第三讲--数阵图

第三讲 数阵图 一 知识点 一 知识点 一些数按照一定的规则 填在某一特定图形的规定位置上 这种图形 我们称它为 数阵图 数阵图的种类繁多 绚丽多彩 这里只向大家介绍三种数阵图 即封闭型数阵 图 辐射型数阵图和复合型数阵图 在解答这类问题时 要善于确定所求的和与关键数字 间的关系式 用试验的方法 找到相等的和与关键数字 要会对基本解中的数进行适当调 整 得到其他的解 从而培养自己的观察能力 思维的灵活性和严密性 二 典例剖析 二 典例剖析 例 例 1 1 将 1 6 分别填在图中 使每条边上的三个 内的数的和都等于 9 分析 分析 因为 1 2 3 4 5 6 21 而每条边上的三个数的和为 9 则三条边上 的和为 9 3 27 27 21 6 这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次 所以三个顶点的和为 6 在 1 6 中 只能选 1 2 3 填入三个顶点中 再将 4 5 6 填入另外的三个圈即可 解 解 abc def 练一练 练一练 把 1 8 个数分别填入 中 使每条边上三个数的和相等 答案 183 7 246 5 3 1 6 24 5 3 1 5 342 6 2 6 1 53 4 2 4 31 5 6 3 5 1 6 2 4 3 4 2 6 1 5 例 例 2 2 把 1 7 填入下图中 使每条线段上三个 内的数的和相等 分析分析 中心圆填入的数设为 x x 参与 3 条线的连加 设每条线数字和 都为 S 由题意 1 2 3 7 2x 3S 即 28 2x 3S 或 28 2x 0 mod 3 借用同余工具 是在两个未知数的不定方程中先缩小 x 应该取值的 范围 在 mod3 情况下 只要试探 x 0 1 2 三个值 很轻松地解出 x 1 mod3 回复到 x 取值范围为 1 2 7 有 x1 1 x2 4 x3 7 得到 x1 1 S1 10 x2 4 S2 12 x3 7 S3 14 由此看出关键在求 S 公共和 及 x 参与相加次数最多的圆中值 解 解 abc 练一练 练一练 把 1 11 填入图中 使每条线上三个数的和相等 答案 11 1 6 3 9 2 10 5 8 4 7 7 2 4 1 5 3 656 2 4 3 1 7 6 1 7 3 45 2 例 例 3 3 把 20 以内的质数分别填入下图的一个 中 使得图中用箭头连接 起来的四个数之和都相等 分析分析 由上图看出 三组数都包括左 右两端的数 所以每组数的中间两 数之和必然相等 20 以内共有 2 3 5 7 11 13 17 19 八个质数 两两之和相等的有 5 19 7 17 11 13 解 解 于是得到下图的填法 练一练 练一练 将 1 8 个数分别填入图中 使每个圆圈上五个数和分别为 20 21 22 答案 abc 例 例 4 4 在右图的六个 内各填入一个质数 可取相同的质数 使它们的 和等于 20 而且每个三角形 共 5 个 顶点上的数字之和都相等 2 6 8 3 1 4 5 78 6 1 2 4 7 5 38 2 4 7 1 3 5 6 分析 分析 因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六 个 又因为每个三角形顶点上的数字之和相等 所以每个三角形顶点上的 数字之和为 20 2 10 10 分为三个质数之和只能是 2 3 5 由此得到右 图的填法 解 解 练一练 练一练 把 1 9 填入下图中 使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等 答案 例 例 5 5 将九个数填入右图的空格中 使得每行 每列 每条对角线上的三 个数之和都相等 则一定有 3 6 9 4 52 7 1 8 证明 证明 设中心数为 d 由上讲例 4 知每行 每列 每条对角线上的三个数之 和都等于 3d 由此计算出第一行中间的数为 2d b 右下角的数为 2d c 见下图 根据第一行和第三列都可以求出上图中 处的数由此得到 3d c 2d b 3d a 2d c 3d c 2d b 3d a 2d c d c b d a c 2c a b 值得注意的是 这个结论对于 a 和 b 并没有什么限制 可以是自然数 也可以是 分数 小数 可以相同 也可以不同 练一练 练一练 在下页右上图的空格中填入七个自然数 使得每一行 每一列及每一条对 角线上的三个数之和都等于 90 答案 例 例 6 6 在右图所示立方体的八个顶点上标出 1 9 中的八个 使得每个面 上四个顶点所标数字之和都等于 k 并且 k 不能被未标出的数整除 分析 分析 设未被标出的数为 a 则被标出的八个数之和为 1 2 9 a 45 a 由于每个顶点都属于三个面 所以六个面的所有顶点数字之和 为 6k 3 45 a 2k 45 a 2k 是偶数 45 a 也应是偶数 所以 a 必为奇数 若 a 1 则 k 22 若 a 3 则 k 21 若 a 5 则 k 20 若 a 7 则 k 19 若 a 9 则 k 18 因为 k 不能被 a 整除 所以只有 a 7 k 19 符合条件 由于每个面上四个顶点上的数字之和等于 19 所以与 9 在一个面上 的另外三个顶点数之和应等于 10 在 1 2 3 4 5 6 8 中 三个数 之和等于 10 的有三组 10 1 3 6 1 4 5 2 3 5 解 解 将这三组数填入 9 所在的三个面上 可得下图的填法 练一练 练一练 把 1 12 这十二个数 填入下图中的 12 个 内 使每条线段上四个数的和相 等 两个同心圆上的数的和也相等 答案 模拟测试 模拟测试 3 3 1 把 1 8 这 8 个数 分别填入图中的方格内 每个数必须用一次 使 十一 三笔 中每三个方格内数的和都相等 2 把 1 9 个数分别填入 中 使每条边上四个数的和相等 3 把 1 10 填入图中 使五条边上三个 内的数的和相等 4 把 4 9 填入下图中 使每条线上三个数的和相等 都是 18 5 将 1 9 这九个数分别填入图中 内 使每条线段三个数相等 1 12 5 8 10 3 7 6 2 4 9 11 6 把 1 8 这 8 个数填入下图 使每边上的加 减 乘 除成立 7 把 0 9 填入 10 个小三角形中 使每 4 个小三角形组成的大三角形的和相等 8 图有五个圆 它们相交相互分成 9 个区域 现在两个区域里已经填上 10 与 6 请在另外七个区域里分别填进 2 3 4 5 6 7 9 七个数 使每圆内的和都等于 15 9 把 1 8 填入图中 使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等 10 在下图中的几个圈内各填一个数 使每一条直线上的三个数中 当中的数是 两边两个数的平均数 现在已经填好两个数 那么 x 106 x 1713 1 把 1 16 这 16 个数 填入图中的 16 个 内 使五个正方形的四个顶点上 内数的和相等 2 将 1 12 这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里 使每条直线上的四个 小圆圈中的数字之和 26 3 将 1 10 这十个数分别填入下图中的十个 内 使每条线段上四个 内数的 和相等 每个三角形三个顶点上 内数的和也相等 4 把 1 11 这 11 个数分别填入如下图 11 个 内 使每条虚线上三个 内数的 和相等 一共有几种不同的和 5 把 1 16 填入下图中 使每条边上 4 个数的和相等 两个八边形上 8 个数的 和也相等 模拟测试 模拟测试 3 3 解答解答 1 2 a b 3 3 82 4 6 571 2 9 5 3817 4 6 3 9 2 7518 4 6 6 5 8 1 1027 3 9 4 4 5 6 7 8 9 6 7 594 8 4 7 1 3 8 2956 5 6 3 2 4 8 7 1 81 709 4 23 5 6 10 3 6 4 6 5729 6 83 2 74 5 1 1