江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(3月)数学试题+Word版含答案

精品文档 1欢迎下载 2017 20182017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学数学 试题试题 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分分 请把答案填写在答题请把答案填写在答题 卡相应位置上卡相应位置上 1 已知集合 则集合 1 1 A 3 0 1 B AB 2 已知复数满足 为虚数单位 则 z34z ii iz 3 双曲线的渐近线方程为 22 1 43 xy 4 某中学共有人 其中高二年级的人数为 现用分层抽样的方法在全校抽取人 1800600n 其中高二年级被抽取的人数为 则 21n 5 将一颗质地均匀的正四面体骰子 每个面上分别写有数字 先后抛掷次 12342 观察其朝下一面的数字 则两次数字之和等于的概率为 6 6 如图是一个算法的流程图 则输出的值是 S 7 若正四棱锥的底面边长为 侧面积为 则它的体积为 2cm 2 8cm 3 cm 8 设是等差数列的前项和 若 则 n S n an 24 2aa 24 1SS 10 a 9 已知 且 则的最小值是 0a 0b 23 ab ab ab 10 设三角形的内角 的对边分别为 已知 则ABCABCabc tan3 tan Acb Bb cos A 精品文档 2欢迎下载 11 已知函数 是自然对数的底 若函数的最小值是 1 4 1 x aex f x xx x e yf x 4 则实数的取值范围为 a 12 在中 点是边的中点 已知 则ABC PAB3CP 4CA 2 3 ACB CP CA 13 已知直线 与轴交于点 点在直线 上 圆 l20 xy xAPlC 上有且仅有一个点满足 则点的横坐标的取值集合为 22 2 2xy BABBP P 14 若二次函数在区间上有两个不同的零点 则的 2 f xaxbxc 0 a 1 2 1 f a 取值范围为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答请在答题卡指定区域内作答 解答 应写出文字说明 证明过程或演算步骤应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知向量 2sin 1 a 1 sin 4 b 1 若角的终边过点 求的值 3 4 a b 2 若 求锐角的大小 ab 16 如图 正三棱柱的高为 其底面边长为 已知点 分别是棱 111 ABCABC 62MN 的中点 点是棱上靠近的三等分点 11 ACACD 1 CCC 求证 1 平面 1 B M 1 ABN 2 平面 AD 1 ABN 精品文档 3欢迎下载 17 已知椭圆 经过点 点是椭圆的下顶点 C 22 22 1 xy ab 0 ab 1 3 2 3 1 2 A 1 求椭圆的标准方程 C 2 过点且互相垂直的两直线 与直线分别相交于 两点 已知A 1 l 2 lyx EF 求直线的斜率 OEOF 1 l 18 如图 某景区内有一半圆形花圃 其直径为 是圆心 且 在AB6OOCAB 上有一座观赏亭 其中 计划在上再建一座观赏亭 记OCQ 2 3 AQC BCP 0 2 POB 1 当时 求的大小 3 OPQ 2 当越大 游客在观赏亭处的观赏效果越佳 求游客在观赏亭处的观赏效OPQ PP 果最佳时 角的正弦值 19 已知函数 32 f xxaxbxc lng xx 1 若 且恒成立 求实数的取值范围 0a 2b f xg x c 2 若 且函数在区间上是单调递减函数 3b yf x 1 1 求实数的值 a 当时 求函数的值域 2c f xf xg x h x g xf xg x 20 已知是数列的前项和 且 n S n an 1 3a 1 23 nn Sa nN 1 求数列的通项公式 n a 2 对于正整数 已知 成等差数列 求正整数 ij k ijk j a 6 i a k a 的值 精品文档 4欢迎下载 3 设数列前项和是 且满足 对任意的正整数 都有等式 n bn n Tn 成立 求满足等式的所有正整数 12132nnn aba ba b 1 1 3n n a b 33n 1 3 n n T a n 2017 20182017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学数学 附加题 附加题 21 21 选做题选做题 在在 A A B B C C D D 四小题中只能选做两题 每小题四小题中只能选做两题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 是圆的直径 为圆上一点 过点作圆的切线交的延长线于点ABODODOAB 且满足 CDADC 1 求证 2ABBC 2 若 求线段的长 2AB CD B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 列向量 40 01 A 12 05 B a X b 1 求矩阵 AB 2 若 求 的值 11 5 1 B A X ab C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知圆经过点 圆心为直线与极轴的交C 2 2 4 P sin 3 3 点 求圆的极坐标方程 C D 选修 4 5 不等式选讲 已知 都是正数 且 求证 xy1xy 22 1 1 9xyyx 精品文档 5欢迎下载 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内请在答题卡指定区域内 作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 如图 在四棱锥中 底面是矩形 垂直于底面 PABCD ABCDPDABCD 点为线段 不含端点 上一点 2PDADAB QPA 1 当是线段的中点时 求与平面所成角的正弦值 QPACQPBD 2 已知二面角的正弦值为 求的值 QBDP 2 3 PQ PA 23 在含有个元素的集合中 若这个元素的一个排列 n 1 2 n An n 1 a 2 a 满足 则称这个排列为集合的一个错位排列 例如 对于集合 n a 1 2 i ai in n A 排列是的一个错位排列 排列不是的一个错位排列 记 3 1 2 3 A 2 3 1 3 A 1 3 2 3 A 集合的所有错位排列的个数为 n A n D 1 直接写出 的值 1 D 2 D 3 D 4 D 2 当时 试用 表示 并说明理由 3n 2n D 1n D n D 3 试用数学归纳法证明 为奇数 2 n DnN 精品文档 6欢迎下载 2017 20182017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学数学 试题参考答案试题参考答案 一 填空题一 填空题 1 2 3 4 5 1 5 3 2 yx 63 3 16 6 7 8 9 10 25 4 3 3 82 6 1 3 11 12 13 14 4ae 6 1 5 3 0 1 二 解答题二 解答题 15 解 1 由题意 4 sin 5 3 cos 5 所以2sinsin 4 a ba 2sinsincos 4 cossin 4 4 242 552 323 2 522 2 因为 所以 即 ab2sinsin 1 4 a 2sin 所以 sincoscossin 1 44 2 sinsincos1 则 对锐角有 所以 2 sincos1 sin 2 cos cos0 tan1 所以锐角 4 16 证明 1 连结 正三棱柱中 且 则四MN 111 ABCABC 11 AACC 11 AACC 边形是平行四边形 因为点 分别是棱 的中点 所以 11 AAC CMN 11 ACAC 且 1 MNAA 1 MNAA 又正三棱柱中且 所以且 所 111 ABCABC 11 AABB 11 AABB 1 MNBB 1 MNBB 以四边形是平行四边形 所以 又平面 平面 1 MNBB 1 B MBN 1 B M 1 ABNBN 1 ABN 所以平面 1 B M 1 ABN 精品文档 7欢迎下载 2 正三棱柱中 平面 111 ABCABC 1 AA ABC 平面 所以 BN ABC 1 BNAA 正中 是的中点 所以 又 平面 ABC NABBNAC 1 AAAC 11 AAC C 1 AAACA 所以平面 又平面 BN 11 AAC CAD 11 AAC C 所以 ADBN 由题意 所以 1 6AA 2AC 1AN 6 3 CD 1 3 2 AAAN ACCD 又 所以与相似 则 1 2 A ANACD 1 A AN ACD 1 AANCAD 所以 1 ANACAD 11 2 ANAAAN 则 又 平面 1 ADAN 1 BNANN BN 1 AN 1 ABN 所以平面 AD 1 ABN 17 解 1 由题意得 解得 22 22 31 1 4 13 1 4 ab ab 2 2 11 4 1 1 a b 所以椭圆的标准方程为 C 2 2 1 4 x y 2 由题意知 直线 的斜率存在且不为零 0 1 A 1 l 2 l 精品文档 8欢迎下载 设直线 与直线联立方程有 得 1 l 1 1yk x yx 1 1yk x yx 11 11 11 E kk 设直线 同理 2 l 1 1 1yx k 11 11 11 11 F kk 因为 所以 OEOF 1 1 11 1 1 1 k k 无实数解 1 1 11 1 1 1 k k 1 1 1 0k k 解得 1 1 11 1 1 1 k k 1 1 1 2k k 2 11 210kk 1 12k 综上可得 直线的斜率为 1 l12 18 解 1 设 由题 中 OPQ Rt OAQ 3OA AQOAQC 2 33 所以 在中 3OQ OPQ 3OP 2 POQ 236 由正弦定理得 sinsin OQOP OPQOQP 即 所以 33 sin sin 6 3sinsin 6 5 sin 6 则 所以 5 3sinsincos 6 5 cossin 6 13 cossin 22 3sincos 因为为锐角 所以 所以 得 cos0 3 tan 3 6 2 设 在中 OPQ OPQ 3OP 2 POQ 236 精品文档 9欢迎下载 由正弦定理得 即 sinsin OQOP OPQOQP 33 sin sin 2 所以3sinsin 2 sin 2 cos coscossinsin 从而 其中 3sin sin coscos 3sin0 cos0 所以 cos tan 3sin 记 cos 3sin f 2 13sin 3sin f 0 2 令 存在唯一使得 0f 3 sin 3 0 0 2 0 3 sin 3 当时 单调增 当时 单调减 0 0 0f f 0 2 0f f 所以当时 最大 即最大 0 f tanOPQ 又为锐角 从而最大 此时 OPQ OPQ 3 sin 3 答 观赏效果达到最佳时 的正弦值为 3 3 19 解 1 函数的定义域为 当 yg x 0 0a 2b 3 2f xxxc 恒成立 恒成立 即 f xg x 3 2lnxxcx 3 ln2cxxx 令 则 3 ln2xxxx 2 1 32xx x 3 123xx x 2 1 1 33 xxx x 令 得 在上单调递增 0 x 1x x 0 1 令 得 在上单调递减 0 x 1x x 1 当时 1x max 1 1x 1c 精品文档 10欢迎下载 2 当时 3b 32 3f xxaxxc 2 323fxxax 由题意 对恒成立 2 3230fxxax 1 1 x 即实数的值为 1 3230 1 3230 fa fa 0a a0 函数的定义域为 yh x 0 当 时 0a 3b 2c 3 32f xxx 令 得 2 33fxx 2 330fxx 1x x 0 1 1 1 fx 0 f x A极小值0A 当时 当时 当时 0 1 x 0f x 1x 0f x 1 x 0f x 对于 当时 当时 当时 lng xx 0 1 x 0g x 1x 0g x 1 x 0g x 当时 当时 当时 0 1 x 0h xf x 1x 0h x 1 x 0h x 故函数的值域为 yh x 0 20 解 1 由得 两式作差得 1 23 nn Sa nN 12 23 nn Sa 即 121 2 nnn aaa 21 3 nn aa nN 所以 则 所 1 3a 21 239aS 1 3 nn aa nN 0 n a 1 3 n n a a nN 以数列是首项为公比为的等比数列 n a33 所以 3n n a nN 2 由题意 即 2 6 jki aaa 332 6 3 jki 所以 其中 3312 j ik i 1ji 2ki 精品文档 11欢迎下载 所以 333 j i 399 k i 所以 123312 j ik i 1ji 2ki 1 3 由得 12132nnn aba ba b 1 1 3n n a b 33n 11231nnn aba ba b 21 1nn a bab 2 33 1 3 n n 11121 3 nnn ababa b 1 21 nn aba b 2 33 1 3 n n 1 11 3 333 n n abn 2 33 1 3 n n 所以 即 2 1 333 1 n n bn 1 33 333 n n 1 363 n bn 所以 1 21 n bn nN 又因为 得 所以 1 1 1 1 33 1 33ab 1 1b 21 n bn nN 从而 1 35 21 n Tn 2 121 2 n nn nN 2 3 n n n Tn nN a 当时 当时 当时 1n 1 1 1 3 T a 2n 2 2 4 9 T a 3n 3 3 1 3 T a 下面证明 对任意正整数都有 3n 1 3 n n T a 1 1 nn nn TT aa 1 2 1 1 3 n n 1 2 11 33 nn n 1 22 1 1 3 3 n nn 2 221 nn 当时 即 3n 22 221 1 nnn 2 0nn 1 1 0 nn nn TT aa 所以当时 递减 所以对任意正整数都有 3n n n T a 3n 3 3 1 3 n n TT aa 综上可得 满足等式的正整数的值为 和 1 3 n n T a n13 精品文档 12欢迎下载 2017 20182017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学数学 附加题 参考答案 附加题 参考答案 21 21 选做题选做题 A 选修 4 1 几何证明选讲 证明 1 连接 因为是圆的直径 所以 ODBDABO90ADB 2ABOB 因为是圆的切线 所以 CDO90CDO 又因为 所以 DADC AC 于是 得到 ADBCDO ABCO 所以 从而 AOBC 2ABBC 2 解 由及得到 由切割线定理 2AB 2ABBC 1CB 3CA 所以 2 1 33CDCB CA 3CD B 选修 4 2 矩阵与变换 解 1 401248 010505 AB 2 由 解得 又因为 所 11 5 1 B A X 5 1 XAB 48528 0515 a X b 以 28a 5b C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 在中 令 得 sin 3 3 0 2 所以圆的圆心的极坐标为 C 2 0 因为圆的半径 CPC 22 2 2 22 2 22 cos2 4 精品文档 13欢迎下载 于是圆过极点 所以圆的极坐标方程为 C4cos D 选修 4 5 不等式选讲 证明 因为 都是正数 xy 所以 22 3 130 xyxy 22 3 130yxyx 又因为 22 1 1 9xyyxxy 1xy 所以 22 1 1 9xyyx 必做题必做题 22 解 1 以为原点 为坐标轴 建立如图所示空间直角坐标系 DDADCDP 设 则 ABt 0 0 0 D 2 0 0 At 2 0 Bt t 0 0 Ct 0 0 2 Pt 0 Q tt 所以 CQtt t 2 0 DBt t 0 0 2 DPt 设平面的法向量 则 PBD 1 nx y z 1 1 0 0 DB n DP n 即 解得 所以平面的一个法向量 20 20 txty tz 20 0 xy z PBD 1 1 2 0 n 1 1 1 cos n CQ n CQ n CQ 3 53 t t 15 5 则与平面所成角的正弦值为 CQPBD 15 5 2 由 1 知平面的一个法向量为 设 则PBD 1 1 2 0 n 01 PQ PA PQPA DQDPPQ 0 0 2 2 0 2 ttt 2 0 2 1 tt 设平面的法向量 则 即 2 0 DBt t QBD 2 nx y z 2 2 0 0 DQ n DB n 解得 所以平面的一个法向量 22 1 0 20 t xtz