCov YXYX 精品文档 19欢迎下载 所以 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 和 7 3 3 3 3 1 21 3 1 21 求随机向量 X X Y Y X X Y Y 的协方差矩阵与相关系数矩阵 解 D X Y DX DY 2Cov X Y 5 4 2 2 13 D X Y DX DY 2Cov X Y 5 4 2 2 5 Cov X Y X Y DX DY 5 4 1 65 1 5 13 1 YXDYXD YXYXCov YXYX 七 七 1 1 设总体X的概率密度函数是 1 0 1 0 xx f x a 其它 其中为未知参数 是一组样本值 求参数的最大似然估计 0 12 n xxx 解 似然函数 11 11 nn n ii ii Lxx 1 lnln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 n i i dLn x d 1 ln n i i n x 七 七 3 3 设总体X的概率密度函数是 2 2exp 0 0 xxx f x 其它 0 为未知参数 是一组样本值 求参数的最大似然估计 123 n x x xx 解 似然函数 22 11 1 2exp 2exp n nn nn iiii ii i Lxxxx 2 11 lnln 2 ln nn ii ii Lnxx 2 1 ln 0 n i i dLn x d 2 1 n i i n x 七 七 4 4 设总体的概率密度函数是 23 3exp 0 0 xxx f x 其它 其中 0 是未知参数 是一组样本值 求参数的最大似然估计 123 n x x xx 解 似然函数 2323 11 1 3exp 3exp n nn nn iiii ii i