解一元二次方程——因式分解法导学案 （新版新人教版）

1 / 17解一元二次方程因式分解法导学案 （新版新人教版）本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件m 第 5 课时解一元二次方程-因式分解法一、学习目标 1会用因式分解法解一元二次方程；2会用换元法解一元二次方程；3灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾 1分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：， ，（3）十字相乘法：三、新知讲解 1因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于 0，从而2 / 17实现降次.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2因式分解法解一元二次方程的步骤：把方程的右边化为 0；用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；令每一个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于 0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、典例探究1用因式分解法解一元二次方程【例 1】用因式分解法解方程：（1）2(2x1)2=(12x)；（2）4(y2)2=(y3)2.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当 ab=0 时，必有 a=0 或者 b=0”的结论.因式分解法解一元二次方程的步骤：3 / 17（1）把方程的右边化为 0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.练 1（XX 秋赵县期末）用因式分解法解方程：x26x+9=（52x）22用换元法解一元二次方程【例 2】 （XX山西校级模拟）解方程（x1）25（x1）+4=0 时，我们可以将 x1 看成一个整体，设x1=y，则原方程可化为 y2+4=0，解得 y1=1，y2=4当y=1 时，即 x1=1，解得 x=2；当 y=4 时，即 x1=4，解得 x=5，所以原方程的解为 x1=2，x2=5利用这种方法求方程（2x+5）24（2x+5）+3=0 的解总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母4 / 17来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的练 2（XX呼和浩特）若实数 a、b 满足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，则 a+b=_练 3 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.3灵活选用方法解一元二次方程【例 3】 （XX 秋漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：（1）x25x+1=0；（2）3（x2）2=x（x2） ；（3）2x22x5=0；（4） （y+2）2=（3y1）2总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时，即形如ax2+c=0 形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为 0，即形如 ax2+bx=0 的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为 0，即形如5 / 17ax2+bx+c=0 的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是 1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的.因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.练 4（XX 春无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.（1）x25x6=0；（2）3x24x1=0；（3）x（x1）=33x；（4）x22x+1=0五、课后小测一、选择题1方程（x-16）(x+8)=0 的根是（）=-16，x2=16，x2=-=16，x2=-16，x2=-82.方程 5x(x+3)=3(x+3)的解为（）3.（XX滕州市校级模拟）方程 x22x=3 可以化简为（）A （x3） （x+1）=0B （x+3） （x1）=0c （x1）2=2D （x1）2+4=06 / 17二、填空题4 （XX丽水）解一元二次方程 x2+2x3=0 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程5 （XX杭州模拟）方程 x（x+1）=2（x+1）的解是6 （XX 秋苏州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则 x2+y2 的值为三、解答题7 （XX 秋静宁县期末）解下列方程：（1）x22x+1=0（2）x22x2=0（3） （x3）2+2（x3）=08 （XX 秋沧浪区校级期末）解下列方程：（1）x24x3=0（2） （x2）2=3（x2）（3）2（x）2（x）1=09 （XX 秋宛城区校级期中）为了解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将 x21 看作一个整体，然后设 x21=y，则（x21）2=y2，那么原方程7 / 17可化为 y2+4=0，解得 y1=1，y2=4当 y=1 时，x21=1，x2=2，x=当 y=4 时，x21=4，x2=5，x故原方程的解为 x1=，x2=，x3=，x4=请借鉴上面的方法解方程（x2x）25（x2x）+6=010 （XX 秋蓟县期中）已知（x2+y23）（x2+y2+1）=12，求 x2+y2 的值典例探究答案：【例 1】 【解析】 （1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x1)2=(12x)移项，得 2(2x1)2(12x)=0，即：2(2x1)2+(2x1)=0，因式分解，得（2x-1）2(2x-1)+1=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得 x1=12，x2=14；（2）4(y2)2=(y3)28 / 17移项，得 4(y2)2-(y3)2=0因式分解，得2（y+2）+(y-3)2(y+2)-(y-3)=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得 y1=13，y2=7.练 1 【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x26x+9=（52x）2，（x3）2（52x）2=0，因式分解得：（x3+52x） （x35+2x）=0，整理得：（2x） （3x8）=0，解得：x1=2，x2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键【例 2】 【解析】先设 2x+5=y，则方程即可变形为y24y+3=0，解方程即可求得 y（即 2x+5）的值，进一步可求出 x 的值解：设 x1=y，则原方程可化为 y24y+3=0，所以（y1） （y3）=0解得 y1=1，y2=3当 y=1 时，即 2x+5=1，解得 x=2；当 y=3 时，即 2x+5=3，9 / 17解得 x=1，所以原方程的解为：x1=2，x2=1点评：本题运用换元法解一元二次方程练 2 【解析】设 a+b=x，则原方程转化为关于 x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求 x（即 a+b）的值解：设 a+b=x，则由原方程，得4x（4x2）8=0，整理，得（2x+1） （x1）=0，解得 x1=，x2=1则 a+b 的值是或 1故答案是：或 1点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换练 3【解析】设 x2-3=y，则原方程转化为关于 y 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求 y（即 x2-3）的值解：设 x2-3=y，则原方程可化为 y2-5(-y)+4=0，即：y2+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得 y1=-1，y2=-4.当 y1=-1 时，x2-3=-1，即 x2=2，解得.10 / 17当 y2=-4 时，x2-3=-4，即 x2-3=-1，方程无实数根.综上，.【例 3】 【解析】 （1）利用配方法得到（x）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到 3（x2）2x（x2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2（3y1）2=0，然后利用因式分解法解方程解：（1）x25x=1，x25x+（）2=1+（）2，（x）2=，x=，所以 x1=，x2=；（2）3（x2）2x（x2）=0，（x2） （3x6x）=0，所以 x1=2，x2=3；（3）=（2）242（5）=48x=，所以 x1=，x2=；（4） （y+2）2（3y1）2=0，（y+2+3y1） （y+23y+1）=0，11 / 17y+2+3y1=0 或 y+23y+1=0，所以 y1=，y2=点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法练 4 【解析】 （1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解解：（1）因式分解，得（x1） （x6）=0，解得 x1=6，x2=1；（2）a=3，b=4，c=1，x1=，x2=；（3）方程化简得 x2+2x3=0，因式分解，得（x+3） （x1）=0，解得 x1=1，x2=3；（4）a=1，b=2，c=1，x1=1+，x2=1+点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键课后小测答案：一、选择题1 【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项解：x22x=3，x22x3=0，（x3） （x+1）=0，12 / 17故选 A点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得 5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得 5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3） （x+3）=0，解得故选 D.点评：注意本题不能两边约去（x+3） ，这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加 1，左边配成完全平方式.解：方法一：x2-2x=3,移项，得 x2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选 A.点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法.二、填空题13 / 174 【解析】把方程左边分解，则原方程可化为 x1=0 或x+3=0解：（x1） （x+3）=0，x1=0 或 x+3=0故答案为 x1=0 或 x+3=0点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 5 【解析】移项后分解因式得到（x+1） （x2）=0，推出方程 x+1=0，x2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1） ，移项得：x（x+1）2（x+1）=0，即（x+1） （x2）=0，x+1=0，x2=0，解方程得：x1=2，x2=1，故答案为：x1=2，x2=1点评：本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键14 / 176 【解析】令 x2+y2=t，将原方程化为（t+1） （t+2）=6，解出 t，再求得 x 即可解：令 x2+y2=t，将原方程化为（t+1） （t+2）=6，即（t1） （t+4）=0，解得 t1=1，t2=4，t0，t=1，x2+y2=1，故答案为 1点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是 x2+y2三、解答题7 【解析】 （1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可解：（1）x22x+1=0，因式分解，得（x1）2=0，解得 x1=0，即 x1=x2=1；（2）x22x2=0，移项，得 x22x=2，15 / 17配方，得 x22x+1=2+1，即：（x1）2=3，解得 x1=，即 x1=1+，x2=1；（3） （x3）2+2（x3）=0，因式分解，得（x3） （x3+2）=0，即 x3=0，x3+2=0，解得 x1=3，x2=1点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中8 【解析】 （1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）将方程变形后，设 y=x，得到关于 y 的一元二次方程，求出方程的解得到 y 的值，可列出关于 x 的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解解：（1）方程变形得：x24x=3，配方得：x24x+4=7，即（x2）2=7，开方得：x2=，解得：x1=2+，x2=2；（2）方程变形得：（x2）23（x2）=0，分解因式得：（x2） （x23）=0，解得：