高中文科数学常用公式2017(文科必须阅)

精品文档 1欢迎下载 高中数学常用公式及常用结论 集合与逻辑 1 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 2 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空的 12 n a aa 2n2n2n 真子集有 2 个 2n 3 真值表 非 或 且 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 4 常见结论的否定形式 原结论反设词原结论反设词 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有个n 至多有 1n 个 小于不小于至多有个n 至少有 1n 个 对所有 x 成立 存在某 x 不成立或pq且p q 对任何 x 不成立 存在某 x 成立且pq或p q 5 四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 6 充要条件 1 充分条件 若 则是充分条件 pq pq 2 必要条件 若 则是必要条件 qp pq 3 充要条件 若 且 则是充要条件 pq qp pq 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条件 反之亦然 精品文档 2欢迎下载 函数 1 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 2 解连不等式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 3 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 得 具体如下 1 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 重要 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 18 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 19 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 20 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 精品文档 5欢迎下载 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理 数指数幂都适用 21 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 22 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 23 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 24 设函数 记 若的定义域为 则 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR0 a 且 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独检验 0 xfR0 a0 0 a 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有 pxy 1 xyNp 数列 1 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 2 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 3 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 4 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 精品文档 6欢迎下载 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 5 分期付款 按揭贷款 考应用题 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 三角函数 1 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 2 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 3 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 4 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 5 二倍角公式 sin2sincos n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 精品文档 7欢迎下载 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 6 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的周sin yx cos yx 期 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T 7 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 8 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 9 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 10 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 11 简单的三角方程的通解 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 向量 1 向量平行的坐标表示 设 a b 且 b0 则 a b b0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 2 a与 b 的数量积 或内积 a b a b cos 61 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 精品文档 8欢迎下载 3 平面向量的坐标运算 1 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a 则a x yR xy 5 设 a b 则 a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 4 两向量的夹角公式 a b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 5 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 6 向量的平行与垂直 设 a b 且 b0 则 11 x y 22 xy A bb a 1221 0 x yx y ab a0 a b 0 1212 0 x xy y 7 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 8 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 不等式 1 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 bababa 精品文档 9欢迎下载 2 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 3 一元二次不等式 如果与同号 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 则其解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 a 2 axbxc 异号两根之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 4 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 5 无理不等式 重要 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 6 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 精品文档 10欢迎下载 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 直线与圆 1 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 2 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 3 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 4 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中 000 P xy 00 yyk xx 0 xx 是待定的系数 经过定点的直线系方程为 其中是待定的系k 000 P xy 00 0A xxB yy A B 数 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系方 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 程为 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 与直ykxb 线平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是0AxByC 是参变量 0BxAy 5 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 精品文档 11欢迎下载 6 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若 当与同号时 表示直线 的上方的区域 当与异号时 表0B BAxByC lBAxByC 示直线 的下方的区域 简言之 同号在上 异号在下 l 若 当与同号时 表示直线 的右方的区域 当与异号时 表0B AAxByC lAAxByC 示直线 的左方的区域 简言之 同号在右 异号在左 l 7 或所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 8 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 9 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 10 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 11 圆的切线方程 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 精品文档 12欢迎下载 当圆外时 表示过两个切点的切点弦方程 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时必有两条切线 00 yyk xx 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 2 已知圆 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 圆锥曲线 1 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 椭圆的切线方程 1 椭圆上一点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆与直线相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 3 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 4 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 5 双曲线的切线方程 1 双曲线上一点处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 精品文档 13欢迎下载 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 6 抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 7 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 8 二次函数的图象是抛物线 1 顶点坐标为 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 2 焦点的坐标为 3 准线方程是 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 9 抛物线的内外部 1 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 10 抛物线的切线方程 1 抛物线上一点处的切线方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 3 抛物线与直线相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 11 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 由 2222 2112 1 11 ABkxxxxkk a 2211 yxByx 12 四线 一方程 对于一般的二次曲线 用代 用代 用 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 2 y 精品文档 14欢迎下载 代 用代 用代即得方程 00 2 x yxy xy 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 程均是此方程得到 立体几何 1 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 2 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 3 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 4 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 5 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 6 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 7 球的半径是 R 则 其体积 3 4 3 VR 其表面积 2 4SR 8 球的组合体 精品文档 15欢迎下载 1 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 正方体的 外接球的直径是正方体的体对角线