高中数学立体几何方法题型总结

精品文档 1欢迎下载 立体几何立体几何 重要定理 重要定理 1 1 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这两条直线垂直于这个 平面 2 直线和平面平行性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直 线和交线平行 3 平面平行判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 4 两个平面垂直性质判定 如果一个平面与一条直线垂直 那么经过这条直线的平面垂直于这个平面 两个平面垂直性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面 5 推论 如果两个相交平面都垂直于第三平面 则它们交线垂直于第三平面 证明 如图 找 O 作 OA OB 分别垂直于 21 l l 因为 OBPMOAPM 则OBPMOAPM 一 夹角问题一 夹角问题 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的取值范围依次 直线的倾斜角 到的角 与的夹角的取值范围依次是 异面直线所成角 异面直线所成角 范围 范围 90 0 1 平移法 在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 作另一条的平行线构成三角形 解三角形求出角 常 用到余弦定理 ab cba 2 cos 222 2 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方体等 其目的在于容易 发现两条异面直线间的关系 3 向量法 转化为向量的夹角 计算结果可能是其补角 ACAB ACAB cos 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 时 或0b o b 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角 它的三条边分别是平面的垂线段 斜线段及斜线段在平面 上的射影 通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 垂足和斜足的连线 是产生线面角的关键 向量法 设直线 的方向向量为 平面的法向量为 与所成的角为 与的夹角为 则ll n l l n 有的求法sincos l n l n P M AB O c b a 精品文档 2欢迎下载 二面角二面角的平面角 的平面角 l 1 定义法 在棱l上取一点 P 两个半平面内分别作l的垂线 射线 m n 则射线 m 和 n 的夹角为二 面角 l 的平面角 2 三垂线法 三垂线定理法 A 作或证 AB 于 B 作 BO 棱于 O 连 AO 则 AO 棱l AOB 为所 求 向量法 设 是二面角的两个面 的法向量 则向量 的夹角 或其补角 就是 1 n 2 n l 1 n 2 n 二面角的平面角的大小 若二面角的平面角为 则 l 12 12 cos n n n n 二 空间距离问题二 空间距离问题 两异面直线间的距离两异面直线间的距离 方法一 转化为线面距离 如图 m 和 n 为两条异面直线 且 则异面直 m n m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离 方法二 高考要求是给出公垂线 所以一般先利用垂直作出公垂线 然后再进行计算 直 接计算公垂线段的长度 点到直线的距离点到直线的距离 一般用三垂线定理作出垂线再求解 向量法 点到直线距离 在直线 上找一点 过定点且垂直于直线 的向量为 则定点到直线 的距l Aln Al 离为cos n dn n A A A 点到平面的距离点到平面的距离 方法一 几何法 步骤 1 过点 P 作 PO于 O 线段 PO 即为所求 步骤 2 计算线段 PO 的长度 直接解三角形 等体积法和等面积法 换点法 等体积法步骤 在平面内选取适当三点 和已知点构成三棱锥 求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角 形的面积 S 由 V S h 求出 h 即为所求 这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离 3 1 方法二 坐标法 APnAPdcos n APn 线面距 面面距均可转化为点面距线面距 面面距均可转化为点面距 n m P O A n OA P 精品文档 3欢迎下载 三 平行与垂直问题三 平行与垂直问题 证明直线与平面的平行证明直线与平面的平行 1 转化为线线平行 2 转化为面面平行 证明平面与平面平行证明平面与平面平行 1 转化为线面平行 2 转化为线面垂直 证明线线垂直证明线线垂直 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 方法 2 用线面垂直实现 方法 3 三垂线定理及其逆定理 ml m l PO lOAlPA l 证明线面垂直 证明线面垂直 1 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 2 转化为该直线与平面的一条垂线平行 3 转化为该直线垂直于另一个平行平面 4 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 方法 1 用线线垂直实现 方法二 用面面垂直实现 l ABAC AABAC ABl ACl l lml m 面面垂直 面面垂直 方法一 用线面垂直实现 l l 方法二 计