2011年高考试题(解析版)--数学(理)(全国卷)

河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填 写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 一 选择题 1 复数 为的共轭复数 则1zi zz1zzz A B C D 2i i i2i 2 函数的反函数为2 0 yx x A B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C D 2 4yx xR 2 4 0 yxx 3 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是ab A B C D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 4 设为等差数列的前项和 若 公差 则 n S n an 1 1a 2d 2 24 An SS k A 8 B 7 C 6 D 5 5 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的图 cos 0 f xx yf x 3 像与原图像重合 则的最小值等于 A B C D 1 3 369 6 已知直二面角 点 A AC C 为垂足 B BD D 为垂 足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A B C D 1 2 3 3 3 6 3 7 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 A 4 种 B 10 种 C 18 种 D 20 种 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 2 8 曲线 y 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为 2x e A B C D 1 1 3 1 2 2 3 9 设是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 则 f x f x2 1 xx 5 2 f A B C D 1 2 1 4 1 4 1 2 10 已知抛物线 C 的焦点为 F 直线与 C 交于 A B 两点 则 2 4yx 24yx cosAFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成二面角的平面 截该球面得圆 N 若该 0 60 球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 12 设向量 a b c 满足 1 则的最大值等于aba b 1 2 ac bc 0 60c A 2 B c D 132 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清 楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码卜的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分把答案填在题中横线上 注意 在试卷上作 答无效 13 1 20的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 y2x2 14 已知 a sin 则 tan2 2 5 5 15 已知 F1 F2分别为双曲线 C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 2 9 x 2 27 y 为 F1AF2 的平分线 则 AF2 16 己知点 E F 分别在正方体 ABCD A1B2C3D4的棱 BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 l0 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 A C 90 a c b 求 C 2 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 3 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险 的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求 X 的期望 19 如图 四棱锥中 侧面为等边三SABCD 19 2 91 10 p e AB CD BCCD SAB 角形 2 1ABBCCDSD 证明 SDSAB 求与平面所成角的大小 ABSBC 20 设数列满足且 n a 1 0a 1 11 1 11 nn aa 求的通项公式 n a 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbS n 记S证明 21 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 过 F 且斜率为的 2 2 1 2 y C x 2 直线 与 C 交与 A B 两点 点 P 满足l0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 4 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 设函数 证明 当时 2 ln 1 2 x f xx x 0 x 0f x 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张 然后放回 用这种方式连续抽取 20 次 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 证明 p 19 2 91 10 p e 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 5 参考答案及解析 1 解 1 1 1 1 故选 Bz 1 i 1zzz 1 i 1 i 1 1i ii 2 解 得 2yx 2 4yx 2 4 y x 故反函数为 故选 B 2 0 4 x yx 3 解 故选 A 1ab 10abab 1ababab 反之不能推出 4 解 221111 2 1 1 1 2 21 kkkk SSaaakdakdakd 故选 D 2 1 21 244245kkk 5 解 即 cos cos 33 f xxx cos cos 3 xx z 则时故选 C22 66 3 kkZk 1k min 6 6 略 7 解 选画册 2 本 集邮册 2 本 共有赠送方法 选画册 1 本 集邮册 3 本 共有赠送方法 2 4 6c 故共有赠送方法 4 6 10 种 故选 B 1 4 4c 8 解 切线方程为 2 2 x ye 2k 22yx 由 故选 C 2 3 222 3 x yx yx y 得 122 2 233 s 9 解 故选 A 5511 2 2222 ffff 111 2 1 222 10 解 得 准线方程为由得xyC4 2 0 1 F 1 x 42 4 2 xy xy 4 4 2 1 BA 则 由抛物线的定义得53 2 21 2 21 yyxxAB5 2 BFAF 由余弦定理得 故选 D 5 4 552 53 25 cos 222 AFB 11 解 在 222 42122 3OMOM 0 30Rt ONMOMN 中 2 1 3 313 2 ONOMRt ONB 2 在中 N B 4 2 13 N SNB 圆 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 6 故选 D 12 略 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分把答案填在题中横线上 注意 在试卷上 作答无效 13 解 令 2 12020 1 1 r rrrrr r Tcxc x 12 918 22 rr rr 得得 所以 x 的系数为 222 2020 1 cc 9182 2020 xcc 18 的系数为 1 故 x 的系数与的系数之差为 0 9 x 2 20 c 2 20 c 14 解 a sin 2 5 5 2 52 5 cos1 sin1 55 aa 则 tan 故 tan2 5 sin1 5 cos22 5 5 a a 2 2 1 2 2tan14 2 12 1tan3 1 24 a a 15 解 由角平分线的性质得 0 6 0 6 21 FFQ 2 4 8 2 1 2 1 MF MF AF AF 又 632 21 AFAF6 2 AF 16 解 延长 CB FE 交于 M 连结 AM 过 B 作 BNAM 于 N 连结 EN 则ENB 为平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角 AM AB 2 1 22 3 tan 232 2 AB EB BNABRt EBNENB BN AB 在中 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 由正弦定理得 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 由 即22 sin2 sin2 2 sinacbRARCRB 得sinsin2sinACB A B C 1800 0 180 BAC 0 sinsin2sin 180 ACAC 即 由 A C 900 得 A 900 Csinsin2sin ACAC 即 00 sin 90 sin2sin 902 ccc 00 cossin2 2sin 45 cos 45 cccc 000 2 2sin 45 2 2sin 45 cos 45 ccc 0 1 cos 45 2 c 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 7 000 456015cc 18 解 I P 0 5 0 3 0 8 设甲乙两种保险都不购买的车主数为 则B 100 0 2 100 0 220E 答 该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率为 0 8 X 的期望值是 20 19 证明 连结 BD 过 D 作 DEABEBEDC 于则为正方形 在2 1BEDEAEABBEAE 又 22 125Rt AEDDE 2 中 AD AE 在2SABSASBAB 为等边三角形 2222 5 215SADSASD 2 中 AD 222 ADSASDSDSA 即 同理可证 SDSBSASBSSDSAB 即又平面 SDSBSASBSSDSAB 即又平面 20 解 由得 1 11 1 11 nn aa 1 1 n a 为等差数列 前项为 1 11 1 1 1 1 1 11 n dnn aa 于是 11 1 1 nn aa nn 1 1 1 11 1n n n a n b nn 111 11 nn nnnn 1 111111 12231 n nk k Sb na 1 11 1n 21 证明 由 由 2 2 1 0 1 2 y xF 得 21l yx 2 2 2 12 42 210 1 2 yx xx y x 得 设 11111 2 284 4 1 26 2 44 A x yB x yx 则 2 2 284 4 1 26 2 44 x 1 2631 21 42 y 河南教考资源信息网 版权所有 侵权必究 8 2 2613 21 42 y 0 OAOBOP 12 12 2 2 1 p p xxx yyy 故点 P 在 C 上 2 2 22 21 1 222 p p y x 点 P P 关于点 O 的对称点为 Q 2 1 2 2 1 2 Q 即 同理 2 2 111 2 2 1 11 31 1 111 2 1 1 22261 2 2242 AQAP yyy KK x xx 90PAQ 即 A P B Q 四点在同一圆上 1 PBBQ KK 90PBQ 180PAQPBQ 22 证明 22 2222 12 2 214 2 4 1 1 2 1 2 1 2 1 2 xxxxx fx xxxxx xx x 0 0 xfxf x 则在 0 上单调递增 于