函数的最大(小)值与导数.ppt

函数的最值与导数 1 3 3 x1 x2 在极大值点附近 在极小值点附近 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 左正右负为极大值 左负右正为极小值 旧知回顾 极值的判定 求函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 确定函数的定义域 f x0 0 x0是函数f x 的极值点 x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0 注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 结论 在社会生活实践中 为了发挥最大的经济效益 常常遇到如何能使用料最省 产量最高 效益最大等问题 这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大 最小值 他们与函数极值关系如何 新课引入 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 6 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 知识回顾 最大值与最小值 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最小值 y f x o y x y f x x1 x2 x4 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得 所有极值连同端点函数值进行比较 最大的为最大值 最小的为最小值 探究一 闭区间上的最值问题 x3 例1 求函数在 0 3 上的最大值与最小值 解 f x 的图象在 0 3 上是连续不断的 令 解得 因此函数在 0 3 上的最大值为4 最小值为 例2 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 例3 解 令 解得 x 0 0 0 0 当x变化时 f x 的变化情况如下表 0 值域 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 总结 12 练习 1 求函数f x x2 4x 3在区间 1 4 内的最大值和最小值 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 故函数f x 在区间 1 4 内的最大值为8 最小值为 1 解 f x 的图象在 0 3 上是连续不断的 2 求函数在 1 2 上的最大值与最小值 因此函数在 1 2 上的最大值为10 最小值为 2 f x 在 1 2 上是增函数 例4 若函数的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解 令得x 0 x 4 舍去 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 当x 0时 f x 取得最大值b 故b 3 又f 1 f 2 9a 0 所以f x 的最小值为f 2 16a 3 29 故a 2 o x y a b o x y a b o x y a b o x y a b y f x y f x y f x y f x 结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 探究二 开区间上的最值问题 思考 1 如果函数f x 在开区间 a b 有最值 在什么位置取最值 答 在极值点位置 2 如果函数f x 在开区间 a b 上只有一个极值点 那么这个极值点是否是最值点 如果函数f x 在开区间 a b 上只有一个极值点 那么这个极值点必定是最值点 例如函数y f x 图像如下 2008安徽文 设函数 则 A 有最大值B 有最小值C 是增函数D 是减函数 A 高考链接 随堂练习 1 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 函数在 2 2 上的最小值 37 2 函数f x x3 ax b 满足f 0 0 且在x 1时取得极小值 则实数a的值为 3 3 函数f x x 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 1 1B 1 17C 3 17D 9 19 C 4 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图