第一章-随机事件及其概率习题

1 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 习题一习题一 一 填空题一 填空题 1 设样本空间 事件 则 20 xx 2 3 4 1 1 2 1 xxBxxABA 13 0 2 42 xxxx BA 113 1 422 xxxx 2 连续射击一目标 表示第 次射中 直到射中为止的试验样本空间 则 i Ai 112121 nn AA AA AAA 3 一部四卷的文集 按任意次序放在书架上 各卷自左向右 或自右向左顺序恰好为 1 2 3 4 概率为 12 1 4 一批 个 产品中有个次品 从这批产品中任取个 其中恰有个个次品的NMnm 概率是 n N mn Mn m M CCC 5 某地铁车站 每 5 分钟有一趟列车到站 乘客到达车站的时刻是任意的 则乘客 侯车时间不超过 3 分钟的概率为 0 6 6 在区间 0 1 中随机地取两个数 则事件 两数之和小于 的概率为 0 68 5 6 7 已知 P A 0 4 P B 0 3 1 当 A B 互不相容时 P A B 0 7 P AB 0 2 当 B A 时 P A B 0 4 P AB 0 3 8 若 ABPBPAP BAP1 BAP BAP 1 9 事件两两独立 满足 且 P A B C CBA 2 1 CPBPAPABC 16 9 0 25 AP则 10 已知随机事件的概率 随机事件B的概率 及条件概率A5 0 AP6 0 BP 则和事件的概率 0 7 8 0 ABPBA BAP 12 假设一批产品中一 二 三等品各占 60 30 10 从中随机取一件结果不 2 是三等品 则取到一等品的概率为 2 3 13 已知 则BAPbABPaAP aba 14 一批产品共 10 个正品 2 个次品 任取两次 每次取一件 取后不放回 则第 2 次抽取 为次品的概率 6 1 15 甲 乙 丙三人入学考试合格的概率分别是 三人中恰好有两人合格的概 5 2 2 1 3 2 率为 2 5 16 一次试验中事件发生的概率为 p 现进行次独立试验 则至少发生一次的概AnA 率为 至多发生一次的概率为 11 n p A 1 1 1 nn pnpp 17 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 现已知目标 被击中 则它是甲中的概率为 0 75 二 选择题二 选择题 1 以表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 则其对立事件为 D AA A 甲种产品畅销 乙种产品滞销 B 甲 乙两种产品均畅销 C 甲种产品滞销 D 甲种产品滞销或乙种产品畅销 2 对于任意二事件 D 不等价的是与和BBABA AABBBACABDAB 3 如果事件 A B 有 B A 则下述结论正确的是 C A A 与 B 同时发生 B A 发生 B 必发生 C A 不发生 B 必不发生 D B 不发生 A 必不发生 4 A 表示 五个产品全是合格品 B 表示 五个产品恰有一个废品 C 表示 五 个产品不全是合格品 则下述结论正确的是 B AABBACCBCDABC 5 若二事件和同时出现的概率 P 0 则 C ABAB A 和不相容 B 是不可能事件 ABAB C 未必是不可能事件 D P 0 或 P 0 ABAB 6 对于任意二事件和B有 C A BAP 3 A B BPAP ABPBPAP C D ABPAP BAPBPBPAP 8 设 A B 是任意两个概率不为 0 的不相容的事件 则下列事件肯定正确的 D A 不相容 B 相容 C P AB P A P B D P A B P A BA与BA与 9 当事件 A B 同时发生时 事件 C 必发生则 B A 1 B 1 C D P CP AP BP CP AP B P CP ABP CP AB 10 设为两随机事件 且 则下列式子正确的是 A BA AB A B APBAP APABP C D BPABP APBPABP 11 设 B 则下列等式成立的是是三随机事件 且 0 CPCBA 1 1 A P A CP A CB P AB CP A CP B CP AB C CP A CP A CD P AB CP A C P B C 12 设是任意两事件 且 则下列选项必然成立的是 B BA 0 BPBA AP AP A BBP AP A B CP AP A BDP AP A B 13 设是任意二事件 且 则必有 C BA 0P B 1P A B A B P ABP A P ABP B C D P ABP A P ABP B 14 袋中有 5 个球 其中 2 个白球和 3 个黑球 又有 5 个人依次从袋中任取一球 取 后不放回 则第二人取到白球的概率为 D 1212 4455 ABCD 15 设 D 则 1 1 0 1 0 BAPBAPBPAP A 事件互不相容 B 事件互相对立 BA和BA和 C 事件互不独立 D 事件相互独立 BA和BA和 4 16 某人向同一目标重复射击 每次射击命中目标的概率为 则此人第 4 10 pp 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 C 22 2222 A 3 1 B 6 1 C 3 1 D 6 1 pppp pppp 三 解答题三 解答题 1 写出下列随机实验样本空间 1 同时掷出三颗骰子 记录三只骰子总数之和 2 10 只产品中有 3 次产品 每次从中取一只 取出后不放回 直到将 3 只次品都取 出 记录抽取的次数 3 对某工厂出厂的产品进行检查 合格的盖上 正品 不合格的盖上 次品 如 连续查出二个次品就停止检查 或检查 4 个产品就停止检查 记录检查的结果 4 将一尺之棰折成三段 观察各段的长度 解解 1 1 18 5 4 3 2 10 5 4 3 3 查出合格品记为 1 查出次品记为 0 00 100 0100 0101 1010 0110 1100 0111 1011 1101 1110 1111 4 其中分别表示三段之长 1 0 0 0 zyxzyxzyxzyx 2 设为三事件 用运算关系表示下列事件 CBA CBA 1 发生 和不发生 2 与都发生 而不发生 ABCABC 3 均发生 4 至少一个不发生 CBA CBA 5 都不发生 6 最多一个发生 CBA CBA 7 中不多于二个发生 8 中至少二个发生 CBA CBA 解解 1 或 A AB AC 或 A B C 2 或 AB ABC 或CBACAB AB C 3 4 5 或 ABCABC CBACBA 6 7 8 CBACBACBACBA ABCBCACAB 3 下面各式说明什么包含关系 1 2 3 AAB ABA ACBA 5 解解 1 2 3 BA BA CBA 4 设具体写出下列各事件 7 6 5 5 4 3 4 3 2 A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 CB 1 2 3 4 5 BABA B ABCA CBA 解解 1 5 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2 3 4 5 4 1 5 6 7 8 9 10 5 1 2 5 6 7 8 9 10 5 从数字 1 2 3 10 中任意取 3 个数字 1 求最小的数字为 5 的概率 记 最小的数字为 5 为事件 A 10 个数字中任选 3 个为一组 选法有种 且每种选法等可能 3 10 C 又事件 A 相当于 有一个数字为 5 其余 2 个数字大于 5 这种组合的种数有 2 5 1 C 12 11 3 10 2 5 C C AP 2 求最大的数字为 5 的概率 记 最大的数字为 5 为事件 B 同上 10 个数字中任选 3 个 选法有种 且每种 3 10 C 选法等可能 又事件 B 相当于 有一个数字为 5 其余 2 数字小于 5 选法有种 2 4 1 C 20 11 3 10 2 4 C C BP 6 从 5 双不同鞋子中任取 4 只 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少 记 A 表 4 只全中至少有两支配成一对 则表 4 只人不配对 A 从 10 只中任取 4 只 取法有种 每种取法等可能 4 10 要 4 只都不配对 可在 5 双中任取 4 双 再在 4 双中的每一双里任取一只 取法有 4 2 4 5 6 21 13 21 8 1 1 21 82 4 10 44 5 APAP C C AP 7 试证 ABPBPAPBABAP2 8 已知 10 只晶体管中有 2 只次品 在其中取二次 每次随机取一只 作不放回抽样 求下列事件的概率 1 两只都是正品 2 两只都是次品 3 一只是正品 一只是次品 4 至少一只是正品 解解 1 45 28 2 10 2 8 1 C C p 45 1 2 2 10 2 2 2 C C p 45 44 45 1 11 4 45 16 3 24 2 10 1 2 1 8 3 pp C CC p 9 把 10 本书任意放在书架上 求其中指定的 5 本书放在一起的概率 解解 42 1 10 5 6 p所求概率 10 某学生宿舍有 8 名学生 问 1 8 人生日都在星期天的概率是多少 2 8 人生 日都不在星期天的概率是多少 3 8 人生日不都在星期天的概率是多少 解解 7 1 7 1 1 8 8 1 p 7 6 7 6 2 8 8 8 2 p 8 3 8 11 3 11 77 p 11 从 0 9 中任取 4 个数构成电话号码 可重复取 求 1 有 2 个电话号码相同 另 2 个电话号码不同的概率 p 2 取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q 解解 432 0 10 1 4 2 9 2 4 1 10 ACC p 037 0 10 2 4 1 10 1 9 3 4 1 10 CACC q 12 随机地将 15 名新生平均分配到三个班中 这 15 名新生有 3 名优秀生 求 1 每 个班各分一名优秀生的概率 2 3 名优秀生在同一个班的概率 pq 7 解解 基本事件总数有种 5 5 5 15 1 每个班各分一名优秀生有 3 种 对每一分法 12 名非优秀生平均分配到三个班中分 法总数为种 所以共有种分法 所以 p 4 4 4 12 4 4 4 12 3 91 25 5 5 5 15 4 4 4 12 3 2 3 名优秀生分配到同一个班 分法有 3 种 对每一分法 12 名非优秀生分配到三个班 中分法总数为 共有种 所以 q 5 5 2 12 5 5 2 123 91 6 5 5 5 15 5 5 2 123 13 在单位园内随机地取一点 Q 试求以 Q 为中点的弦长超过 1 的概率 解 在单位园内任取一点 Q 并记 Q 点的坐标为 x y 由题意得样本空间 记事件 A 为 以 Q 为中心的弦长超过 1 则事件 1 22 yxyx 即 2 22 2 1 1 yxyxA 4 3 22 yxyxA 由几何概率计算公式得 4 3 1 4 3 AP 14 设 A B 是两事件且 P A 0 6 P B 0 7 问 1 在什么条件下 P AB 取到最大值 最大值是多少 2 在什么条件下 P AB 取到最小值 最小值是多少 解 由 P A 0 6 P B 0 7 即知 AB 否则 AB 依互斥事件加法定理 P A B P A P B 0 6 0 7 1 3 1 与 P A B 1 矛盾 从而由加法定理得 P AB P A P B P A B 1 从 0 P AB P A 知 当 AB A 即 A B 时 P AB 取到最大值 最大值为 P AB P A 0 6 2 从 式知 当 A B 时 P AB 取最小值 最小值为 P AB 0 6 0 7 1 0 3 15 设 A B 是两事件 证明 2 ABPBPAPBABAP 证证 ABPBAPBABAPBAPBAPBABAP 8 2 ABPBPAPABPBPABPAP 16 某门课只有通过口试及笔试两种考试 方可结业 某学生通过口试概率为 80 通过笔试的概率为 65 至少通过两者之一的概率为 75 问该学生这门课结业的可能性 有多大 解解 A 他通过口试 B 他通过笔试 则 P A 0 8 P B 0 65 P A B 0 75 P AB P A P B P A B 0 8 0 65 0 75 0 70 即该学生这门课结业的可能性为 70 17 某地有甲 乙 丙三种报纸 该地成年人中有 20 读甲报 16 读乙报 14 读丙 报 其中 8 兼读甲和乙报 5 兼读甲和丙报 4 兼读乙和丙报 又有 2 兼读所有报纸 问成年人至少读一种报纸的概率 解解 报纸分别表示读甲 乙 丙 设CBA 35 0 02 0 04 0 05 008 0 14 0 16 0 2 0 ABCPBCPACPABPCPBPAP CBAP 18 已知 求事件全不 16 1 0 4 1 BCPACPABPCPBPAPCBA 发生的概率 8 3 8 1 4 3 1 1 1 ABCPBCPACPABPCPBPAP CBAPCBAPCBAP解解 19 某厂的产品中有 4 的废品 在 100 件合格品在有 75 件一等品 试求在该产品任 取一件的是一等品的概率 解解 任取一件是一等品 任取一件是合格品 令 BA 72 0 75 0 04 0 1 ABPAPABP 20 在 100 个次品中有 10 个次品 每次从任取一个 不放回 求直到第 4 次才取到 正品的概率 解解 第 次取到正品 1 2 3 4 i Aii 00069 0 97 90 98 8 99 9 100 10 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 9 21 某人忘记了电话号码的最后一个数字 因而随机的拨号 求他拨号不超过三次而 接通所需的电话的概率是多少 记 H 表拨号不超过三次而能接通 Ai表第 i 次拨号能接通 注意 第一次拨号不通 第二拨号就不再拨这个号码 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 2131211211 321211 AAAPAAPAPAAPAPAPHP AAAAAAH 22 若 且 证明 0 0 BPAP APBAP BPABP 证证 BPAPABPAP BP ABP APBAP 则因为 BP AP BPAP AP ABP ABP 所以 23 证明事件与互不相容 且 0 1 则 AB BP BP AP BAP 1 证证 1 BP AP BP BAP BAP 24 设一仓库中有 10 箱同种规格的产品 其中由甲 乙 丙三厂生产的分别有 5 箱 3 箱 2 箱 三厂产品的废品率依次为 0 1 0 2 0 3 从这 10 箱中任取一箱 再从这箱中 任取一件产品 求取得正品的概率 解解 设 取得的产品为正品 分别为甲 乙 丙三厂的产品A3 2 1 iBi 1 BP5 0 2 BP3 0 3 BP2 0 9 0 1 BAP 7 0 8 0 32 BAPBAP 所以 0 83 3 1i ii BAPBPAP 25 某一工厂有三个车间生产同一型号螺钉 每个车间的产量分别占该厂螺钉CBA 总产量的 25 35 40 每个车间成品中的次品分别为各车间产量的 5 4 2 如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品 问它是车间生产的概率 CBA 解解 分别表示三车间生产的螺钉 表示次品螺钉 CBA CBA D 25 AP 35 BP 45 CP 5 ADP 4 BDP 2 CDP 10 DP ADPAP DAP CDPCPBDPBPADPAP ADPAP 69 25 240435525 525 同理 DBP 69 28 DCP 69 16 26 已知男人中有 5 的色盲患者 女人中有 0 25 的色盲患者 今从男女人数中随 机地挑选一人 恰好是色盲患者 问此人是男性的概率是多少 解解 从人群中任取一人是男性 色盲患者 BA 因为 5 0 BPBP 25 0 5 BAPBAP 02625 0 0025 0 5 005 0 5 0 BAPBPBAPBPAP 所以 21 20 02625 0 05 0 5 0 AP BAPBP ABP 27 设是事件 10 ABPABPABA 证明和的概率不等于其中是任意二事件 独立的充分必要条件 BA与 证证 和的概率不等于所以和的概率不等于因为10 10AA 1 P ABP AB P B AP B A P AP A P A P ABP A P BP AB P ABP A P BAB 即和独立 28 设六个相同的元件 如下图所示那样 安置在系统中 设每个元件正常工作的概率 为 求这个系统正常工作的概率 假定各个p 能否正常工作是相互独立的 解解 设 i Ai 第条线路正常工作 1 2 3 i A 代表这个系统正常工作 A 代表这个系统正常工作 由条件知 2 i P Ap 2 1 i P Ap 2 3 123 1 1 1 1 P AP AP A A Ap 二十六 1 设有 4 个独立工作的元件 1 2 3 4 它们的可靠性分别为 11 P1 P2 P3 P4 将它们按图 1 的方式联接 求系统的可靠性 记 Ai表示第 i 个元件正常工作 i 1 2 3 4 A 表示系统正常 A A1A2A3 A1A4两种情况不互斥 P A P A1A2A3 P A1A4 P A1A2A3 A4 加法公式 P A1 P A2 P A3 P A1 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P1P2P3 P1P4 P1P2P3P4 A1 A2 A3 A4独立 29 某类电灯泡使用时