应用数理统计(第2章习题)

第二章 习题部分解答 第90页 1 解 由矩估计法 8 1 8 2 262 1 2 266 1 74 002 8 1 6 10 74 002 8 8 6 106 857 10 18 1 i i i i aXx Sx n SS n 第二章 习题部分解答 第90页 2 1 解 由矩估计法 11 1 2 0 2 3 3 A x EXxdx 2 11 1 1 0 1 1 2 21 1 A EXxx dx 1 2 1 1 2 1 112 2 222 2212 1 2 2 22 222 1 2 1 11 2 2 x x n i i exdx ex dxAX n AS S S 3 4 1 1 1 1 1 2 21 N i N N Ax NN N 5 1 1 1 0 2 1 1 Axxdx 6 22 1 2 2 1 1 2 k k Ak k 3 解 2 0 2 0 1 0 2 0 0 7 11 0 7 0 525 x a AXA P APedx aa Pap pa 设表示 出现的次数 4 解 1 1 1 11 1 1 ln lnln 1 ln ln 1 lnln lnln0 lnln n i i n i i nn ii ii n i i Lc x Lcx L cxncx n n xnc 1 1 1 1 2 2 1 2 ln ln 1 ln ln 111 ln 0 22 ln n i i n i i n i i n i i Lx Lx L x n x 1 1 11 3 ln ln ln 0 11 0 0 11 n n i nn nn n nn n n L Ln Ln L otherother LL 1 1 11 4 1 ln lnln ln 1 ln 0 1 iii i n xxNx N i n x Nii i nn ii ii LC LCxNx xNx L x N 2 2 1 2 1 2 2 1 22 4 1 2 2 1 1 5 2 ln ln2 2 2 2 ln 2 0 22 1 42 i n x i n i i n ii i n i i Le x L xxLn n 1 1 1 1 1 1 1 1 6 ln lnln 1 ln ln 0 n cc i i n i i n cc in i Lcx Lcccx Lnc Lcx LL 不能解出 所以由 22 1 1 1 7 1 1 ln 2ln 2 ln 1 ln 1 2 ln 22 0 1 i n x i i n ii i n i i Lx Lxx xn Ln 012 1 2 1 8 2 1 3 2 1 3 ln 2 0 4 iii n xxxnnn i L L 5 解 1 1 max 1 0 11 1 0 n n n i U L LL 1 1 1 min 2 11 2 2 222 n n n i n n U L LL 6 解 111 11 1 1 1 2 1 2 1 22 1 1 2 11 22 2 i nin ikl ikl i nn x i ii niin xxxni nn n nn Lf xe xx xxxx Lee n n 为奇 时L 达到最大值 为偶 7 解 1 1 1 1111 2222 1 1 11 22 2 n n i n U L or 所以不唯一 8 解 0 0 11 0 1 0 0 1 1 ln ln ln ln 1 0 i nn xt i ii n in i i i LeLxt Lnn xt xt xnt 0 0 1 000 11 0 01 0 00 1 0 1 0 1 2 ln ln ln 0 i n i i nn xt i ii n ntx n L teL txt L t nt t L tL tLett 求不出结果 9 解 1 1 2 12 2 1 12 1 22 1 122 1 2 12 12 121 12 22 222 1 1 2 1 11 ln ln ln 0 ln 0 n i i i x n x n i n i i i Lee xn Ln Ln Lnnn 求不出结果 10 解 2 2 2 2 2 22 1 2 0 11 1 20 1 1 0 111 1 2 11 1 2 2 1 x n nn n i ii x n n n i n N aN aN nn EExedx kkn n xedx kn n n n k 11 解 22 22 2 0 22 0 1 0 11 22 2 2 2 112 22 1 i xx i n i i aN Eaxedxxedx EEan nn eD nI 12 解 112223 331 112223 331 1231 1 2319 551010 12 33 49131982 2525251010100 145 999 ii EEa DD EaEEa EaEEa EaEEa DaDDDaDD DaDD a a aaDa 都是 的无偏估计量最小 13 解 22 12 111122 12 22 112211221 212 2222 11221 212 2222 1211221 21212 2 11212 1 2 22 2 cov 2cov 2 2 1 220 22 a a EaEaa D aD a DaDa D c ac ac Dac Dac ca a ccc c L D c cccc ccc L cc c L c c 112 2 212 12121 22 1212 0 10 1 2 c L ccccc 14 解 2 12 2 5 1212 1 2 12 1 11 1 12 12 2 12 1 1 5 25 ln ln 10 10 2 ln 0 10 14 2 4314 i xaa n i n i i nn iiin iii i aaaN aaL ae xaa L a x xaL a a ann N aN a nn nn DDD nnn 12 22 2222 1122 111 1 1414 0 0 3 0 3 nn n DD nnnnnn n nn nnn 15 解 1 1 1 11 111 1 1 2 11 2 1 212 2 11 2 11 11 22 222 1 12 1 1 2 111 221 111 221 n i i nn n n UEA DD nn X g xnf xF xnx EXnxxdx n DXnxxdx n 的密度函数为 11 1 1 2 1 2 1 212 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 111 221 111 221 12 222 1 24 n nn nnnn n n n n n n n n X gxnf xF xn x EXnx xdx n DXnx xdx n EEE DDDD 的密度函数为 2 n 较有效 17 解 1212 11221212 22 11221122 222 122112 2 111 1112 2 1 2 321 321 12 620 33 EEDD cccccc D ccc Dc D ccDccD ccc f cccc 又E 令f 则 18 解 1 11 222 12 1 2 22 11 1 1 11 ln ln 2 2 i n i i nn ii ii xn i i PED EXAX EXDXE XAX n XX nn e xL ne 21 解 1 1 22 ln ln 1 n n i i i i x x n Ln n E 为 的有效估计量 22 解 1 1 1 1 1 11 1 ln ln 1 ln ln ln 1 ln0 ln ln 1 ln lnln 111 n i i n in i i i n i n i i i nn ii ii Lnx x Ln x n x Ln xn n xx EE nn nn 1 ii i 1i 1 L f x x 2 1 01 1 111 01 111 1 01 11 00 1 0 ln 0 ln 0 0 ln n n in i nnn nn iiin iii nn n iin ii n i i Txdxdx T nxxx dxdx n Txxdxdx E T TE Tx 000 3 设TU 则E T 0 即 等式左右两边关于 求导得 即 11 0 lnln 11 0 nn ii ii n xx nE T nn 即 23 解 0 925 15 1 0 975 15 2 1 0 95 14 1 8 7 0 58 14 2 1448 15 11 1 670 3364 0 31 1 141 0 0848 1 2448 i i i i S at n x t n S xx n nn 的的区间为 所求区间为 22 2 22 1 22 15 2 2 1 2 2 1 2 15 2 2 1 2 2 2 20 95 1 1 15 15 0 766 1 26 119 15 15 3 54 1 5 629 0 766 3 54 i i i i nSnS nn x x nS n x x nS n 的的区间为 所求区间为 24 解 2 2 2 2 1 0 95 1 2 1 2 1 2 2 1 23242534 2 10 52 5 778 1 9 1 8595 19 1 5 778 1 8595 20 607 10 1 5 778 1 8595 23 393 10 0 607 3 393 n i i a xnx Stnt n S tn n S tn n 的置信区间为 22 2 22 1 22 10 2 2 1 2 2 0 95 15 2 2 1 2 2 0 95 20 95 1 1 10 10 3 073 9 16 919 10 15 15 639 9 3 325 3 07315 639 i i i i nSnS nn x x nS x x nS 的的区间为 所求区间为 25 解 1 1 11 1 1 1 1 1 1 n i i x x nnnxy ny nn nx y ynnxyn e f xxyey e h y xxy f xxy y ey eye Xnnx n XnEX n E n 所以当时 则 26 解 222 12 11 22 12 22 22 122 2 12 2 2 1212 2 12 2 2 2 11 1 2 2 23 3 55 231 3 55 2 231 3 55 2 aax a aa aa uv N aee R a aE L a aEaa aaaed d ua auve va dvdu 同理 23 3 22 135 66 aa R a aR a a a 最小 22 2 22 2 22 34912 2252525 3124939 0222 225252525 uv a uvuv edudv aa 27 解 1 0 1 2 d a1 0 a2 1 a3 2 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 1 2 0 3 0 d dL 即 000 101 202 110 011 112 220 121 022 a a a a Laa a a a a 又 1 00 11 22 d 又 1 111 000 111 222 1111 111213 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 0 1 2 0 1 1 02 00 PPP PPP PPP RdELd La PLa PLa P 2 222 3 333 2121 212223 3131 313233 1 0 1 2 1111 10 1 4242 0 1 2 2 0 1 0 1 00 00 1 1 2 0 RdELd La PLa PLa P RdELd La PLa PLa P Rd 2 a1 1 a2 1 a3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 2 1 3 2 d dL 2 000 111 222 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 PPP PPP PPP 2 10 2 01 Rd a1 1 a2 1 a3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 3 2 d dL 3 000 111 222 0 1 1 2 0 111 0 1 2 224 0 1 0 2 1 PPP PPP PPP 3 1 10 02 1 1 4 Rd d 为最大风险最小估计量 33 解 500005000600006000 500003000080000 Laaa 11 22 33 2 11 060003000 22 0 95 06000 0 31800 0 1 8000 18000 min max RdEd RdEd RdEd di 为决策 1 2 1 2 2 0 75 06000 0 251500 0 75 80000 0 256000 Rd Rd 应买 111212 1 11112121 2 3 0 75 0 950 25 0 30 7875 0 75 0 0 950 25 0 3 6000 571 2 0 75 0 950 25 0 3 PP xxPP xx RdE Ldx L