高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 三角函数典型考题归类三角函数典型考题归类 1 根据解析式研究函数性质 根据解析式研究函数性质 例 1 天津理 已知函数 2cos sincos 1f xxxxx R 求函数的最小正周期 求函数在区间上的最小值和最大值 f x f x 3 84 相关高考 1 湖南文 已知函数 2 12sin2sincos 888 f xxxx 求 I 函数的最小正周期 II 函数的单调增区间 f x f x 相关高考 2 湖南理 已知函数 2 cos 12 f xx 1 1sin2 2 g xx I 设是函数图象的一条对称轴 求的值 II 求函数的单调递增区 0 xx yf x 0 g x h xf xg x 间 2 根据函数性质确定函数解析式 根据函数性质确定函数解析式 例 2 江西 如图 函数的图象与轴相交于点 且该函数 2cos 0 0 2 yxx R y 03 的最小正周期为 1 求和的值 2 已知点 点是该函数图象上一点 点是的中点 0 2 A P 00 Q xy PA 当 时 求的值 0 3 2 y 0 2 x 0 x 相关高考 1 辽宁 已知函数 其中 I 2 sinsin2cos 662 x f xxxx R 0 求函数的值域 II 文 若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为 求函数 f x yf x 1y 2 的单调增区间 yf x 理 若对任意的 函数 的图象与直线有且仅有两个不同的交点 试确定a R yf x xaa 1y 的值 不必证明 并求函数的单调增区间 yf xx R 相关高考 2 全国 在中 已知内角 边 设内角 周长为 ABC A 2 3BC Bx y 1 求函数的解析式和定义域 2 求函数的最大值 yf x yf x y x 3 O A P 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 3 三角函数求值 三角函数求值 例 3 四川 已知 cos cos 且 0 求 tan2 的值 求 7 1 14 13 2 相关高考 1 重庆文 已知函数 f x 求 f x 的定义域 若角 a 在第一象限 且 2 sin 4 2cos2 x x afa 5 3 cos 相关高考 2 重庆理 设 f 1 求 f 的最大值及最小正周期 2 若锐角满足xxx2sin3cos6 2 x 求 tan的值 323 f 5 4 4 三角形中的函数求值 三角形中的函数求值 例 4 全国 设锐角三角形 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 2 sinabA 求 B 的大小 文 若 求 b 理 求的取值范围 3 3a 5c cossinAC 相关高考 1 天津文 在中 已知 ABC 2AC 3BC 4 cos 5 A 求的值 求的值 sin Bsin 2 6 B 相关高考 2 福建 在中 求角的大小 文 若边的长为ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B CAB 求边的长 理 若最大边的边长为 求最小边的边长 17BCABC 17 5 三角与平面向量 三角与平面向量 例 5 湖北理 已知的面积为 且满足 0 设和的夹角为 I 求的取值ABC 3ACAB 6AB AC 范围 II 求函数的最大值与最小值 2 2sin3cos2 4 f 相关高考 1 陕西 设函数 baxf 其中向量 且函数 y f x 的图象经过点 Rxxbxma 1 2sin1 2cos 2 4 求实数 m 的值 求函数 f x 的最小值及此时的值的集合 x 相关高考2 广东 已知 ABC三个顶点的直角坐标分别为A 3 4 B 0 0 C 0 c 文 1 若 求的值 理 若 A 为钝角 求 c 的取值范围 2 若 求0 ACABc5c sin A 的值 6 三角函数中的实际应用三角函数中的实际应用 例 6 山东理 如图 甲船以每小时海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线航行 当甲船位于30 2 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 处时 乙船位于甲船的北偏西方向的处 此时两船相距海里 当甲船航行分钟到达处时 乙船 1 A105 1 B2020 2 A 航行到甲船的北偏西方向的处 此时两船相距海里 问乙船每小时航行多少海里 120 2 B10 2 相关高考 宁夏 如图 测量河对岸的塔高时 可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与 现ABBCD 测得 并在点测得塔顶的仰角为 求塔高 BCDBDCCDs CA AB 7 三角函数与不等式 三角函数与不等式 例 7 湖北文 已知函数 I 求的最大值和最小值 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x f x II 若不等式在上恒成立 求实数的取值范围 2f xm 4 2 x m 8 三角函数与极值 三角函数与极值 例 8 安徽文 设函数 Rxttt xx txxf 434 2 cos 2 sin4cos 232 其中 1 将的最小值记为g t t xf 求g t 的表达式 讨论g t 在区间 1 1 内的单调性并求极值 三角函数易错题解析三角函数易错题解析 例题 1 已知角的终边上一点的坐标为 则角的最小值为 3 2 cos 3 2 sin A B C D 6 5 3 2 3 5 6 11 例题 2 A B C 是ABC 的三个内角 且是方程的两个实数根 则ABC 是 BA tan tan0153 2 xx A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 例题 3 已知方程 a 为大于 1 的常数 的两根为 0134 2 aaxx tan tan 且 则的值是 2 2 2 tan 例题 4 函数的最大值为 3 最小值为 2 则 f xaxb sin a b 例题 5 函数 f x 的值域为 xx xx cossin1 cossin 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 例题 6 若 2sin2 的取值范围是 222 sinsin sin3sin 则 例题 7 已知 求的最小值及最大值 y cossin 6 例题 8 求函数的最小正周期 2 2tan 1tan x f x x 例题 9 求函数的值域3 4 cos 222sin xxxf 例题 10 已知函数 是 R 上的偶函数 其图像关于点 M对称 且在0 0 sin xxf 0 4 3 区间 0 上是单调函数 求和的值 2 2011 三角函数集及三角形高考题 1 2011 年北京高考 9 在中 若 则 ABCA 1 5 sin 43 bBA a 2 2011 年浙江高考 5 在中 角所对的边分 若 则 ABC A B C a b c cossinaAbB 2 sincoscosAAB A B C 1 D 1 1 2 1 2 3 2011 年全国卷 1 高考 7 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的 cos 0 f xx yf x 3 图像与原图像重合 则的最小值等于 A B C D 1 3369 5 2011 年江西高考 14 已知角的顶点为坐标原点 始边为 x 轴的正半轴 若是角终边上一点 且 4 py 则 y 2 5 sin 5 6 2011 年安徽高考 9 已知函数 其中为实数 若对恒成立 且 sin 2 f xx 6 f xf xR 则的单调递增区间是 2 ff f x A B 36 kkkZ 2 kkkZ 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 C D 2 63 kkkZ 2 kkkZ 7 2011 四川高考 8 在 ABC 中 则 A 的取值范围是 222 sinsinsinsinsinABCBC A B C D 0 6 6 0 3 3 1 2011 年北京高考 17 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求的最小正周期 求在区间上的最大值和最小值 f x f x 6 4 3 2011 年山东高考 17 在中 内角的对边分别为 已知 ABC A B C a b c cos2cos2 cos ACca Bb 求的值 若 求的面积 S sin sin C A 1 cos 2 4 Bb ABC 5 2011 年全国卷高考 18 ABC 的内角的内角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 己知己知 sincsin2 sinsinaACaCbB 求求 B 若 若 0 75 2 Ab ac求 6 2011 年湖南高考 17 在 ABCA 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 sincos cAaC I 求角C的大小 II 求 3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 7 2011 年广东高考 16 已知函数 1 2sin 36 f xx x R 1 求的值 2 设 求的值 5 4 f 0 2 10 3 213 f 6 32 5 f cos 8 2011 年广东高考 18 已知函数 xR 73 sin cos 44 f xxx 求的最小正周期和最小值 已知 求证 f x 4 cos 5 4 cos 5 0 2 2 20f 9 2011 年江苏高考 17 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为 cba 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 1 若 求 A 的值 2 若 求的值 cos2 6 sin AA cbA3 3 1 cos Csin 10 2011 高考 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c asinAsinB bcos2A a I 求 2 b a II 若 c2 b2 a2 求 B 3 11 2011 年湖北高考 17 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abC I 求 ABC 的周长 II 求cos AC 的值 12 2011 年浙江高考 18 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 2011 三角函数集及三角形高考题答案 1 2011 年北京高考 9 在中 若 则 ABCA 1 5 sin 43 bBA a 答案 解析 由正弦定理得又所以 3 25 sinsin ab AB 1 5 sin 43 bBA 55 2 1 3 sin 34 a a 2 2011 年浙江高考 5 在中 角所对的边分 若 则 ABC A B C a b c cossinaAbB 2 sincoscosAAB A B C 1 D 1 1 2 1 2 答案答案 D 解析解析 BbAasincos BAA 2 sincossin 1cossincoscossin 222 BBBAA 3 2011 年全国卷 1 高考 7 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的 cos 0 f xx yf x 3 图像与原图像重合 则的最小值等于 A B C D 1 3369 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 解析 由题意将的图像向右平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 说明了是此函数周期 yf x 3 3 的整数倍 得 解得 又 令 得 2 3 kkZ 6k 0 1k min 6 4 2011 全国卷 设函数 A y 在单调递增 其图像关于直线对称 B y 在单调递增 其图像关于直线 对称 C y f x 在 0 2 单调递减 其图像关于直线 x 4 对称 D y f x 在 0 2 单调递减 其图像关 于直线 x 2 对称 解析 解法一 f x sin 2x cos2x 所以 f x 在 0 2 单调递减 其图像关于直线 x 2 对称 故选 22 2 D 5 2011 年江西高考 14 已知角的顶点为坐标原点 始边为 x 轴的正半轴 若是角终边上一点 且 4 py 则 y 2 5 sin 5 答案 8 解析 根据正弦值为负数 判断角在第三 四象限 再加上横坐标为正 断定该 角为第四象限角 斜边 对边 sin 5 52 16 2 y y 8 y 6 2011 年湖南高考 9 解析 若对恒成立 则 所以 6 f xf xR sin 1 63 f 由 可知 即 32 kkZ 6 kkZ 2 ff kZ sin sin 2 所以 代入 得 由 sin0 21 6 kkZ sin 2 f xx sin 2 6 f xx 得 故选 C 3 222 262 kxk 2 63 kxk 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 7 2011 四川高考 8 解析 由得 即 222 sinsinsinsinsinABCBC 222 abcbc 222 1 22 bca bc 故 选 C 1 cos 2 A 0A 0 3 A 1 解析 因为 高考资源网 KS5U COM 1 6 sin cos4 xxxf1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 所以的最小正周期为 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 6 2sin 2 x xf 因为于是 当时 取得最大值 2 当 3 2 6 2 6 46 xx所以 6 26 2 xx即 xf 取得最小值 1 6 66 2xfxx时即 2 2011 年浙江高考 18 已知函数 的部分图像 sin 3 f xAx xR 0A 0 2 yf x 如图所示 分别为该图像的最高点和最低点 点的坐标为 P Q P 1 A 求的最小正周期及的值 若点的坐标为 求的值 f x R 1 0 2 3 PRQ A 2 解 由题意得 因为在的图 2 6 3 T 1 PA sin 3 yAx 像 上 所以又因为 所以 解 设点 Q 的坐 sin 1 3 0 2 6 标 为 由题意可知 得 所以 连接 0 xA 0 2 363 x 0 4x 4 QA PQ 在 PRQ 中 PRQ 由余弦定理得 解得 2 3 222222 2 9 9 1 cos 2 2 2 3 9 RPRQPQAAA PRQ RP RP A A2 3 又 A 0 所以 A 3 3 2011 年山东高考 17 在中 内角的对边分别为 已知 ABC A B C a b c cos2cos2 cos ACca Bb 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 求的值 若 求的面积 S sin sin C A 1 cos 2 4 Bb ABC 解 在中 由及正弦定理可得 ABC cos2cos2 cos ACca Bb cos2cos2sinsin cossin ACCA BB 即sin sin2cossin2sincossincosABCBCBAB 则sin sinsincos2sincos2cossinABABCBCB 而 则 即 另解 1 在中 由 sin 2sin ABCB ABC sin2sinCA sin 2 sin C A ABC 可得 cos2cos2 cos ACca Bb cos2 cos2 coscosbAbCcBaB 由余弦定理可得 整理可得 由正弦定理可得 222222222222 22 bcaabcacbacb caac 2ca 另解 2 利用教材习题结论解题 在中有结论 sin 2 sin Cc Aa ABC 由可得 coscos coscos coscosabCcB bcAaC caBbA cos2cos2 cos ACca Bb 即 则 cos2 cos2 coscosbAbCcBaB coscos2 cos2 cosbAaBcBbC 2ca 由正弦定理可得 由及可得 sin 2 sin Cc Aa 2ca 1 cos 2 4 Bb 则 S 222222 42cos44 caacBaaaa 1a 2c 2 1115 sin1 21 cos 224 acBB 即 15 4 S 4 2011 年安徽高考 16 在ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 所对的边长 a b A 32 求边 BC 上的高 12cos 0BC 解 A B C 180 所以 B C A 又 即 12cos 0BC 12cos 180 0A 1 2cos0A 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考 又 0 A 180 所以 A 60 在 ABC 中 由正弦定理得 1 cos 2 A sinsin ab AB sin2sin602 sin 23 bA B a 又 所以 B A B 45 C 75 BC 边上的高 AD AC sinC ba 2sin752sin 4530 2 sin45 cos30cos45 sin30 232131 2 22222 5 2011 年全国卷高考 18 ABC 的内角的内角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 己知己知 sincsin2 sinsinaACaCbB 求求 B 若 若 0 75 2 Ab ac求 解析 I 由正弦定理得 由余弦定理得 故 因此 222 2acacb 222 2cosbacacB 2 cos 2 B 45B II 故 sinsin 3045 A sin30 cos45cos30 sin45 26 4 sin26 13 sin2 A ab B sinsin60 26 sinsin45 C cb B 6 2011 年安徽高考 17 在 ABCA 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 sincos cAaC I 求角C的大小 II 求 3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角 A B 的大小 解析 I 由正弦定理得sin sinsincos CAAC 因为0 A 所以 sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 高考圈高考圈 助你轻松跨过高考助你轻松跨过高考