2011年高考真题详解——北京卷(文科数学)

20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 1 页 共页 共 9 页 页 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 文科数学 本试卷分第第 卷卷 选择题 和第第 卷卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 3 页至第 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 2011 北京文 1 1 已知全集 U R 集合 2 1Px x 那么 UP A 1 B 1 C 1 1 D 11 答案 D 解析 2 111xx U C P 11 故选择D 2011 北京文 2 2 复数 2 12 i i A i B i C 43 55 i D 43 55 i 答案 A 解析 2 2 i2 i2 1 2i 2242 1 24 12i 12i 1 2i 1 41 4 1 iiiii i i 故选择A 2011 北京文 3 3 如果 11 22 loglog0 xy 那么 A 1yx B 1xy C 1xy D 1yx 答案 D 解析 11 22 loglogxyxy 1 2 log01yy 即1yx 故选D 2011 北京文 4 4 若p是真命题 q是假命题 则 A pq 是真命题 B pq 是假命题 C p 是真命题 D q 是真命题 答案 D 解析 或 一真必真 且 一假必假 非 真假相反 故选D 2011 北京文 5 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 2 页 共页 共 9 页 页 A 32 B 16 16 2 C 48 D 1632 2 答案 B 解析 由三视图可知几何体为底面边长为 4 高为 2 的正四 棱锥 则四棱锥的斜高为2 2 表面积 2 1 4 2 244 2 16 16 2 故选B 2011 北京文 6 6 执行如图所示的程序框图 若输入 A的值为 2 则输出的P值为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 执行三次循环 12SA 成立 1 12p 113 11 22 S P 3 2 2 SA 成立 2 13p 313111 2236 S P 11 2 6 SA 成立 3 14p 11111125 66412 S p 25 2 12 SA 不成立 输出4p 故选C 2011 北京文 7 7 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为 800 元 若每批生 产x件 则平均仓储时间为 8 x 天 且每件产品每天的仓储费用为 1 元 为使平均到每件产品 的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 A 60 件 B 80 件 C 100 件 D 120 件 答案 B 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 3 页 共页 共 9 页 页 解析 仓库费用 2 1 88 xx x 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 2 800 800 8 8 x x y xx 800 220 8 x x 当且仅当 800 8 x x 即80 x 时取等号 所以 每批应生产产品 80 件 故选择B 2011 北京文 8 8 已知点 0 2 2 0AB 若点C在函数 2 yx 的图象上 则使得 ABC 的面积为 2 的点C的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 A 解析 设 2 C x x 因为 0 2 A 2 0 B 所以AB的直线方程为1 22 xy 即 20 xy 22 222 2AB 由2 ABC S 得 11 2 22 22 ABhh 即2h 由点到直线的距离公式得 2 2 2 2 xx 即 2 22xx 解得 117 1 0 2 x 故选择A 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 2011 北京文 9 9 在ABC 中 若 1 5 sin 43 bBA 则a 答案 5 2 3 解析 由正弦定理得 sinsin ab AB 又 1 5 sin 43 bBA 所以 55 2 1 3 sin 34 a a 2011 北京文 10 10 已知双曲线 2 2 2 1 0 y xb b 的一条渐近线的方程为2yx 则 b 答案 2 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 4 页 共页 共 9 页 页 解析 由 2 2 2 1 y x b 得渐近线的方程为 2 2 2 0 y xybx b 即ybx 由一条渐近线的 方程为2yx 得b 2 2011 北京文 11 11 已知向量 3 1 0 1 3 abck 若2ab 与c 共线 则k 答案 1 解析 2 3 3 ab 由2ab 与c 共线得3331kk 2011 北京文 12 12 在等比数列 n a中 若 14 1 4 2 aa 则公比q 12n aaa 答案 2 1 1 2 2 n 解析 由 n a是等比数列得 3 41 aa q 又 14 1 4 2 aa 所以 3 1 42 2 qq 1 12 1 1 n n aq aaa q 1 1 1 2 1 2 2 1 22 n n 2011 北京文 13 13 已知函数 3 2 2 1 2 x f xx xx 若关于x的方程 f xk 有两 个不同的实根 则实数k的取值范围是 答案 0 1 解析 2 2 f xx x 单调递减且值域为 0 1 3 1 2 f xxx 单调递增且值域 为 1 f xk 有两个不同的实根 则实数 k 的取值范围是 0 1 2011 北京文 14 14 设 0 0 4 0 4 3 3 ABC tD tt R 记 N t为平行四边形 ABCD 内部 不含边界 的整点的个数 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则 0 N N t的所有可能取值为 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 5 页 共页 共 9 页 页 答案 6 6 7 8 解析 在0t 3 0 2 t 3 2 t 时分别对应点为6 7 8 在平面直角坐标系中画出平行 四边形ABCD 其中A位于原点 B位于x正半轴 设 1 2 yk k 与AD边的交点为 k A 与BC 边的交点为 k B 四边形内部ABCD 不包括边界 的整点都在线段 kk A B上 4 kk A BAB 线段 kk A B上的整点有 3 个或 4 个 所以3 2 4 28N t 不难求 得点 1 1 3 t A 2 2 2 3 t A 当t为3n型整数时 都是整点 6N t 当t为31n 型整数时 1 A 2 A都不是整点 8N t 当t为32n 型整数时 1 A 2 A都不是整点 8N t 以上表述中n为整数 上面 3 种 情形涵盖了t的所有整数取值 所以 N t的值域为 6 7 8 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 2011 北京文 15 15 本小题满分 13 分 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求 f x的最小正周期 求 f x在区间 6 4 上的最大值和最小值 解析 因为1 6 sin cos4 xxxf1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 1cos22sin3 2 xxxx2cos2sin3 6 2sin 2 x所以 xf的最小正周期为 因为 3 2 6 2 6 46 xx所以于是 当 6 26 2 xx即时 xf取得最大值 2 当 6 66 2xfxx时即 取得最小值1 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 6 页 共页 共 9 页 页 9 9 甲组乙组 8 9X 1 1 0 0 1 2011 北京文 16 16 本小题满分 13 分 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植 树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中经 X 表示 如果8X 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 如果9X 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率 注 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x的 平均数 解析 当8X 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 889 1035 44 x 方差为 2222 135353511 8 9 10 444416 s 记甲组四名同学为 A1 A2 A3 A4 他们植树的棵数依次为 9 9 11 11 乙组 四名同学为 B1 B2 B3 B4 他们植树的棵数依次为 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随 机选取一名同学 所有可能的结果有 16 个 它们是 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 A3 B1 A2 B2 A3 B3 A1 B4 A4 B1 A4 B2 A4 B3 A4 B4 用 C 表示 选出的两名同学的 植树总棵数为 19 这一事件 则 C 中的结果有 4 个 它们是 A1 B4 A2 B4 A3 B2 A4 B2 故所求概率为 41 164 P C 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 7 页 共页 共 9 页 页 2011 北京文 17 17 本小题满分 14 分 如图 在四面体PABC中 PCAB PABC 点 D E F G分别是棱 AP AC BC PB的中点 求证 DE 平面BCP 求证 四边形DEFG为矩形 是否存在点Q 到四面体PABC六条棱的中点的距离相等 说明理由 解析 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE 平面 BCP 所以 DE 平面 BCP 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 存在点 Q 满足条件 理由如下 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 由 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG 2 1 EG 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 ME EN NG MG MN 与 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线点为 EG 的中点 Q 且 QM QN 2 1 EG 所以 Q 为满足条件的点 2011 北京文 18 18 本小题满分 13 分 已知函数 x f xxk e 求 f x的单调区间 求 f x在区间 0 1 上的最小值 解析 1 3 ekxxf 令 0 x f 得1 kx 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 8 页 共页 共 9 页 页 当x的变化时 fx f x的变化情况如下表 x 1 k 1 k 1 k x f 0 xf极大值 1 k e 所以 xf的单调递减区间是 1 k 单调递增区间是 1 k 当01 k 即1 k时 函数 xf在 0 1 上单调递增 所以 f x在区间 0 1 上的最小值为 0 fk 当21 110 kk即时 由 知 0 1 f xk 在上单调递减 在 1 1 k 上单调递增 所以 f x在区间 0 1 上的最小值为 1 1 k f ke 当1 2ktk 即时 函数 f x在区间 0 1 上单调递减 所以 f x在区间 0 1 上的最小值为 1 1 fk e 2011 北京文 19 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Gab ab 的离心率 为 6 3 右焦点为 2 2 0 斜率为 1 的直线l与椭圆G交于 A B两点 以AB为底边作 等腰三角形 顶点为 3 2 P 求椭圆G的方程 求PAB 的面积 解析 由已知得 6 2 2 3 c c a 解得2 3a 又 222 4bac 所以椭圆G的方程为 22 1 124 xy 设直线 l 的方程为 mxy 由 1 412 22 yx mxy 得 22 463120 xmxm 设A B的坐标分别为 212211 xxyxyx AB中点为E 00 yx 则 4 3 2 21 0 mxx x 4 00 m mxy 因为AB是等腰PABV的底边 所以PE AB 所以PE的斜率 2 4 1 3 3 4 m k m 解得 20112011 年全国高考年全国高考 北京卷北京卷 文科数学 试题 文科数学 试题 第第 9 页 共页 共 9 页 页 2m 此时方程 为 2 4120 xx 解得 12 3 0 xx 所以 12 1 2yy 所以 AB 23 此时 点 3 2 P 到直线AB 02 yx的距离 322 3 2 22 d 所以PABV的面积 19 22 SAB d 2011 北京文 20 20 本小题满分 13 分 若数列 12 2 n A a aa n 满足 1kk aa 1 2 1 kn 则称