第7章--非线性系统分析--练习与解答

1 第七章第七章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 习题与解答习题与解答 7 1 设一阶非线性系统的微分方程为 3 xxx 试确定系统有几个平衡状态 分析平衡状态的稳定性 并画出系统的相轨迹 解 令 x 0 得 xxx xx xx 32 1110 系统平衡状态 xe 011 其中 稳定的平衡状态 0 e x 不稳定平衡状态 1 1 e x 计算列表 画出相轨迹如图解7 1所示 可见 当时 系统最终收敛到稳定的平衡状态 当时 系统发散 x 01 x 01 时 时 x t 1 0 xx t 1 0 x 注 系统为一阶 故其相轨迹只有一条 不可能在整个平面上任意分布 xx 7 2 试确定下列方程的奇点及其类型 并用等倾斜线法绘制相平面图 1 xxx 0 2 212 211 2xxx xxx 解 1 系统方程为 x 2 1 13 0 13 1 2 x 6 0 0 385 0 0 385 0 6 x 11 2 0 1 0 2 11 图解 7 1 系统相轨迹 2 0 0 0 0 xxxx xxxx 令 得平衡点 0 xx 0 e x 系统特征方程及特征根 2 1 2 2 1 2 13 10 22 10 1 618 0 618 sssj sss 稳定的焦点 鞍点 xf x xxx dx dx xxx dx dx x x xxx 1 1 1 0 1 1 II 0 1 1 I x x 计算列表 3 1 1 3 0 1 3 1 3 x 01 1 1 2 3 0 2 4 2 4 3 1 x 01 1 1 4 3 2 4 2 0 2 3 1 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7 2 所示 a 3 图解7 2 系统相平面图a 2 x xx 112 212 2xxx 由式 xxx 211 式 代入 xxxxx 11111 2 即 xxx 111 20 令 xx 11 0 得平衡点 xe 0 由式 得特征方程及特征根为 鞍点 414 0 414 2 012 2 1 2 ss 画相轨迹 由 式 xx dx dx xxx 11 1 111 2 x x 1 1 2 计算列表 4 22 53 11 52 1 2 210 1 2 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解 7 2 所示 b 7 3 已知系统运动方程为 试确定奇点及其类型 并用等倾斜线法绘 sinxx 0 制相平面图 解 求平衡点 令 得 xx 0 sinx 0 平衡点 xkk e 012 将原方程在平衡点附近展开为台劳级数 取线性项 设 F xxx sin 0 F x x F x x xx ee 0 cosxxx e 0 5 3 1 0 4 2 0 0 kkxxx kkxxx e e 特征方程及特征根 k为偶数时 sj 2 1 2 10 中心点 k为奇数时 s 2 1 2 101 鞍点 用等倾斜线法作相平面 sin sin sin x dx dx xxx xx 0 1 2 1 1 2 1 4 0 1 4 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 4 2 1 1 2 作出系统相平面图如图解7 3所示 5 7 4 若非线性系统的微分方程为 1 xxxxx 30 50 2 2 xxxx 0 试求系统的奇点 并概略绘制奇点附近的相轨迹图 解 1 由原方程得 xf x xxxxxxxxx 30 530 5 222 令 xx 11 0 得 xxx x 2 10 解出奇点 xe 01 在奇点处线性化处理 在处 xe 0 x f x x x x f x x x x xxxxxx x x x x x xx x 0 0 0 0 00 1260 50 5 即 xxx 0 50 特征方程及特征根 sj 1 2 2 0 50 54 2 0 250 984 不稳定的焦点 在处xe 1 xxxxxxx x x x x 5 0 5 06 21 0 1 0 1 即 xxx 0 50 特征根 鞍点 718 0 218 1 2 45 05 0 2 2 1 s 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7 4 1 所示 6 2 由原方程 xf x xxxx 令 xx 0 得奇点 xe 0 在奇点处线性化 x f x x f x x xxxx x xx x x xx x 00 00 1 得 x x 即 x x 0 特征根 sj 1 2 奇点xe 0 中心点 处的相轨迹如图解7 4 2 所示 7 5 非线性系统的结构图如图7 36所示 系统开始是静止的 输入信号 试写 14 ttr 出开关线方程 确定奇点的位置和类型 画出该系 统的相平面图 并分析系统的运动特点 解 由结构图 线性部分传递函数为 C s M ss 1 2 得 c tm t 由非线性环节有 22 22 20 ete ete e tm 由综合点得 7 c tr te te t 4 将 代入 得 III2 2 II2 2 I20 ete ete e t e 开关线方程为 e t 2 02 0 ee cete 常数 令 得奇点 e02 II ee 0 特征方程及特征根 中心点 ssj 2 1 2 10 III e e 20 令 ee 0 得奇点 e02 III 特征方程及特征根 ssj 2 1 2 10 中心点 绘出系统相轨迹如图解7 5所示 可看出系统运动呈 现周期振荡状态 7 6 图7 37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统 试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单 位阶跃响应的影响 解 由系统结构图有 0 0 215 0 15 c c sssE sC ssC sE s 0 5125 8 II055 0 I0535 0 cecc cecc 因为 cree 1 代入 式有 II00102 I00106 eeee eeee 特征方程与特征根 310102 II 30106 I 2 1 2 2 1 2 不稳定的焦点 稳定的焦点 jsss jsss 依题意 0 0 0 0 cc 可得 0 0 0 1 0 1 0 ce ce 以为起点概略作出系统相轨迹 可见系统阶跃响 0 1 应过程是振荡收敛的 7 7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7 38 所示 图7 38 具有理想继电器的非线性系统 试用相平面法分析 1 Td 0时系统的运动 2 Td 0 5 时系统的运动 并说明比例微分控制对改善系统性能的作用 3 时系统的运动特点 Td 2 解 依结构图 线性部分微分方程为 9 c u 非线性部分方程为 01 01 eTe eTe u d d 开关线方程 e T e d 1 由综合口 cree 1 代入 并整理得 01 01 d d eTe eTe e 在 I 区 ee de de 1 解出 eee 2 20 抛物线 同理在 II 区可得 eee 2 20 抛物线 开关线方程分别为 时 e 0 Td 0 时 e e 2 Td 0 5 Td 2时 ee 0 5 概略作出相平面图如图解7 7所示 图习题集图习题集P178 T8 10 由相平面图可见 加入比例微分控制可以改善系统的稳定性 当微分作用增强时 系统振 荡性减小 响应加快 10 7 8 具有饱和非线性特性的控制系统如图 7 39 所示 试用相平面法分析系统的阶跃 响应 解 非线性特性的数学表达式为 ae ae ae M M e y 线性部分的微分方程式为 KyccT 考虑到 上式又可以写成ecr rrTKyeeT 输入信号为阶跃函数 在时有 因此有0 t0 rr 0 KyeeT 根据已知的非线性特性 系统可分为三个线性区域 区 系统的微分方程为 0aeKeeeT 按前面确定奇点的方法 可知系统在该区有一个奇点 0 0 奇点的类型为稳定焦点 图 解 7 8 为 区的相轨迹 它们是一簇趋向于原点的螺旋线 a 区 系统的微分方程为 0aeKMeeT 设一般情况下 初始条件为 则上式的解为 00 0 0 eeee KMtTeKMeTKMeete Tt 000 对上式求一次导数 得 KMeKMete Tt 0 故当初始条件时 相轨迹方程为 KMe 0 KMe 当时 相轨迹方程为KMe 0 KMe KMe KMTTeeee 0 00 ln 由此可作出该区的相轨迹 如图解 7 8 所示 相轨迹渐进于直线 bKMe 区 此时系统的微分方程为 0aeKMeeT 图 7 39 非线性系统结构图 11 将 区相轨迹方程中的改变符号 即得 区的相轨迹方程KM ln 0 0 00 0 KMe KMe KMe KMTTeeee KMeKMe 该区的相轨迹如图解 7 8 所示 b 将以上各区的相轨迹连接起来 便是系统的整个相平面图 如图解 7 8 所示 c 假使系统原来处于静止状态 则在阶跃输入作用时 相轨迹的起始点应为 此时的系统的相平面图如图解 7 8 所示 由图可知 系统在0 0 0 eRe d 阶跃输入作用时 系统是稳定的 其稳态误差为零 动态过程具有衰减振荡性质 最大超 调量可从图中量得 图解 7 8 非线性系统的相平面图 7 9 试推导非线性特性 的描述函数 yx 3 解 y tAt sin 33 12 2 0 43 1 sin 1 tdtAB 2 0 2 3 2cos1 4 14 tdt A 2 0 2 3 2cos2cos21 tdtt A 2 0 33 2sin 2 t AA 2 0 3 2 14cos td tA 4 3 2 4cos 2 0 2 3 2 0 3 2 0 33 A td A tdt AA N A B A j A A A 11 2 3 4 7 10 三个非线性系统的非线性环节一样 线性部分分别为 1 G s ss 1 0 11 2 G s s s 2 1 3 G s s s ss 2 151 1 0 11 试问用描述函数法分析时 哪个系统分析的准确度高 解 线性部分低通滤波特性越好 描述函数法分析结果的准确程度越高 分别作出三 个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7 10所示 13 由对数幅频特性曲线可见 L2的高频段衰减较快 低通滤波特性较好 所以系统 2 的描 述函数法分析结果的准确程度较高 7 11 将图7 40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式 并写出线性部分 的传递函数 图7 40 非线性系统结构图 解 a 将系统结构图等效变换为图解7 11 a 的形式 G sG sH s 11 1 b 将系统结构图等效变换为图解7 11 b 的形式 G sH s G s G s 1 1 1 1 7 12 判断题7 41图中各系统是否稳定 与两曲线交点是否为自振点 1AN jG 题7 41图 自振分析 解 a 不是 b 是 c 是 d 点是 点不是ca b 14 e 是 f 点不是 点是ab g 点不是 点是ab h 系统不稳定 i 系统不稳定 j 系统稳定 7 13 已知非线性系统的结构图如图7 42所示 图7 42 7 13题图 图中非线性环节的描述函数为 N A A A A 6 2 0 试用描述函数法确定 1 使该非线性系统稳定 不稳定以及产生周期运动时 线性部分的 值范围 2 判断周期运动的稳定性 并计算稳定周期运动的振幅和频率 解 1 12 6N A A A 1 0 1 3 1 1 NN dN A dAA 4 2 0 2 N A 单调降 也为单调降函数 画出负倒描述函数曲线和G j 曲线 1AN 1AN 如图解7 13所示 可看出 当K从小到大变化时 系统会由稳定变为自振 最终不稳定 求使 的 值 Im G j 0 令 G jarctg 902180 得 arctg 451 令 G j K 1 2 2 1 1 15 21 3 2 3 1 2 3 1 K KK 可得出K值与系统特性之间的关系 16 2 由图解7 13可见 当和G j 相交时 系统一定会自振 由自振条件 1AN N A G j A A KAK A 1 6 22 6 22 1 AKA 624 解出 2 3 2 1 2 46 K K K A 7 14 具有滞环继电特性的非线性控制系统如图 7 43 所示 其中 a1 1 hM 1 当时 分析系统的稳定性 若存在自振 确定自振参数 5 0 T 2 讨论对自振的影响 T 图 7 43 非线性系统结构图及自振分析 解 具有滞环继电特性的描述函数为 hA A hM j A h A M AN 4 1 4 2 2 代入 有1 1 hM 2 2 4 1 1 4 A j AA AN 17 4 1 4 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2 22 2 jA A j AA j A A j A A AN 其负倒描述函数曲线如题 7 43 所示 曲线位于第三象限 两曲线 1AN b jG 必然有交点 且该点为自振点 1 55 1 5 2 2 AN jG T jjG s Ts sG 根据虚部相等 有 T j T j 20 4 5 自振角频率随增大而增大 当时 T5 0 T18 3 根据实部相等 有 1 4 20 5 2 2 A T 解出非线性输入端振幅为 1 400 4 2 T A 当时 自振振幅随增大而减小 5 0 T18 1 AT 7 15 非线性系统如图7 44所示 试用描述函数法分析周期运动的稳定性 并确定系 统输出信号振荡的振幅和频率 18 解 将系统结构图等效变换为图解7 15 G j jj j 10 1 10 1 10 1 22 2 2 2 042 0 1 4 A j AA AN A j AA 2 02 0 1 4 2 2 11 4 0 20 2 1 A N A j AA 2 0 20 2 1 4 A j AA 令G j 与的实部 虚部分别相等 1AN 得 2 2 2 0 1 41 10 A A 10 1 0 2 4 0 157 2 两式联立求解得 3 910 806 A 由图7 44 时 有