高等数学下试题及答案

精品文档 1欢迎下载 高等数学 高等数学 IIII 试题 试题 A A 一一 填空填空 每小题 每小题 3 3 分分 共共 1515 分分 1 1 曲面曲面 在点在点 的切平面的方程为的切平面的方程为 22 1zxy 2 1 4 2 2 设隐函数设隐函数是由方程是由方程确定的 则确定的 则 zz x y 2 zy exze 0 0 z xyx 3 3 设设是平面是平面 在第一卦限部分 则在第一卦限部分 则 1xyz xyz dS 4 4 设设周期为周期为 且 且 是是的的 FourierFourier 级数的级数的 f x2 0 0 x ex f x xx s x f x 和函数 则和函数 则 0 s 5 5 设幂级数设幂级数在在处条件收敛 则幂级数处条件收敛 则幂级数的收敛半径的收敛半径 1 n n n a x 2x 13 n n n n a x R 二二 选择 每小题选择 每小题 2 2 分分 共共 1010 分分 1 1 设设 D D 是平面区域 则下面说法正确的是 是平面区域 则下面说法正确的是 A A 若若在在 D D 上可微 则上可微 则的一阶偏导在的一阶偏导在 D D 上一定连续 上一定连续 f x y f x y B B 若若在在 D D 上一阶偏导存在 则上一阶偏导存在 则在在 D D 上一定可微 上一定可微 f x y f x y C C 若若在在 D D 上一阶偏导存在 则上一阶偏导存在 则在在 D D 上一定连续 上一定连续 f x y f x y D D 若在若在 D D 上上与与均连续 则均连续 则 xy f yx f xyyx fx yfx y 2 2 下列级数中绝对收敛的级数是下列级数中绝对收敛的级数是 精品文档 2欢迎下载 A A B B 1 1 2 n n n n 1 1 ln 1 n n C C D D 1 1 1 sin n n n 1 1 1 n n n n 3 3 直线过点直线过点 且与直线且与直线 垂直相交 则交点的坐标是 垂直相交 则交点的坐标是 0 0 3 xyz A A B B C C D D 2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 4 4 方程方程 表示表示 22 480yzx A A 单叶双曲面 单叶双曲面 B B 双叶双曲面双叶双曲面 C C 锥面锥面 D D 旋转抛物面 旋转抛物面 5 5 一阶微分方程一阶微分方程 的类型是 的类型是 233 0 x ydxxydy A A 全微分方程 全微分方程 B B 可分离变量方程 可分离变量方程 C C 齐次方程 齐次方程 D D 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 三三 6 6 分 分 设设是具有二阶连续导数的函数 是具有二阶连续导数的函数 求 求 uf r 222 rxyz 2 2 u x 四四 7 7 分 计算分 计算 其中 其中是直线是直线 及双曲线及双曲线所围所围 2 2 D x Id y D2 xyx 1xy 区域 区域 五五 7 7 分 修建一个容积为分 修建一个容积为 V V 的长方体地下仓库 已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是的长方体地下仓库 已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是 地面每单位面积造价的地面每单位面积造价的 3 3 倍和倍和 2 2 倍 问如何设计仓库的长 宽和高 可使它的造价最小 倍 问如何设计仓库的长 宽和高 可使它的造价最小 六六 7 7 分 求微分方程分 求微分方程 的通解 的通解 2 3 x yyex 七七 7 7 分 计算分 计算 其中 其中是由曲面是由曲面 及及Izdv 22 4zxy 所围的空间区域 所围的空间区域 22 3xyz 精品文档 3欢迎下载 八 八 7 7 分 求分 求 其中 其中 L L 是曲线是曲线 取逆时针方向 取逆时针方向 22 L xy dxxy dy xy 22 1xy 九 九 7 7 分 计算曲面积分分 计算曲面积分 其中 其中是锥面是锥面 222 coscoscos yxzdS 介于介于之间的部分 而之间的部分 而是是在在 22 zxy 0 1zz cos cos cos 处的外法线向量的方向余弦 处的外法线向量的方向余弦 x y z 十十 7 7 分 已知如下命题成立 分 已知如下命题成立 设设是单调减少的正数列 级数是单调减少的正数列 级数收敛当且仅当收敛当且仅当 n a 1 n n a 收敛 收敛 2 1 2 k k k a 1 1 请用此命题证明 请用此命题证明 当当时发散 而当时发散 而当时收敛 时收敛 1 1 p n n 01p 1p 2 2 证明所给的命题 证明所给的命题 答案答案 一一 填空填空 每小题 每小题 3 3 分分 共共 1515 分分 1 2 3 4 5 4260 xyz 0 3 2 1 2 6 二二 选择 每小题选择 每小题 2 2 分分 共共 1010 分分 D D A A B B D D C C 三三 6 6 分 解分 解 4 4 ux fr xr 精品文档 4欢迎下载 2 2 222 232 1 uxx frfr xrrr 四四 7 7 分 解分 解 2 2 1 12 Dxyx x 2 2 2 2 1 2 1 1 x x Ix dxdy y 2 2 2 2 1 1 xxdx x 1 1 9 4 五五 7 7 分 解分 解 设地面每个单位造价为设地面每个单位造价为 1 1 则墙壁和仓顶分别为 则墙壁和仓顶分别为 2 2 3 3 设长设长 宽高分别为宽高分别为 则现在的要求是 则现在的要求是 在在 x y z 444f x y zxyxzyz 约束下的极值 约束下的极值 1 1xyzv 考虑考虑 1 1 F x y zxyxzyzxyzv 则条件极值点满足一下方程则条件极值点满足一下方程 3 3 0 0 0 0 x y z Fyzyz Fxzxz Fxyxy xyzv 由上述方程组可解得由上述方程组可解得 333 x y zvvv 根据实际情况可知 此时造价最小 根据实际情况可知 此时造价最小 2 2 六六 7 7 分 解分 解 特征方程为特征方程为 2 12 200 2 rrrr 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 2 2 2 12 x Ycc e 精品文档 5欢迎下载 不是特征根 于是可设特解为不是特征根 于是可设特解为 3 1 x f xex 2 2 x ye axb 代入到原方程化简可代入到原方程化简可 3axbx 于是于是 2 2 3 x yex 所求的通解为所求的通解为 1 1 2 12 3 xx Ycc eex 七七 7 7 分 解分 解 由由及及 得 得 22 4zxy 22 3xyz 2 2 22 3xy 于是于是 3 3 2 2 234 00 3 Izdvddzdz 2 2 13 4 八 八 7 7 分 解分 解 原式 原式 3 3 L xy dxxy dy 设设 D D 的边界是的边界是 L L 根据格林公式 根据格林公式 原式 原式 4 4 1 1 0 D dxdy 九九 7 7 分 分 解解 原式 原式 取外侧 取外侧 1 1 222 y dydzx dzdxz dxdy 设设 取上侧 则 取上侧 则 22 1 1 1zxy 2 2 1 222 2y dydzx dzdxz dxdyzdv 精品文档 6欢迎下载 2 2 211 00 2 2 ddzdz 而而 1 1 11 222 y dydzx dzdxz dxdydxdy 于是于是 原式 原式 1 1 22 十十 7 7 分 分 1 1 设设 则 则 于是由已知 于是由已知 的敛散性的敛散性 1 n p a n 1 2 2 2 k kpk a 1 1 p n n 与等比数列与等比数列敛散性一致 敛散性一致 1 1 1 1 2 pk k 因此当因此当时原级数发散 而当时原级数发散 而当时收敛 时收敛 1 101p 1p 2 2令令 当设 当设是单调减少的正数列时 有是单调减少的正数列时 有 1 2 21 k k ki i ba n a 3 3 1 11 22 22 kk kk k aba 由比较