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八年级数学讲义第11章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示ABC中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b顶点：A，B，C 内角：A ，B ，C二、 三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+ca(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差第三边AE，CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD例2如图CB，CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB求证：CE=2CD证明：延长CD至，使DF=CD，连接BF，在ADF和BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFADFBDCAF=BC，AFBC CAF+ACB=180， ACB=ABC，ABC+CBE=180CAF=CBE 又因为AC=BE，CAFCBECE=CF例3、 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线证明：延长到点，使，连结在和中，而又，例4、如图，在中，是边的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于点F求证：AFEF证明：延长AD到点G，使AD=DG，连结BG是边的中线 DC=DB在ADC和GDB中AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB （SSS）CAD=BGD BG=AC又BE=AC，BE=BGBED=GBED=AEF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=EF人教版数学八年级上册二 截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短:1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例1. 如图，ABC中，ACB2B，12 求证：ABACCD 证法一：（补短法） 延长AC至点F，使得AFAB 在ABD和AFD中 ABDAFD（SAS） BF ACB2B ACB2F 而ACBFFDC FFDC CDCF 而AFACCF AFACCD ABACCD 证法二：（截长法） 在AB上截取AEAC，连结DE 在AED和ACD中 AEDACD（SAS） 例2、 如图，在ABC中，AD为BC边上的高，B=2C.求证：CD=AB+BD.证明：在DC上截取DE=DB，连接AE，在ADB和ADE.中DE=DB，ADB=ADE,AD=ADADEADB（SAS） AE=AB，AEB=B， AEB=C+CAE，B=2C，ED=BD， AEB=2C. C=CAE，故CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如图，AD/BC，BE、AE分别是ABC、BAD的平分线，点E在CD上，求证：AB=AD+BC证明：在AB上截取AF=AD，连接EFAE平分BAD，1=2在FAE和DAE中，AF=AD1=2AE=AEFAEDAE AFE=D又 AD/BCC+D=180而 BFE+AFE= 180 C=BFE在BFE 和 BCE中C=BFE3=4，BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=AB例4、如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证：ABACPBPC证明：在AB是截取AEAC在ACP与AEP中，有： ACAE （已知） EAPCAP （已知AD是BAC角平分线） APAP （公共边） ACPAEP （SAS） PCPE （全等三角形对应边相等） BEPBPE （三角形两边差小于第三边） BEPBPC （等量代换） BEABAEACAEBEPBPC ABACPBPC三 与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。1 截取构造全等例1 如图1，在中，平分，求：的值ACBBDF（图2）CABDE（图1）解法1：在上截取使，连结，又，解法2：延长到，使，连结 FAD=CAD，AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF又 AB+BF=AF BD=BF ABC=2F=2C2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形例2 如图3，在四边形中，平分求证：ABCDEF（图3）证明：过点作，交延长线于点，作，交于点平分，又，ABCDFE（图4例3 如图4，已知等腰三角形中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点求证： 证明：延长交的延长线于点，是的平分线， 是等腰三角形 ，角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相等。ABCDEOP例1，如图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，求证：PD=PE。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分线定义）在RtDOP和RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。例2已知：如图，点P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE。求证：射线OC是AOB的平分线。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）在RtDOP和RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线OC平分AOB【典型例题】OABCDE例3：如图，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求证：EA=EB例4：如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。ABCDEO12求证：1=2ABDPOMN例5：如图所示，已知OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PMBD，PNAD。求证：PM=PNABCDEFO例6：如图，AD是ABC中BAC的平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。例7：如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC。求证：A+C=1800。ABCD第13章 轴对称知识网络结构图轴对称轴对称图形(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等对称轴垂直平分连接对应点的线段(2)性质(3)垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上作轴对称图形用坐标表示轴对称轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P(x，y)P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P(x，y)性质等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)1、 轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，ABC是轴对称图形。ABClAAABBCCl规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。等腰三角形和等边三角形1、 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、 等腰三角形的性质： 等边对等角 三线合一（1） 两腰相等 （2） 两底角相等（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3、 等腰三角形的判定：（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形4、 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形5、 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于606、 等边三角形的判定：（1） 三条边都相等的三角形是等边三角形（2） 三个角都相等的三角形是等边三角形（3） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【典型例题】例1：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A、200 B、1200 C、200或1200 D、360ABDC800例2： 如图，在ABC中，点D是BC上一点，BAD=800，AB=AD=DC，则C=_例2：若等腰三角形的底边长为8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）A、21cm B、18cm C、18cm或21cm D、13cm或26cmABCD例3：如图，ABC中，C=900，ABC=600，BD平分ABC，若AD=6，则CD=_ABDEC例4：如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的外角DAC的平分线。试判断AE与BC的位置关系。例5：如图，ABD和ACE是等边三角形。求证：BE=CDDACBE例6已知如图所示, 在ABC中, BD是AC边上的中线, DBBC于B, ABC=120o, 求证: AB=2BCBA D C E ABCDE例7：如图，在ABC中，C=900，BAC=600，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于E