2013国考行测必备：深度剖析“多次相遇问题”解题技巧

了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 2013 国考行测必备 国考行测必备 深度剖析深度剖析 多次相遇问题多次相遇问题 解解 题技巧题技巧 华图华图教育教育 随着近几年公务员考试 高烧不退 的现象持续升温 国考试题的难度也越来越大 行程问题做为一种每年必考的题型 在试题的创新性上有很大的出题空间 综观几年的真 题 常规题型虽是每年考试的 主力 但更加复杂的 多次相遇 问题已在这两年里初试 锋芒 华图公务员考试研究中心通过归纳总结 将多次相遇问题可能在今后考试中出现的 几种类型一一向大家进行展示 希望对备考的广大考生起到抛砖引玉的作用 多次相遇 问题有直线型和环型两种类型 相对来讲 直线型更加复杂 环型只是 单纯的周期问题 华图公务员考试研究中心分开一一进行讲解 首先 来看直线型多次相 遇问题 一 直线型一 直线型 直线型多次相遇问题宏观上分 两岸型 和 单岸型 两种 两岸型 是指甲 乙两 人从路的两端同时出发相向而行 单岸型 是指甲 乙两人从路的一端同时出发同向而 行 现在分开向大家一一介绍 一 两岸型 一 两岸型 两岸型甲 乙两人相遇分两种情况 可以是迎面碰头相遇 也可以是背面追及相遇 题干如果没有明确说明是哪种相遇 考生对两种情况均应做出思考 1 迎面相遇 迎面相遇 如下图 甲 乙两人从 A B 两地同时相向而行 第一次迎面相遇在 a 处 为清楚表 示两人走的路程 将两人的路线分开画出 则共走了 1 个全程 到达对岸 b 后两人转向第 二次迎面相遇在 c 处 共走了 3 个全程 把甲的 bc 挪到下边乙处 则从第一次相遇到第 Comment 杨杨1 可以以相类似的图 示画出路程和 差的关系 假设速度 虽然清晰 但不如直接图示更有说服 力 那种合起来画挺难画的 我不知 道怎么画会清晰 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 二次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍 之后的每次相遇都多走了 2 个全程 所以第三 次相遇共走了 5 个全程 依次类推得出 第第 n n 次相遇两人走的路程和为 次相遇两人走的路程和为 2n 12n 1 s s s s 为全为全 程 下同 程 下同 注 注 第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍 分开看每个人都是 2 倍关系 经 常可以用这个 2 倍关系 解题 即对于甲和乙而言从 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍 相遇次数 全程个数 再走全程数 全程时间 多走时间 1 1 1 t t 2 3 2 3t 2t 3 5 2 5t 2t 4 7 2 7t 2t n 2n 1 2 2n 1 t 2t 2 背面相遇背面相遇 与迎面相遇类似 背面相遇同样是甲 乙两人从 A B 两地同时出发 如下图 此时 可假设全程为 4 份 甲 1 分钟走 1 份 乙 1 分钟走 5 份 则第一次背面相遇在 a 处 第 3 分钟 甲走 3 份 乙走 15 份 两人在 c 处第二次背面相遇 我们可以观察 第一次背面相 遇时 两人的路程差是 1 个全程 第二次背面相遇时 两人的路程差为 3 个全程 同样第 二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍 单看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍 依 次类推 得 第第 n 次背面追及相遇两人的路程差为 次背面追及相遇两人的路程差为 2n 1 s 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 2 单岸型单岸型 单岸型是两人同时从一端出发 与两岸型相似 单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及 相遇两种情况 1 迎面相遇 迎面相遇 如下图 甲 乙两人同时从 A 端出发 假设全程为 3 份 甲每分钟走 2 份 乙每分钟 走 4 份 则甲乙第一次迎面相遇在 a 处 此时甲走了 2 份 乙走了 4 份 共走 2 个全程 再过 1 分钟 甲共走了 4 份 乙共走了 8 份 在 b 处迎面第二次相遇 共走 4 个全程 则 从 a 处相遇到 b 处两人共走了两个全程 与第一次相遇时的路程和相同 依次类推 每次 迎面相遇多走 2 个全程 可得出 当第当第 n n 次迎面相遇时 两人的路程和为次迎面相遇时 两人的路程和为 2ns2ns 每次相遇 每次相遇 用的时间相同 用的时间相同 2 背面相遇 背面相遇 与迎面相遇相似 假设全程为 3 份 甲每分钟走 1 份 乙每分钟走 7 份 则第一次背 面相遇在 a 处 2 分钟后甲走了 2 份 乙走了 14 份 两人在 b 处背面相遇 由图 第一次 相遇两人走的路程差为 2S 第二次相遇两人走的路程差为 4S 依次类推 每次相遇 两 人多走的路程差均为 2s 可以得出 当第当第 n 次背面相遇时 两人的路程差为次背面相遇时 两人的路程差为 2ns 每次相 每次相 遇用的时间相同 遇用的时间相同 Comment 杨杨2 简单说明 不要写 个以为大家都这么叫的名词 是不是 改成 根据路程比求 AB 更易 接受 借鉴了小学奥数的一个叫法 前边第一页最下边给出了这个关系的 说明 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 直线型直线型 总结 熟记 总结 熟记 两岸型 两岸型 第第 n 次迎面相遇 两人的路程和是 次迎面相遇 两人的路程和是 2n 1 S 第第 n 次背面相遇 两人的路程差是 次背面相遇 两人的路程差是 2n 1 S 单单岸型 岸型 第第 n 次迎面相遇 两人的路程和次迎面相遇 两人的路程和为为 2ns 每次相遇用的 每次相遇用的时间时间相同 相同 第第 n 次背面相遇 两人的路程差次背面相遇 两人的路程差为为 2ns 每次相遇用的 每次相遇用的时间时间相同 相同 下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的类型 类型一类型一 根据 根据 2 倍关系倍关系 求求 AB 两地的距离 两地的距离 例 1 甲 乙两人在 A B 两地间往返散步 甲从 A 乙从 B 同时出发 第一次相遇点距 B 60 米 当乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇 A B 相距多少米 A 150 B 170 C 180 D 200 答案及解析答案及解析 B B 如下图 第一次相遇在 a 处 第二次相遇在 b 处 aB 的距离为 60 Ab 的距离为 10 以乙为研究对象 根据 2 倍关系 乙从 a 到 A 再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍 即为 60 2 120 米 Ab 为 10 则 Aa 的距离为 120 10 110 米 则 AB 距离为 110 60 170 米 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 类型二类型二 告诉两人的速度和给定时间 求相遇次数 告诉两人的速度和给定时间 求相遇次数 例 2 甲 乙两人在长 30 米的泳池内游泳 甲每分钟游 37 5 米 乙每分钟游 52 5 米 两人同时分别从泳池的两端出发 触壁后原路返回 如是往返 如果不计转向的时间 则 从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次 A 2 B 3 C 4 D 5 答案及解析答案及解析 B B 题目没说是迎面还是背面 所以两种相遇的次数都应该计算 法一 根据相遇全程数 如果是迎面相遇 则走的全程的个数为 个 根据迎面相遇 n 次 走的全程为 2n 1 5 求得5 520110 60 5 52 5 37 30 110 n 3 如果是背面相遇 则走的全程数为 故在 1 分1120110 60 5 37 5 52 30 110 50 秒内 不能背面相遇 所以共相遇 3 次 法二 根据相遇时间 第一次迎面相遇时间为秒走一个全程 共 110 秒 20 60 5 525 37 30 共 110 20 5 5 个 走的全程数为 2n 1 5 个 求得 n 3 如果是背面相遇 则第一次相遇 的时间为秒 110 秒 故不能背面相遇 120 60 5 37 5 52 30 类型三类型三 告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离 求 告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离 求 AB 两地的距离 两地的距离 例 3 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 在 A B 间不断往返行驶 甲车每小时行 45 千米 乙车每小时行 36 千米 已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇的地点相距 40 千米 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 则 A B 相距多少千米 A 90 B 180 C 270 D 110 答案及解析答案及解析 A A 法一 法一 相同时间 甲 乙路程比为 45 36 5 4 则将全程分成 9 份 则一个 全程时甲走 5 份 乙走 4 份 以甲为研究对象 第 2 次相遇 走的全程数为 2 2 1 3 个 则甲 走的份数为 3 5 15 份 一个全程为 9 份 则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 15 9 1 6 份 1 个全程后在乙端 则从乙端数 6 份 第 3 次相遇走的份数为 2 3 1 5 25 份 转化为全程的个数为 25 9 2 7 2 个全程后在甲端 则从甲端数 7 份 如下图 由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40 千米 则 AB 相距 90 千米 9 4 40 法二 法二 除了上述基础公式的利用 我们也可以引入 沙漏模型 利用沙漏模型解题的前 提是题干中已知两人的速度 将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比 则以时间为刻 度 画出两人到达对岸的路线图 两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点 s t 图中的 路线因像古代记时间的沙漏故称为 沙漏模型 本题中 甲 乙走到端点用的时间比为 36 45 4 5 如下图 根据路线图看出甲乙第 2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O 根据三角形相似 可得 CE EG 3 6 1 2 则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S 3 同理 DO ON 7 2 则第 3 次相遇 距 A 地的比例为 7S 9 则两次相遇比例为为 40 千米 则 S 90 千米 Comment 杨杨3 其实沙漏模型不是 很有必要 一是相遇次数少的时候没 必要 相遇多了就更没必要 二是画 图的时间需要多少 比起来用这个模 型的性价比高还是低 而且这样还增 加了考生的记忆负担 个人觉得多次 相遇问题本身就比较复杂 公式也比 较多 相对于记公式 画图会更显直 观 更容易理解和记忆 这也是自己 做题的体会 当然了 对于初次接触 这种方法的人来讲 确实存在一定的 陌生感 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 点点评评 考生如果能掌握 沙漏 模型 则在解决多次相遇问题时会更显直观 用交点判断是迎 面相遇还是背面相遇的技巧 看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸 同一 9 4 39 7SSS 岸则说明是背面相遇 不同岸则说明是迎面相遇 用时注意 一般题干涉及到的相遇次数较少时可画 相遇次数太多 则会花费大量时间 不利于提高速度 画时的单位刻度要看时间比 如果时间比中的数据较大可把刻度画大 类型四类型四 告诉两人的速度 相遇次数较少时 利用 告诉两人的速度 相遇次数较少时 利用 s t 图形成图形成 沙漏沙漏 模型速解 模型速解 例 5 A B 两地相距 950 米 甲 乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时 甲步行 每 分钟走 40 米 乙跑步 每分钟行 150 米 则甲 乙二人迎面相遇距B 地最近时 最近距离 是多少 A 150 B 200 C 250 D 300 答案及解析答案及解析 B B 利用 沙漏模型 甲乙走到端点用的时间比为 150 40 15 4 半小时两人 共走的全程数为个 对于单岸型 相遇 6 个全程 则是迎面第三6530 15040 950 30 次相遇 由前边公式推出 画出 s t 图 观察上图可知 在 3 次迎面相遇的过程中 甲乙有一次背面相遇 交点由同一点引出 而在三次迎面相遇中第 2 次相遇离 B 地最近 根据三角形相似 AO OF AC EF 16 3 则距 B 点的距离为米 150 316 3 950 例 6 河道赛道长 120 米 水流速度为 2 米 秒 甲船静水速度为 6 米 秒 乙船静水速 度 为 4 米 秒 比赛进行两次往返 甲 乙同时从起点出发 先顺水航行 问多少秒后甲 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 乙船第二次迎面相遇 A 48 B 50 C 52 D 54 答案及解析答案及解析 C C 由题知 得出如下关系 顺流逆流 甲8 15 4 30 乙6 20 2 60 注 注 中 中为为走完全程的走完全程的时间时间 假设 A 到 B 是顺流 由上表可知甲 乙两人第 2 次迎面相遇共有 4 个全程 由于甲的速 度快 则第 2 次相遇前甲已走了 2 个全程 共 15 30 45 秒 当第 45 秒时乙走了一个顺流全 程 20 秒和 25 秒的逆流 走的路程为 25 2 50 米 则在剩余的 70 米内 甲乙分别以顺流和 逆流相遇时间为 t 则有 70 8 2 t 求得 t 7 秒 则共用时间 45 7 52 秒 本题同样可用 沙漏模型 解决 根据上表中的速度关系 可得出一个全程时的时间关系 如下 顺流逆流 甲 36 乙 412 根据时间的关系 得出 s t 图像 如下 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 观察上图 可看出第二次迎面相遇在 P 点 以甲为研究对象计算时间 此时甲走了一个 顺流 一个逆流 另外 EP 段为顺流 根据三角形相似可求出走 EP 用的时间 EP PN EF MN 7 8 由上表 求出走 EP 用的时间为 则甲共走的时间为15 87 7 15 15 30 7 52 二 环型二 环型 环型主要分两种情况 一种是甲 乙两人同地同时反向迎面相遇 不可能背面相遇 一种是甲 乙两人同地同时同向背面追及相遇 不可能迎面相遇 分开讨论如下 1 甲 乙两人从甲 乙两人从 A 地同时反向出发 地同时反向出发 如下图 一个周长分成 4 份 假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B 乙是逆时针每分钟 走 3 份到 B 则第一次相遇两人走了 1 个周长 第一次相遇后相当于又同时同地反向出发 所以第二次相遇时共走了 2 个周长 依次类推 可得出 第第 n 次迎面相遇共走了次迎面相遇共走了 n 圈 圈 2 甲 乙两人从甲 乙两人从 A 地同时同向出发 地同时同向出发 如下图 全程分成 4 份 假设甲 乙两人都是顺时针同时出发 甲每分钟走 1 份 乙 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 每分钟走 5 份 则 1 分钟后两人在 B 处第一次背面追及相遇 两人走的路程差为 1 个周长 再过 1 分钟后 甲到 C 处 乙也到 C 处 两人第二次背面追及相遇 多走的路程差同样为 一个周长 依次类推 可以得出 第第 n 次背面追及相遇 路程差为次背面追及相遇 路程差为 n 圈 圈 环型多次相遇问题相对比较简单 当甲 乙不在同一地点出发时相对具有难度 比如 在直径两端出发 考生可通过下面的例题把握 例 1 老张和老王两个人在周长为 400 米的圆形池塘边散步 老张每分钟走 9 米 老王 每 分钟走 16 米 现在两个人从同一点反方向行走 那么出发后多少分钟他们第三次相遇 A 33 B 45 C 48 D 56 答案及解析答案及解析 C C 第一次迎面相遇时间为 400 9 16 16 则第三次迎面相遇时间为 16 3 48 例 2 小明 小亮从 400 米环形跑道的同一点出发 背向而行 当他们第一次相遇时 小 明转身往回跑 再次相遇时 小亮转身往回跑 以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交 替调转方向 小明速度 3 米 秒 小亮速度 5 米 秒 则在两人第 30 次相遇时小明共跑了 多少米 A 11250 B 11350 C 11420 D 11480 答案及解析答案及解析 A A 由题意知 第 1 次是迎面相遇 第 2 次是背面追及相遇 之后都是迎面与 背面相遇交替 则在 30 次相遇中 迎面相遇 15 次 背面相遇 15 次 迎面相遇一次用时为 了解更多公务员等公职类信息请点击 了解更多公务员等公职类信息请点击 400 3 5 50 背面相遇