2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 理科数学 注息事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上 2 问答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答且卡一并交回 第一卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给同的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 则中所含元素 1 2 3 4 5 A Bx y xA yA xyA B 的个数为 A3 B6 C D 解析 选D 共 10 个5 1 2 3 4xy 4 1 2 3xy 3 1 2xy 2 1xy 2 将名教师 名学生分成个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 242 每个小组由 名教师和名学生组成 不同的安排方案共有 12 种 种 种 种 A12 B10 C D 解析 选A 甲地由 名教师和名学生 种12 12 24 12C C 3 下面是关于复数的四个命题 其中的真命题为 2 1 z i 的共轭复数为 的虚部为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz1 i 4 pz1 A 23 pp B 12 p p C pp D pp 解析 选C 22 1 1 1 1 1 i zi iii 的共轭复数为 的虚部为 1 2pz 2 2 2pzi 3 pz1 i 4 pz1 4 设 12 FF是椭圆的左 右焦点 为直线 3 2 a x 上一点 22 22 1 0 xy Eab ab P 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 E A 1 2 B 2 3 C D 解析 选C 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 221 33 2 2 24 c PFF Facce a 5 已知 n a为等比数列 56 8a a 则 110 aa 47 2aa A7 B5 C D 解析 选D 或 47 2aa 564747 84 2a aa aaa 47 2 4aa 47110110 4 28 17aaaaaa 47101110 2 48 17aaaaaa 6 如果执行右边的程序框图 输入正整数 2 N N 和 实数 12 n a aa 输出 则 A B 为 12 n a aa的和 AAB 2 AB 为 12 n a aa的算术平均数 B 和分别是 12 n a aa中最大的数和最小的数 CAB 和分别是 12 n a aa中最小的数和最大的数 DAB 解析 选C 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的1 是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A6 B9 C D 解析 选B 该几何体是三棱锥 底面是俯视图 高为3 此几何体的体积为 11 6 3 39 32 V 8 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 与抛物线的准线交于CxCxy16 2 A B 两点 则的实轴长为 4 3AB C A2 B2 2 C D 解析 选C 设交的准线于 222 0 C xyaa xy16 2 4l x 4 2 3 A 4 2 3 B 得 222 4 2 3 4224aaa 9 已知 函数在上单调递减 则的取值范围是 0 sin 4 f xx 2 A 1 5 2 4 B 1 3 2 4 C 1 0 2 D 0 2 解析 选A 不合题意 排除 59 2 444 x D 合题意 排除 35 1 444 x B C 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 10 已知函数 则的图像大致为 1 ln 1 f x xx yf x 解析 选B ln 1 1 010 00 0 0 x g xxxg x x g xxg xxg xg 得 或均有 排除0 x 10 x 0f x A C D 11 已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上 是边长为 的正三角形 SABC OABC 1 为球的直径 且 则此棱锥的体积为 SCO2SC A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 解析 选A 的外接圆的半径 点到面的距离ABC 3 3 r OABC 22 6 3 dRr 为球的直径点到面的距离为SCO SABC 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另 排除 13 2 36 ABC VSR B C D 12 设点在曲线上 点在曲线上 则最小值为 P 1 2 x ye Qln 2 yx PQ A1 ln2 B2 1 ln2 C1 ln2 D2 1 ln2 解析 选A 函数与函数互为反函数 图象关于对称 1 2 x ye ln 2 yx yx 函数上的点到直线的距离为 1 2 x ye 1 2 x P xeyx 1 2 2 x ex d 设函数 minmin 111 ln2 1 1 ln2 222 xx g xexg xeg xd 由图象关于对称得 最小值为yx PQ min 22 1 ln2 d 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知向量夹角为 且 则 a b 45 1 210aab b 解析 b 3 2 2 2 210 2 1044cos45103 2ababbbb 14 设满足约束条件 则的取值范围为 x y 0 1 3 x y xy xy 2zxy 解析 的取值范围为 2zxy 3 3 约束条件对应四边形边际及内的区域 OABC 0 0 0 1 1 2 3 0 OABC 则2 3 3 zxy 15 某个部件由三个元件按下图方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从 正态分布 且各个元件能否正常相互独立 那么该部件的使用寿命 2 1000 50 N 超过 1000 小时的概率为 解析 使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 N 得 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 1 4 Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 16 数列满足 则的前项和为 n a 1 1 21 n nn aan n a60 解析 的前项和为 n a601830 可证明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaaS 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知分别为三个内角的对边 a b cABC A B Ccos3 sin0aCaCbc 1 求 2 若 的面积为 求 A2a ABC 3 b c 解析 1 由正弦定理得 cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin sin 1 3sincos1sin 30 2 303060 ACACaCC AAA AA 2 1 sin34 2 SbcAbc 222 2cos4abcbcAbc 解得 l fx lby 2bc 18 本小题满分 12 分 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝元的价格出售 510 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进枝玫瑰花 求当天的利润 单位 元 关于当天需求量16yn 单位 枝 的函数解析式 nN 2 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 i 若花店一天购进枝玫瑰花 表示当天的利润 单位 元 求的分布列 16XX 数学期望及方差 ii 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 请说明理由 解析 1 当时 16n 16 105 80y 当时 15n 55 16 1080ynnn 得 1080 15 80 16 nn ynN n 2 i 可取 X607080 60 0 1 70 0 2 80 0 7P XP XP X 的分布列为X X607080 P0 10 20 7 60 0 1 70 0 280 0 776EX 222 160 1 60 240 744DX ii 购进 17 枝时 当天的利润为 14 53 5 0 1 15 52 5 0 2 16 5 1 5 0 16 17 5 0 5476 4y 得 应购进 17 枝76 476 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱中 111 ABCABC 1 1 2 ACBCAA 是棱的中点 D 1 AABDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角的大小 11 CBDA 解析 1 在中 Rt DAC ADAC 得 45ADC 同理 111 4590ADCCDC 得 面 111 DCDC DCBDDC 1 BCDDCBC 2 面 11 DCBC CCBCBC 11 ACC ABCAC 取的中点 过点作于点 连接 11 ABOOOHBD H 11 C O C H 面面面 1111111 ACBCC OAB 111 ABC 1 ABD 1 C O 1 ABD 得 点与点重合 1 OHBDC HBD HD 且是二面角的平面角 1 C DO 11 CBDA 设 则 ACa 1 2 2 a C O 111 2230C DaC OC DO 既二面角的大小为 11 CBDA 30 20 本小题满分 12 分 设抛物线的焦点为 准线为 已知以为圆心 2 2 0 C xpy p FlAC F 为半径的圆交 于两点 FAFl B D 1 若 的面积为 求的值及圆的方程 0 90 BFDABD 24pF 2 若三点在同一直线上 直线与平行 且与只有一个公共点 A B FmnmnC 求坐标原点到距离的比值 m n 解析 1 由对称性知 是等腰直角 斜边BFD 2BDp 点到准线 的距离Al2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆的方程为F 22 1 8xy 2 由对称性设 则 2 0 00 0 2 x A xx p 0 2 p F 点关于点对称得 A BF 22 22 00 00 3 222 xxp Bxppxp pp 得 直线 3 3 2 p Ap 3 3 22 30 223 pp pp m yxxy p 切点 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 3 36 p p P 直线 333 30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到距离的比值为 lfx lby m n 33 3 26 pp 21 本小题满分 12 分 已知函数满足满足 f x 12 1 1 0 2 x f xfefxx 1 求的解析式及单调区间 f x 2 若 求的最大值 2 1 2 f xxaxb 1 ab 解析 1 121 1 1 0 1 0 2 xx f xfefxxfxfefx 令得 1x 0 1f 121 1 1 0 1 1 1 2 x f xfexxffefe 得 2 1 1 2 xx f xexxg xfxex 在上单调递增 10 x g xeyg x xR 0 0 0 0 0 0fxfxfxfx 得 的解析式为 f x 2 1 2 x f xexx 且单调递增区间为 单调递减区间为 0 0 2 得 2 1 1 0 2 x f xxaxbh xeaxb 1 x h xea 当时 在上单调递增10a 0 h xyh x xR 时 与矛盾x h x 0h x 当时 10a 0ln 1 0ln 1 h xxah xxa 得 当时 ln 1 xa min 1 1 ln 1 0h xaaab 22 1 1 1 ln 1 10 abaaaa 令 则 22 ln 0 F xxxx x 1 2ln F xxx 00 0F xxe F xxe 当时 xe max 2 e F x 当时 的最大值为1 aebe 1 ab 2 e 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 分别为边的中点 直线交 D EABC AB ACDE 的外接圆于两点 若 证明 ABC F G CFAB 1 CDBC 2 BCDGBD 解析 1 CFAB DFBCCFBDADCDBF CFABAFBCBCCD 2 BCGFBGFCBD BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是 以坐标原点为极点 轴的正半轴 1 C 3siny 2cosx 为参数 x 为极轴建立坐标系 曲线的坐标系方程是 正方形的顶点都在上 2 C2 ABCD 2 C 且依逆时针次序排列 点的极坐标为 A B C DA 2 3 1 求点的直角坐标 A B C D 2 设为上任意一点 求的取值范围 P 1 C 2222 PAPBPCPD 解析 1 点的极坐标为 A B C D 5411 2 2 2 2 3636 点的直角坐标为 A B C D 1 3 3 1 1