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cuilove1 2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷 文史类 一 填空题 本大题共有 14 题 满分 56 分 1 计算 为虚数单位 3 1 i i i 2 若集合 则 210Axx 1Bx x AB 3 函数的最小正周期是 sin2 1cos x f x x 4 若是直线 的一个方向向量 则 的倾斜角的大小为 结果用反三角函数值表示 2 1 d ll 1 arctan 2 5 一个高为 2 的圆柱 底面周长为 该圆柱的表面积为 2 6 方程的解是 1 4230 xx 7 有一列正方体 棱长组成以 1 为首项 为公比的等比数列 体积分别记为 则 1 2 12 n V VV 12 lim n n VVV 8 在的二项式展开式中 常数项等于 6 1 x x 9 已知是奇函数 若且 则 yf x 2g xf x 1 1g 1 g 10 满足约束条件的目标函数的最小值是 22xy zyx 11 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人只选择一个项目 则有且仅有两位同学选择的项目相 同的概率是 结果用最简分数表示 12 在矩形中 边 的长分别为 2 1 若 分别是边 上的点 且满足ABCDABADMNBCCD 则的取值范围是 BMCN BCCD AM AN 13 已知函数的图像是折线段 其中 函数 yf x ABC 0 0 A 1 1 2 B 1 0 C 的图像与轴围成的图形的面积为 yxf x 01x x 14 已知 各项均为正数的数列满足 若 则的 1 1 f x x n a 1 1a 2 nn af a 20102012 aa 2011 aa 值 12i 1 1 2 6 2 log 3 8 7 20 3 2 2 3 1 4 1 4 13 53 26 cuilove2 是 二 选择题 本大题共有 4 题 满分 20 分 15 若是关于的实系数方程的一个复数根 则 12 ix 2 0 xbxc D A B C D 2 3bc 2 1bc 2 1bc 2 3bc 16 对于常数 是 方程的曲线是椭圆 的 mn0mn 22 1mxny B A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 17 在 中 若 则 的形状是 ABC 222 sinsinsinABC ABCA A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 18 若 则在中 正数的个数是 2 sinsin sin 777 n n S nN 12100 S SSC A 16 B 72 C 86 D 100 三 解答题 本大题共有 5 题 满分 74 分 19 本题满分 12 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 如图 在三棱锥中 底面 是的中点 已知PABC PAABCDPC 求 BAC 2 2AB 2 3AC 2PA 1 三棱锥的体积PABC 2 异面直线与所成的角的大小 结果用反三角函数值表示 BCAD 1 2 2 32 3 2 2 11 2 326 33 4 3 3 ABC ABC S SPA 解 1 分 三棱锥P ABC 的体积为 V 分 22 8 2 2 2 22233 cos ar 3 ar ccos 2 2 244 1o 4 2cc s PBE BCADE BCAD ADEDEAEAD ADEADE BCAD A 2 取的中点连接D E AE 则 ED所以或其补角是异面直线 与所成的角分 在中 所以 因此异面直线与所成的角的大小是分 cuilove3 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 已知 lg 1 f xx 1 若 求的取值范围0 1 2 1fxf x x 2 若是以 2 为周期的偶函数 且当时 求函数 的反函 g x01x g xf x yg x 1 2x 数 220 11 10 2222 0lg 22 lg 1 lg11103 11 21 10 1221010 33 11 2 6 21 33 1 33 x x x xx xx x x x xxxxx x x 解 1 由得 由得分 因为所以得 由得分 2 1 2 2 0 1 2 2 2 lg 3 10 0 lg2 3 10 143 10 0 lg2 yx xx yg xg xgxfxx y xyx 当时因此 分 由单调性可得 因为所以所求反函数是分 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为原点 以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标y 系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里处 如图 现假设 失事船的移动路A 径可视为抛物线 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救援船出发 小时后 失事船所在位 2 12 49 yx t 置的横坐标为7t 1 当时 写出失事船所在位置的纵坐标 若此时两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向0 5t P 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 cuilove4 2 2 2 712 1 0 5 7 249 3 2 949 949 4 2 77 tan 6 3030 2 7 7 0 1 3 P P tPxtyx Py AP OAPOAParcran v vtt 解时的横坐标代入抛物线方程 得的纵坐标分 由得救援船的速度的大小写为海里时分 由得故救援船速度的方向为北偏东弧度分 设救援船的时速为海里经过t 小时追上失事船此时 ar 位置为 7t 12t 由 ct an 22 22 2 2 2 22 212 1 144 337 10 1 2 144 233725 254 5 1 v2 t vt t t t y 整理得分 因为当且仅当t 1时等号成立 所以即 因此救援船的时速至少是海里才能追上失事船 分 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系中 已知双曲线xOy 22 21Cxy 1 设是的左焦点 是右支上一点 若 求点的坐标 FCMC2 2MF M 2 过的左焦点作的两条渐近线的平行线 求这两组平行线围成的平行四边形的面积 CC 3 设斜率为 的直线 交于 两点 若 与圆相切 求证 k2k lCPQl 22 1xy OPOQ 2 2 22 2 2 6 1 1 0 1 2 2 62 3 22 226 32 2 6 222 2 2 5 x CyF M x yMFxyx MxMFxx 解双曲线左焦点 设则 由点是右支上一点知所 M 以得 所以分 cuilove5 2 22 2 2 0 2 2 2 22 21 2 2 2 4 8 1 21 2 10 3 1 1 1 12 2 y 4 Ayx Ayxxyx x yx yx y b PQykxb k bk SOA y 左顶点渐近线方程 过点与渐近线平行的直线方程为 y 即 解方程组得分 所求平行四边形的面积为分 设直线的方程是因直线PQ 与已知圆相切 故 即分 由 222 22 12 2 1122 2 12 2 1212 22 12121212 22222 2 22 2 210 21 2 2 1 2 1 1 1 21 22 kxb kxkbxb xy kb xx k P x yQ xy b x x k y ykxb kxb OP OQx xy ykx xkb xxb kbk bbk b kk 得 设则 又 所以 2 2 2 0 16 k OP OQOPOQ 由知所以分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 对于项数为的有穷数列 记 即为中的最大值 m n a 12 max kk ba aa 1 2 km k b 12 k a aa 并称数列是的控制数列 如 1 3 2 5 5 的控制数列是 1 3 3 5 5 n b n a 1 若各项均为正整数的数列的控制数列为 2 3 4 5 5 写出所有的 n a n a 2 设是的控制数列 满足 为常数 求证 n b n a 1km k abC C1 2 km kk ba 1 2 km 3 设 常数 若 是的控制数列 求100m 1 1 2 a 1 2 2 1 n n n aann n b n a 1122 baba cuilove6 100100 ba 121121 1 11 111 1 4 2 max max 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 2 3 4 5 4 6 0 2 3 4 8 5 5 n kkkkk kk km kkm k kkm km kkk kk a ba aaba aa a bb abCabC aabbaa ba 解数列为 分 因为 所以分 因为 所以即分 因此 2 43 2 42 2 41 2 4 4243 41424142 4424 10 3 1 2 25 43 43 42 42 41 41 4 4 12 1 1 1 83 0 2 2 21 41 0 k k k k kk kkkk kk k a

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