2011高考专题复习：圆周运动

1 12 第二轮复习专题第二轮复习专题 物体的运动物体的运动 圆周运动圆周运动 1 物体做匀速圆周运动的条件 物体做匀速圆周运动的条件 匀速圆周运动的运动条件 做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变 方向总是和速度 方向垂直并指向圆心 2 描述圆周运动的运动学物理量 描述圆周运动的运动学物理量 1 圆周运动的运动学物理量有线速度 v 角速度 周期 T 转速 n 向心加速度 a 等 它们之间的关系大多是用半径 r 联系在一起的 如 T r rv 2 2 2 2 2 4 T r r r v a 要注意转速 n 的单位为 r min 它与周期的关系为 n T 60 2 向心加速度的表达式中 对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有 vr r v a 2 2 公式中的线速度 v 和角速度 均为瞬时值 只适用于匀速圆周运 动的公式有 2 2 4 T r a 因为周期 T 和转速 n 没有瞬时值 例题例题 1 在图 3 1 中所示为一皮带传动装置 右轮的半径为 r a 是它边缘上的一点 左 侧是一轮轴 大轮的半径为 4r 小轮的半径为 2r b 点在小轮上 到小轮中心的距离为 r c 点和 d 点分别于小轮和大轮的边缘上 若在传动过程中 皮带不打滑 则 A a 点与 b 点的线速度大小相等 B a 点与 b 点的角速度大小相等 C a 点与 c 点的线速度大小相等 D a 点与 d 点的向心加速度大小相等 解析 解析 本题的关键是要确定出 a b c d 四点之间的等量关系 因为 a c 两点在同一皮 带上 所以它们的线速度 v 相等 而 c b d 三点是同轴转动 所以它们的角速度 相等 所以选项 C 正确 选项 A B 错误 设 C 点的线速度大小为 v 角速度为 根据公式 v r 和 a v2 r 可分析出 A 点的向心加 速度大小为 r v aA 2 D 点的向心加速度大小为 r v r r raD 22 2 2 4 所以 图 3 1 4r 2r rr a b c d 2 12 选项 D 正确 选项 CD 正确 说明 说明 在分析传动装置的各物理量时 要抓住等量和不等量之间的关系 如同轴各点的角 速度相等 而线速度与半径成正比 通过皮带传动 不考虑皮带打滑的前提下 或是齿轮 传动 皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速 度大小相等 角速度与半径成反比 练习练习 1 如图 3 4 所示的皮带转动装置 左边是主动轮 右边是一个轮 轴 2 1 cA RR 3 2 BA RR 假设在传动过程中皮带不打滑 则皮带轮边缘上的 A B C 三点的角速度之比是 线速度之比是 向心加速度之比是 2 图示为某一皮带传动装置 主动轮的半径为 r1 从动轮的半 径为 r2 已知主动轮做顺时针转动 转速为 n 转动过程中皮带 不打滑 下列说法正确的是 A 从动轮做顺时针转动B 从动轮做逆时针转动 C 从动轮的转速为 2 1 r r nD 从动轮的转速为 1 2 r r n 3 92 图 3 7 中圆弧轨道 AB 是在竖直平面内的 1 4 圆周 在 B 点 轨道的切线是水平的 一质点自 A 点从静止开始下滑 不计滑块与 轨道间的摩擦和空气阻力 则在质点刚要到达 B 点时的加速度大小 为 刚滑过 B 点时的加速度大小为 3 描述圆周运动的动力学物理量 描述圆周运动的动力学物理量 向心力向心力 1 向心力来源 向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力 向心力是根据力 的作用效果命名的 不是一种特殊的性质力 向心力可以是某一个性质力 也可以是某一 个性质力的分力或某几个性质力的合力 例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力 提供向心力 带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动 由洛伦兹力提供向心力 电 子绕原子核旋转由库仑力提供向心力 圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力 做非匀速圆周运动的物体 其向心力为沿半径方向的外力的合力 而不是物体所受合 外力 图 3 7 A B 图 3 4 3 12 2 向心力大小 根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知 向心力大小为 2 2 2 2 4 T r mrm r v mF 其中 r 为圆运动半径 3 向心力的方向 总是沿半径指向圆心 与速度方向永远垂直 4 向心力的作用效果 只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 几种常见的匀速圆周运动的实例图表几种常见的匀速圆周运动的实例图表 图形受力分析利用向心力公式 2 tansinmgml 2 tan sin mgmld 2 tanmgmr 2 tanmgmr 2 Mgmr 例题例题 2 如图所示 三个物体放在旋转圆台上 动摩擦因数均为 的质量为 2m 质量均为m 离轴 离轴 2 则当圆台旋转时 设 4 12 都没有滑动 三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力 下列说法正确的是 A 物的向心加速度最大 B 物的静摩擦力最小 C 当圆台转速增加时 比 先滑动 D 当圆台转速增加时 比 先滑动 解析 解析 当三者都相对圆盘静止时 角速度相同 所以向心加速度分别为 2R 2R 22R 所以 物的向心加速度最大 选项 A 正确 三个物体随圆台转动所需要的向心力由静摩擦力提供 大小分别为 2m 2R m 2R m 22R 物体的静摩擦力最小 选项 B 正确 要比较哪个物体最先打滑 就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力 三者为 2mg mg mg 可见 C 物体先滑动 选项 C 正确 B 错误 说明 说明 一定要注意做匀速圆周运动的物体受力能提供的向心力和实际运动所需要的向心力 的关系 当旋转圆转速增加时 物体随圆盘转动需要的向心力 静摩擦力提供 也要增加 当提供不足时物体就做离心运动 练习练习 4 如图 3 12 所示 一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动 转动半径为 R 在转台边缘放 一物块 A 当转台的角速度为 0时 物块刚能被甩出转盘 若在物 块 A 与转轴中心 O 连线中点再放一与 A 完全相同的物块 B A B 均 可视为质点 并用细线相连接 当转动角速度 为多大时 两物 块将开始滑动 5 08 广东 有一种叫 飞椅 的游乐项目 示意图如图 14 所示 长为 L 的钢绳一端系着 座椅 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动 当转 盘以角速度 匀速转动时 钢绳与转轴在同一竖直平面内 与竖直方向的夹角为 不计钢 绳的重力 求转盘转动的角速度 与夹角 的关系 6 97 质量为 m 电量为 q 的质点 在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动到 B 图 3 12 O 5 12 点 其速度方向改变的角度为 弧度 AB 弧长为 s 则 A B 两点间的电势差 UA UB AB 弧中点的场强大小 E 4 竖直平面内圆周运动的临界问题 竖直平面内圆周运动的临界问题 由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物 绳 轻杆 轨道 管道等 不同 所以物体在通过最高点时临界条件不同 如图 3 7 所示 由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力 所以小球通 过最高点的临界条件是 向心力只由重力提供 即 R v mmg 2 则有临 界速度gRv 只有当gRv 时 小球才能通过最高点 如图 3 8 所示 由于轻杆对球既能产生拉力 也能产生支持力 所以 小球通过最高点时合外力可以为零 即小球在最高点的最小速度可以 为零 这样gRv 就变成了小球所受弹力方向变化的临界值 即当 vgR时 球受向下的弹力 可见 物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力 不同情况下的最小 合外力决定了不同情况下的最小速度 例题例题 3 99 如图 4 4 所示 细杆的一端与一小球相连 可绕过 O 点的水平轴自由转动 现给小球一初速度 使它做圆周运动 图 3 中 a b 分别表示小球轨道的最低点和最高点 则杆对球的作用力可能是 A a 处为拉力 b 处为拉力 B a 处为拉力 b 处为推力 C a 处为推力 b 处为拉力 D a 处为推力 b 处为推力 解析 解析 由于小球在竖直面内做圆周运动 所以当小球运动到 a b 两点时 所受的合力都为指向 O 点 当小球运动到 a 点时 受到竖直向下的重力 为使其所受合力指向 O 点 则要求杆必对小球施竖直向上的拉力 当小球运动到 b 点时 小球受到竖直向下的重力 mg 的作用 当球的速度较小时 小于 gl l 为杆的长度 mg 大于球做圆周运动所需的向心力时 杆将对球施竖直向上的推 图 4 4 a O b 图 3 8 mg O N 图 3 7 mg O 6 12 力 当小球的速度较大时 大于gl mg 小于球做圆周运动所需的向心力 此时要球 杆对小球放竖直向下的拉力 使重力和拉力的合力提供小球在 b 点时所需要的向心力 因 此小球在 b 点时杆对球的作用力是推力还是拉力 取决于小球在 b 点时的速度大小 综上所述 本题的正确选项为 A B 练习练习 7 如图 3 14 所示 一细圆管弯成的开口圆环 环面处于一竖直平面内 一光滑小球从开口 A 处进入管内 并恰好能通过圆环的最高点 则下述 说法正确的是 A 球在最高点时对管的作用力为零 B 小球在最高点时对管的作用力为 mg C 若增大小球的初速度 则在最高点时球对管的力一定增大 D 若减小小球的初速度 则在最高点时球对管的力可能增大 8 如图 3 13 所示 半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上 顶部有一小物体 A 今给它 一个水平初速度gRv 0 则物体将 A 沿球面下滑至 M 点 B 沿球面下滑至某一点 N 便离开球面做斜下抛运动 C 立即离开半球面做平抛运动 D 以上说法都不正确 5 有关圆周运动问题的分析思路 有关圆周运动问题的分析思路 圆周运动常常和力 运动 能量问题结合在一起 综合性强 解决有关圆周运动问题的思 路是 确定研究对象 确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置 对研究对象进行受力分析 在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系 若需要可对物体所受 力进行适当的正交分解 依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程 若过程中涉及能量问题一般还要列出动能定理或机械能守恒方程 然 图 3 14 v AO 图 3 13 M m R v0 图 10 O O R H H 2 A 7 12 后再解方程 并讨论解的合理性 例例 4 09 广东 如图 17 所示 一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO 转动 筒内壁粗 糙 筒口半径和筒高分别为 R 和 H 筒内壁 A 点的高度为筒高的一半 内壁上有一质量为 m 的小物块 求 当筒不转动时 物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小 当物块在 A 点随筒做匀速转动 且其所受到的摩擦力为零时 筒转动的角速度 解析 解析 物块受力如图所示 由平衡条件得 N mgcos 0 f mgsin 0 其中 22 sin H RH 得摩擦力为 22 sin mgH fmg RH 支持力为 22 cos mgR Nmg RH 这时物块的受力如图所示 由牛顿第二定律得 2 tan 2 R mgmam 得筒转动的角速度为 22 tangHg RR 例例 5 07 山东卷 16 分 如图所示 一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动 圆盘边缘有一质 量 m 1 0kg 的小滑块 当圆盘转动的角速度达到某一数值时 滑块从圆盘边缘滑落 经光滑的 过渡圆管进入轨道 ABC 已知 AB 段斜面倾角为 53 BC 段斜面倾 角为 37 滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为 0 5 A 点离 B 点所在水平面的高度 h 1 2m 滑块在运动过程中始终末脱离轨道 不计在过渡圆管处和 B 点的机械能损失 最大静摩擦力近似等于 滑动摩擦力 取 g 10m s2 sin37 0 6 cos37 0 8 1 若圆盘半径 R 0 2m 当圆盘的角速度多大时 滑块从圆盘上滑 落 2 若取圆盘所在平面为零势能面 求滑块到达 B 点时的机械能 3 从滑块到达 B 点时起 经 0 6s 正好通过 C 点 求 BC 之间的距离 图 R m h 53 37 A B C 图 10 mg N ma 8 12 解析 解析 1 滑块在圆盘上做圆周运动时 静摩擦力充当向心力 根据牛顿第二定律 可得 mg m 2R 代入数据解得 R g 5rad s 2 滑块在 A 点时的速度 vA R 1m s 从 A 到 B 的运动过程由动能定理 mgh mgcos53 22 2 1 2 1 53sin AS mvmv h 在 B 点时的机械能 EB JmghmvS4 2 1 2 3 滑块在 B 点时的速度 vB 4m s 滑块沿 BC 段向上运动时的加速度大小 a1 g sin37 cos37 10m s2 返回时的加速度大小 a2 g sin37 cos37 2m s2 BC 间的距离 sBC 2 1 2 1 2 2 1 2a v sa a v SS 0 76m 练习练习 9 09 安徽 20 分 过山车是游乐场中常见的设施 下图是一种过山车的简易模型 它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成 B C D 分别是三个圆形轨道的最低 点 B C 间距与 C D 间距相等 半径 R1 2 0m R2 1 4m 一个质量为 m 1 0kg 的小球 视为质点 从轨道的左侧 A 点以 v0 12 0m s 的初速度沿轨道向右运动 A B 间距 L1 6 0m 小球与水平轨道间的动摩擦因数 0 20 圆形轨道是光滑的 假设水平轨道足够 长 圆形轨道间不相互重叠 重力加速度取 g 10m s2 计算结果保留小数点后一位数字 试求 1 小球在经过第一个圆形轨道的最高点时 轨道对小球作用力的大小 2 如果小球恰能通过第二圆形轨道 B C 间距L应是多少 3 在满足 2 的条件下 如果要使小球不能脱离轨道 在第三个圆形轨道的设计中 半径 R3应满足的条件 小球最终停留点与起点A的距离 R1 R2 R3 A BCD v0 第一圈轨道 第二圈轨道 第三圈轨道 LLL1 9 12 10 06 重庆 20 分 请在答题卡上作答 如题 25 图 半径为 R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内 小球 A B 质量分别为 m m 为待定系数 A 球从工边 与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑 与静止于轨道最低 点的 B 球相撞 碰撞后 A B 球能达到的最大高度均为 R 4 1 碰撞中无机械能损失 重力加速度为 g 试求 1 待定系数 2 第一次碰撞刚结束时小球 A B 各自的速度和 B 球对轨道的压力 3 小球 A B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度 并讨论小球 A B 在轨道最 低处第 n 次碰撞刚结束时各自的速度 6 人造卫星的匀速圆周运动 人造卫星的匀速圆周运动 1 人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行 为使问题简化 我们认为卫星以一个恰当的速率 绕地心做匀速圆周运动 地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力 2 卫星的绕行速度 v 角速度 周期 T 都与轨道半径 r 有关 r 越大 v 越小 越小 T 越大 当卫星贴地球表面绕行时 其周期最短 约为 84 分 钟 3 运行速度与发射速度 对于人造地球卫星 由 r GM v 算出的速度指的是人造地球卫 星在轨道上的运行速度 其大小随轨道半径的增大而减小 但由于人造地球卫星发射过程 中要克服地球引力做功 增大势能 所以将卫星发射到离地球越远的轨道上 在地面所需 要的发射速度却越大 关于第一宇宙速度的两种推导方法 1 由 R v m R Mm G 2 1 2 R 为地球半径 M 为地球质量 可得第一宇宙速度 R GM v 1 2 由 R v mmg 2 1 g 为地表重力加速度 R 为地球半径 可得第一宇宙速度gRv 1 10 12 4 地球同步卫星的特点 所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转 则卫星运行周 期等于地球自转周期 24 小时 为了维持这种同步状态 卫星的轨道平面必定与地球的赤道 平面重合 通过计算可知 地球同步卫星的轨道高度 在赤道上空 36000km 处 例例 6 05 全国 卷 已知引力常量 G 月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行 的周期 T 仅利用这三个数据 可以估算出的物理量有 月球的质量 地球的质量 地球的半径 月球绕地球运行速度的大小 解析 解析 设地球的质量为 M 月球的质量为 m 根据万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm r2 4 2mr T2 从上述表达式可看出 1 等式两侧的 m 消掉了 因此不可能利用这些数据求得 m 月球的质量 2 此式中的 r 的物理意义 在等式的左侧表示行星到恒星的距离 在等式的右侧表示行 星绕恒星运动的轨道半径 因此不可能用此式求出地球的半径 3 由上式可推导出 M 2 32 4 GT r 因此可计算出地球的质量 即选项 B 正确 最后 关于 月球绕地球运行速度的大小 可以从运动学角度进行分析 v 2 R T 因此可 以求出月球绕地球运行速度的大小 即选项 D 正确