4.1.1圆的标准方程

数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 教教 案案 课 题 专 业 姓 名 学 号 2011 年 11 月 3 日 4 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 一 教材分析一 教材分析 在学习了直线方程之后 开始学习本节 圆的方程 圆是学生比较熟悉的 曲线 在初中曾经学习过圆的有关知识 本节内容是在初中所学知识以及前几 节内容的基础上 进一步运用 解析法 研究圆的方程 圆与直线的位置关系 及其应用 同时 由于圆也是特殊的圆锥曲线 因此 学习了圆的方程 就为 后面拓展学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础 也就是说 本节内容在教材体 系中起到了承上启下的作用 具有重要的地位 二 教学目标二 教学目标 1 知识与技能 1 了解圆的特征 了解圆的定义及其标准方程的推导过程 2 掌握圆的标准方程 掌握方程中三个参数 r a b 的含义 3 学会根据圆的标准方程 写出圆的圆心坐标和直径 能根据简单条件写 出圆的标准方程 4 了解在直角坐标系中 平面上的直线与关于 x y 的二元一次方程的对 应关系 5 加深学生数形结合的认识 通过例题和练习培养学生用代数方法研究几 何问题的能力 2 过程与方法 本节内容通过对直线的方程的回忆基础上 引导我们用方程语言刻画圆的 特征 然后通过具体例题 思考 探究 练习中的问题 再用所学知识解决一 个实际问题 做到学以致用 3 情态与价值观 1 培养学生主动探究的能力 让学生在合作交流中体验数学的乐趣 使 学生养成细心学习的习惯 2 培养学生积极参与 大胆探索的精神以及合作意识 通过让学生体验 成功 增强学习数学的信心 三 教学重 难点三 教学重 难点 教学重点 根据圆心和半径求圆的方程以及由圆的方程求圆心和半径 教学难点 由圆的标准方程解决一些相关问题 四 课时安排四 课时安排 1 课型 新知课 2 课时 一课时 1 教学用具 1 教具 多媒体课件 彩色粉笔 圆规 三角板 2 学具 圆规 直尺 铅笔 计算器 五 教学过程五 教学过程 创设情境 创设情境 一 圆之美 1 图形之美 1 早在公元前 6 世纪 毕达哥拉斯学派认为 最美的平面图形是圆 2 生活中的很多图案都是很美的圆形 如戒指 轮胎 光盘 钱币 水杯等 注 让学生明白 圆并不是枯燥的几何图形 圆的图形很美很多 现实生 活中的圆也比比皆是 这些图形蕴含了丰富的人文意义的圆 学生在课堂上感 受到的圆 不是冰冷的曲线 而是数学与生活完美结合的艺术 2 意蕴之美 1 圆不仅是形状上很美 圆还关乎着生活 关乎着交通 关乎着时间 关乎着美食 关乎着艺术 还关乎着爱 2 圆在人们心中总是象征着 美好 带有 圆 的词也一般是褒义词 而 圆 的涵义从根本上说就是是圆满 圆通 注 圆 作为一个简单的汉字 圆 字之中存有更加丰富的含义和意 蕴 此刻的 圆 是文字的美 也是数学的美 二 回顾 在前面我们学习了直线的方程 只要给出适当的条件就可以写出直线的方 程 我们知道 在平面直角坐标系中 已知两点的坐标 一点的坐标和倾斜角 便能确定一条直线且可以写出直线的方程 例 总结 我们在直角坐标系中探究直线的方程时都有哪些步骤啊 设动点找动点满足的几何意义转化成代数方程化解 等价 验证方 程 导入新课导入新课 1 提出问题 那么一个圆能不能用方程写出来 需要哪些条件 如何求得呢 能否用上 面步骤写出 几何表示 那么 在平面直角坐标系中 如果圆心在 半径为C a b 如图 如何求它的标准方程呢 r 事实上 该步骤也适合探究一般曲线的方程 当然就可以用它来探求圆的 方程 下面我们就将按照此步骤进行探究 首先 在圆上任取一点 然后根据圆的定义找出点具有的几何意 M x yM 义 即 CMr 再用两点之间的距离公式得方程 22 xaybr 化解得 222 xaybr 如果点在圆上 点的坐标适合方程 吗 根据上述讨论可知 M x yM 如果点在圆上 点的坐标必定适合方程 反之 若点的 M x yM M x y 坐标适合方程 那么点在圆上吗 若点的坐标适合方程 M M x y 则点与圆心的距离为 由圆的定义可知 点在以为圆心 为半径的MCrMCr 圆上 经过对上述问题的讨论 方程 的解与以为圆心 为半径的圆上的点Cr 是一一对应的 我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方 A a br 程 例题讲解例题讲解 1 写出圆心在 半径长是的圆的标准方程 3 5 C 5 2 写出标准方程为的圆的圆心坐标和半径 22 2 1 3xy 3 的三个顶点的坐标分别是 求它的外接圆的ABC 5 1 A 7 3 B 2 8 C 方程 解 设所求圆的方程是 222 xaybr 因为 都在圆上 所以他们的坐标都满足上式 5 1 A 7 3 B 2 8 C 方程于是 222 222 222 5 1 7 3 2 8 abr abr abr 解此方程组 得 2 2 3 25 a b r 所以 的外接圆的方程是ABC 22 2 3 25xy 思考思考 1 上述对圆的标准方程还有其它的推导过程吗 向量 平移 2 如果方程的解与圆上的点的坐标不够成一一对应关系 我们还能称方程为 圆的标准方程吗 2 为什么被称为圆的标准方程呢 简单说明 巩固练习巩固练习 1 圆心在原点 半径为 3 的圆的方程为 2 圆心在 C 0 7 直径为 8 的圆的方程为 3 说出下列圆的圆心坐标和半径 a x 5 2 y 1 2 16 b x2 y 6 2 1 c x 15 2 y2 2 d x2 y2 8 4 求下列圆的标准方程 a 圆心在点 C 3 4 半径为 9 b 圆心在点 C 0 7 直径为 16 c 经过点 M 1 2 圆心在 C 4 2 d 经过点 M 1 2 N 13 3 且线段 MN 是圆的直径 六 课时总结课时总结 对学生提问 我们本节课学习了哪些内容呢 你有何收获呢 4 1 知识方面 1 圆心为 半径为时圆的标准方程为 C a br 222 xaybr 当圆心在原点时 圆的标准方程为 222 xyr 2 确定一个圆的方程所要具备的两个要素 4 2 思想方法方面 用代数的方法解决几何问题 体现了数形结合的思想 七 板书设计七 板书设计 4 1 1 圆的标准方程 一 圆的方程 1 圆心在原点 半径 为r 画出图形 得到方程 2 圆心 C 在 a b 半径为r 画出方程 得到方程 注意 二 范例 三 练习 四 作业 八 课堂小结 八 课堂小结 通过本节课的学习 学生们对圆的标准方程的掌握还是达到目 标的