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第十一章 混凝土结构按容许应力法计算基本原理 1 本章主要内容 容许应力法的概念 按容许应力法进行抗弯强度计算的基本原理 单筋矩形截面梁的计算 双筋矩形截面梁的计算 T形截面梁的计算 大 小偏心受压构件的计算 箍筋和斜筋的设计 2 以弹性理论为基础 容许应力由材料强度除以安全系数 安全系数则依工程经验和主观判断确定 11 1容许应力法的基本概念 3 公式表达 式中 构件截面的最大计算应力 材料的容许应力 材料的标准强度 安全系数 4 适用范围 钢筋混凝土构件在施工 运输和安装等阶段的计算 预应力混凝土构件在使用阶段的计算 铁路普通钢筋混凝土桥梁的设计计算 优缺点 安全系数凭经验而定 过于保守 但比较实用 5 11 2受弯构件抗弯强度计算 一 抗弯强度计算的基本原理 1基本假定和计算的计算应力图形 基本假定 匀质弹性体假定 平截面假定 受拉区混凝土不参加工作 计算依据 受弯构件受力第二阶段 6 计算应力图形 7 2换算截面 概念 提出此概念的原因 钢筋混凝土梁的截面不是匀质截面 定义 把钢筋和混凝土这两种弹性模量不同的实际截面 按功能相等的原则换算成由一种抗压性能相同的假想材料组成的匀质截面 此匀质截面即为换算截面 8 换算原则 换算方法 功能相等 二者应变相同 二者所受力的大小 方向和作用点都相同 把钢筋换算成与它功能相等的既能受压也能受拉的假想的混凝土 且 9 由受力的方向和作用点不变得 由二者应变相同 可得应力关系 的重心仍在钢筋重心处 所以 10 由受力的大小不变可得面积关系 所以 结论 换算截面中 假想的能受拉的混凝土的应力比钢筋缩小了n倍 而其面积为钢筋面积的n倍 且合力重心位置不变 其中n值为钢筋弹性模量和混凝土弹性模量的比值 可查表11 2 11 二 单筋矩形截面梁的计算 1截面复核 1 确定中性轴的位置 计算依据 换算截面的中性轴必定通过其换算截面的重心 计算原则 12 推导过程 即 13 引入符号 相对受压区高度 配筋率 得 解方程得 受压区高度 由上式可知 受压区高度与材料 配筋率及截面尺寸有关 而与荷载弯矩无关 14 2 求混凝土和钢筋的最大应力 换算截面法 在换算截面法的基础上 应用材料力学的公式直接求解 求换算截面对中性轴的惯性矩 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 15 求受拉钢筋重心处的拉应力 内力偶法 求内力偶臂长度 16 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 对受拉钢筋重心取矩 由 得 17 求受拉钢筋重心处的拉应力 对受压区混凝土合力作用点取矩 由 得 18 多层钢筋的处理 验算理由 由于各层钢筋的应力与其到中性轴的距离成正比 因此 有必要进行验算 19 所以 按应力直线变化关系 验算方法 20 3 弯矩校核 原则 截面所能承受的最大弯矩应大于实际的荷载弯矩 与混凝土达到容许应力相对应的弯矩 与钢筋达到容许应力相对应的弯矩 要求 21 4 截面配筋率的校核 为保证塑性破坏 要求 截面最小配筋率 使按应力阶段III所求得的钢筋混凝土截面的抗弯能力不小于相同截面的素混凝土按应力阶段所求得的抗弯能力的配筋率 可查附表2 8 截面最大配筋率 适筋梁和超筋梁的界限配筋率为截面最大配筋率 计算得出 22 2截面设计 平衡设计 钢筋和混凝土的应力同时达到容许值 低筋设计 钢筋应力达到容许值时 混凝土应力还低于容许值 理论上合理 但实际难保证 适当加大截面后 可减少钢筋用量 比较经济 23 1 平衡设计 超筋设计 不宜采用 混凝土应力达到容许值时 钢筋应力还低于容许值 由于梁高受到限制 需增加钢筋用量 一般改为双筋截面 原则 条件 荷载弯矩 材料容许应力 n值 选择梁的截面尺寸b h 计算钢筋的面积 并布置 要求 24 具体步骤 确定理想的相对受压区高度 由式 得 确定混凝土截面尺寸 25 所以 再由构造要求联合求出截面尺寸 计算梁的自重 和外荷载叠加后算得总荷载弯矩 26 确定钢筋的截面积 由 得 所以 用实际选定的截面尺寸和钢筋面积进行截面复核 并适当进行调整 27 2 低筋设计 原则 条件 要求 荷载弯矩 材料容许应力 n值 一般还按建筑要求或经济比例给出截面尺寸 计算钢筋的面积 并布置 具体步骤 首先判断是否能用低筋设计 判别依据 h0低 h0平 h0超 28 判别方法 h0平 其中 若h0低 h0平 则进行低筋设计 29 试算确定 由 30 由 用实际选定的截面尺寸和钢筋面积进行截面复核 并适当进行调整 31 三 双筋矩形截面梁的计算 1概述 1 双筋梁适用范围 混凝土截面尺寸受到建筑高度等的限制 以至用单筋设计时需采用超筋方案 截面上同时有正 负弯矩存在 由于构造上的原因 如连续梁的中间支座处纵筋不切断时 在截面的受压区已经配置了一定数量的压筋 32 2 双筋梁计算应力图形及压筋应力 计算应力图形 33 压筋应力与混凝土应力的关系 压筋应力与受拉区钢筋重心处应力的关系 34 2截面复核 1 确定中性轴的位置 计算依据 换算截面的中性轴必定通过其换算截面的重心 计算原则 35 推导过程 36 2 求混凝土和钢筋的最大应力 换算截面法 在换算截面法的基础上 应用材料力学的公式直接求解 求换算截面对中性轴的惯性矩 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 37 求受拉钢筋重心处的拉应力 求受压钢筋重心处的压应力 38 内力偶法 求内力偶臂长度 其中 受压区换算截面对中性轴的惯性矩 受压区换算截面对中性轴的面积矩 39 求受拉钢筋重心处的拉应力 求受压钢筋重心处的压应力 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 40 3 截面配筋率的校核 为保证塑性破坏 要求 最小配筋率可查表 41 3截面设计 条件 荷载弯矩 材料容许应力 n值 一般还按建筑要求或经济比例给出截面尺寸 要求 42 基本思路 把双筋截面所受的弯矩设想为两组弯矩之和 即 其中 43 44 1 确定是否作双筋设计 为充分利用混凝土截面 先按单筋矩形截面的平衡设计进行 则 其中 45 2 求 所以 46 3 求 所以 47 4 求 又由平衡条件 得 压筋应力 48 5 截面复核 用实际选定的截面尺寸和钢筋面积进行复核截面应力和配筋率 并根据结果适当进行调整 49 1对T形截面有效翼缘的规定 bi L 3b SnB 12hi 或b 2e 12hi 四 T形截面梁的计算 50 2中性轴位置不同的截面图形 T形截面分中性轴在翼缘内和在梁肋内两种 51 3截面复核 1 判别中性轴的位置 判别方法 52 则 53 2 确定T形梁中性轴的位置 计算依据 换算截面的中性轴必定通过其换算截面的重心 计算原则 54 推导过程 55 2 求混凝土和钢筋的最大应力 换算截面法 求换算截面对中性轴的惯性矩 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 在换算截面法的基础上 应用材料力学的公式直接求解 56 求受拉钢筋重心处的拉应力 多层钢筋时 求最外层受拉钢筋重心处的拉应力 57 内力偶法 求内力偶臂长度 其中 58 求受拉钢筋重心处的拉应力 多层钢筋时 求最外层受拉钢筋重心处的拉应力 求受压区最外缘混凝土的最大压应力 59 2截面设计 1 确定截面尺寸 条件 荷载弯矩 材料容许应力 n值 选择梁的截面尺寸b h 计算钢筋的面积 并布置 要求 60 2 估计 近似取 61 3 截面复核 用实际选定的截面尺寸和钢筋面积进行复核截面应力和配筋率 并根据结果适当进行调整 62 63 11 3受弯构件抗剪强度计算 一 剪应力 主应力及主拉应力的分配 1剪应力 1 计算公式 采用换算截面 64 其中 换算截面计算点以上部分对中性轴的面积矩 换算截面对中性轴的惯性矩 计算剪力 计算点处的截面宽度 65 单筋矩形截面 2 钢筋混凝土结构剪应力分布图形 66 T形截面 67 3 求最大剪应力的简化计算 等高度梁 其中 初步设计中 单筋矩形梁 双筋矩形梁 T形梁 68 取微段dl作为隔离体 x 0 M T Zdl很小 认为Z不变 dM Z dT 推导 69 变高度梁 70 2主应力 1 受压区 采用换算截面 则受压区主应力变化规律与匀质弹性梁相同 主拉应力 主压应力 方向 71 主拉应力 负号表示受拉 主压应力 方向 2 受拉区 72 3抗剪强度的验算内容 1 受压区 最大主拉应力和最大剪应力均发生在中性轴及其以下部位 且数值相等 但混凝土抗拉强度 抗剪强度 故只需验算主拉应力 73 2 受拉区 三种应力大小相等 但混凝土抗拉强度 抗剪强度 抗压强度 故只需验算主拉应力 结论 全截面只需对主拉应力进行验算 74 4 桥规 腹筋设计原则和主拉应力的容许值 可以不配腹筋的情况 主拉应力很小时 可以由混凝土承担全部的主拉应力而不致开裂 需要配腹筋的情况 主拉应力较大 必需配置腹筋来抵抗主拉应力 在这种情况下 全部主拉应力由腹筋承担 需要加大截面尺寸或强度等级的情况 主拉应力超过一定值后 斜裂缝严重发展 不能靠增加腹筋来控制 75 梁中主拉应力容许值 有箍筋及斜筋时主拉应力的最大容许值 无箍筋及斜筋时主拉应力的最大容许值 梁部分长度内全由混凝土承受的主拉应力的容许值 76 1 梁中 处理措施 2 梁中 处理措施 由于混凝土自身能承受这一主拉应力 故无需按计算配筋 但必须按构造要求配箍筋 以避免脆性破坏 77 处理措施 处理措施 此处裂缝延伸不到 混凝土自身能承受这一主拉应力 故无需按计算配筋 但必须按构造要求配箍筋 以避免脆性破坏 3 梁中 按计算结果配腹筋 4 梁部分长度内 78 解题思路 1 计算主拉应力的大小及分布 判断是否需计算配筋2 计算总斜拉力的大小3 箍筋和斜筋设计 79 1 最大主拉应力分布 以等高度矩形截面简支梁均布荷载情况为例 最大主拉应力分布 1 截面上主拉应力 剪应力分布规律与剪力一致 2 主拉应力与剪应力沿梁长有相同的变化规律 但力的作用方向与梁轴成45 角 应分布在45 的斜方向上 控制强度的是最大主拉应力 所以只要知道截面上最大主拉应力的值 80 剪应力与主斜拉力两者横坐标间的关系式为故主拉应力图的面积为剪应力图面积的0 707倍 即 0 707 0总的斜拉力为0 707b 0 斜拉力作用线则为剪应力图的重心作垂线与中性轴的交点 再作过交点45 的斜线方向 2 总斜拉力大小及作用线 按剪应力图计算 0 已知斜拉力大小和作用线位置后 便可设计箍筋与斜筋 81 图中面积的含义 梁在某段长度上 单位宽度内梁中性轴处剪应力的合力 为单元剪力 N m 梁在某段长度上 中性轴处剪应力的合力 为剪力 N 梁在某段长度上 单位宽度内梁中性轴处主拉应力的合力 为单元斜拉力 N m 梁在某段长度上 中性轴处主拉应力的合力 为斜拉力 N m 82 3 箍筋的计算 设计思路 1 箍筋按构造要求和工程经验先确定直径 肢数 间距2 计算箍筋能承担的主拉应力 斜拉力 3 计算斜筋应承担的主拉应力4 确定斜筋数量和位置 83 在TB10002 3 2005中 要求 d 8mm 一般取8 10 12mm n 2或4 开口或闭口当b 300mm 多n 2 b 350mm n 2 一个箍筋所箍的受拉纵筋不超过5根 受压钢筋不能超过3根 当有受压钢筋时 箍筋应做成封闭式 间距100mm 拉 3 4h及300mm 100mm 压 15d 1 箍筋的作用和构造 84 箍筋的容许应力为 s 同一截面内每道箍筋为nk肢 每肢箍筋面积为ak nkak s 则一道箍筋所承担的竖向拉力nkak s 该竖向拉力在45 斜向分力为nkak s cos45 每道箍筋所辖范围Sk内主拉应力的合力为bSkcos45 k 应有 nkak s cos45 bSkcos45 k 2 求箍筋所能承担的主拉应力 85 4斜筋的设计 设计思路 先计算所需斜筋的根数 再考虑其布置 由剪应力图所示 钢筋混凝土梁内的斜拉力由三部分共同承担 箍筋 混凝土 斜筋 86 1 斜筋根数的计算 如钢筋的直径相同 则所需提供的斜筋根数为 87 2 斜筋的布置 布置原则 使各斜筋所承受的斜拉力大小相等 或与其截面积成正比 方法 作图法划分剪应力图形的面积 以四等分为例 88 当剪应力图形为三角形时 89 当剪应力图形为梯形时 90 作图法确定钢筋弯起点的位置 91 5绘弯矩包络图及材料图 绘制目的 检查弯起后剩余的纵筋是否能满足各截面抗弯强度的要求 方法 作图法 使梁的材料图和弯矩包络图按相同的比例尺重叠画在一起 若前者能覆盖住后者 则满足要求 弯矩包络图 梁各截面的最大弯矩沿梁长的变化图 材料图 梁各截面的承载能力沿梁长的变化图 92 根据 结构力学 的知识绘制 2 材料图 梁各截面的承载能力的计算 若假设Z不变 可近似取为 1 弯矩包络图 93 其中 某截面剩余主筋的截面积 某截面与 对应的内力偶臂长度 第i种直径单根主筋的截面积 第i种直径主筋的根数 材料图的绘制 方法 若主筋直径相同 可按主筋根数将材料图纵坐标分为等份 每一份代表一根主筋的承载能力 每弯起一根主筋 材料图上相应截面处就减少一格 得到阶梯形材料图 若主筋直径不同 将材料图纵坐标按单根面积成正比划分 94 95 3 弯矩包络图和材料图的比较 要求 采用相同比例尺后 材料图恰好能保住弯矩包络图 越接近越好 不符合要求的原因 材料图超出弯矩包络图太多 说明剩余主筋抗弯能力过剩 可将多余主筋切断 材料图小于弯矩包络图 原因及处理措施 96 可能由于主筋太粗 材料图变化较大 可选用较小直径多根布置 可能由于主筋弯起太多 削弱了截面的抗弯能力 此时只能按材料图弯起允许弯起的主筋 不足的斜筋补加专用抗剪钢筋 97 1 水平投影上 斜筋应搭接2 弯起时 应成对弯起 对称弯起弯起顺序 先中间后两边 先上层后下层3 避免同一位置弯起多根纵筋 以免纵筋应力过大4 不够 可采用鸭筋或斜筋与主筋焊接 6 斜筋构造要求 98 问题 连接处的竖向截面上存在水平剪应力 如hf 过小 剪应力会很大 甚至可能大于梁肋中性轴处的剪应力 而发生剪切破坏 解决办法 限制该处剪应力的大小 三T形梁翼板和梁肋连接处剪应力限值 受压区换算截面对中性轴的惯性矩 99 1 剪应力计算 取隔离体 如图 间距为dl 假定 c 沿翼板均匀分布 SA截面m m以左部分面积对中性轴的面积矩 I0换算截面对中性轴的惯性矩 三T形梁翼板和梁肋连接处剪应力限值 100 对全截面梁肋中性轴处的剪应力 最大剪应力 0 2 剪应力限值 受拉翼缘处同理有 纯剪时混凝土的容许剪应力 101 1 裂缝宽度的计算 采用粘结滑移理论有 裂缝间纵向钢筋应变布均匀系数 考虑为重复荷载 取 1 0 受荷与截面特征 四 四 裂缝和挠度验算 102 平均裂缝宽度 C K2 K2 荷载特征影响系数K2 1 M1 M 0 5M2 MM1 活载作用下的弯矩 M2 恒载作用下的弯矩 M 全部计算荷载作用下的弯矩 系数 光面钢筋取0 5 带肋钢筋取0 3 一 矩形 T形及I字形截面受弯及偏心受压构件 103 中性轴至受拉边缘的距离与中性轴至受拉钢筋重心的距离之比 对梁为1 1 板为1 2 n1 n2 n3 单根 两根 3根一束的受拉钢筋根数 1 2 3 考虑成束钢筋系数 单根钢筋 1 1 0 两根一束 2 0 85 三根一束 3 0 70 104 裂缝宽度为 裂缝宽度限值 105 二 受弯构件挠度验算 式中 与荷载形式 支承条件有关的系数 均载简支梁跨中的 5 48 E 计算挠度时的弹性模量 E 0 8Ec I0 换算截面的惯性矩 静定结构不计受拉混凝土 计入钢筋 静不定结构 包括全部混凝土截面 不计钢筋 n Es 0 8Ec 106 强度计算依据 破坏阶段的截面应力状态 试验现象 混凝土轴心受压构件只在荷载很小时截面应力分布符合弹性理论 随着荷载增大 混凝土表现明显的塑性性质 截面发生应力重分布 对短柱当采用普通钢筋时 先钢筋屈服后混凝土应力急剧增大达到抗压极限强度而被压坏 对长柱 发生稳定破坏 因此 混凝土轴心受压构件采用弹性理论计算不能反映构件实际的受力情况 11 4轴心受压构件计算 107 一 一般箍筋柱的计算 1 短柱强度计算 强度计算依据 破坏时的应力状态 Nu 换算成容许应力表达式 108 应力复核形式 109 2 细长柱稳定性计算 细长柱破坏特点 在轴向压力作用下 可能在强度破坏未发生之前 由于纵向弯曲使构件丧失稳定而破坏 承载力低于相同截面的短柱 验算 将短柱承载力乘以小于1的纵向弯曲系数 即 纵向弯曲系数 主要与构件长细比有关 见表11 4 110 二 旋筋柱的计算 间接钢筋柱 计算依据 破坏时的应力状态 极限承载力为 换算成容许应力表达式 N 1 强度计算 111 2 稳定性验算 螺旋筋只能阻止核心部分混凝土的横向膨胀 不能增加整个构件抵抗纵向弯曲的刚度 要求l0 i 28 112 三 轴压柱的构造要求 一般箍筋柱 纵筋直径不宜小于12mm纵筋间距 50mm 350mm纵筋配筋率 箍筋直径 d 4 6mm箍筋间距 15d 短边尺寸 113 螺旋筋柱 1 纵筋的截面积不应小于螺旋筋圈内核心截面积的0 5 2 核心截面积不应小于构件截面积的2 3 3 螺旋筋的螺距不应大于核心直径的1 5 也不大于80mm 4 螺旋筋换算截面不应小于纵筋的截面积 也不应超过该截面积的3倍 5 纵筋截面积与螺旋筋换算截面积之和不应小于核心截面积的1 0 114 11 5偏心受压构件计算 一 偏心受压构件的分类及判别方法 1两种偏心受压截面的应力状态 偏心受压构件按截面应力状态的不同分为小偏心受压构件和大偏心受压构件 115 截面全部受压 没有受拉区 可直接用应力叠加原理进行应力计算 中性轴在截面之外 1 小偏心受压构件 116 3 界限状态 中性轴与截面的一边重合 中性轴在截面之内 与外力作用点位置密切相关 截面部分受拉部分受压 且受拉区混凝土退出工作 截面出现拉应力 由纵筋承担 2 大偏心受压构件 117 截面核心矩k 当轴心压力作用在截面的某一特定位置时 截面相对应边缘的应力为0 此特定位置距换算截面重心轴的距离即为截面核心矩k 2两种偏心受压截面的判别 判别原则 若换算截面重心轴与轴向压力的距离为计算偏心距e 时 外力作用在截面核心之内 为小偏心受压 e k时 外力作用在截面核心之外 为大偏心受压 则 118 计算前提 1 截面核心矩的计算 计算条件 当e k1时 k2侧混凝土应力为0 当e k2时 k1侧混凝土应力为0 计算方法 采用应力叠加原理 首先确定换算截面重心轴的位置 119 120 在N作用下 在M作用下 叠加后令 则 同理 121 式中 换算截面对其重心轴的惯性矩 换算截面重心轴至应力为0边缘的距离 若为对称配筋 则 122 2 计算偏心距e的计算 偏心受压构件在临界状态会在某一曲线状态保持平衡 此时初始偏心距e0增大为e 值为 式中 e 平衡状态确立后的偏心距 e0 对混凝土截面形心轴的初始偏心距 e0 M N 偏心距增大系数 123 K 安全系数 主力 K 2 0 主力 附加力 K 1 6 构件刚度修正系数 此时 轴心压力对换算截面重心轴的计算偏心距e为 c 混凝土截面形心轴至换算截面重心轴的距离 偏心压力对换算截面重心轴的计算弯矩为 由此就可在N M组合下对偏心受压截面进行计算和设计 124 二 矩形截面小偏心受压构件的计算 1截面复核 步骤 1 判别大小偏心 求截面核心矩 求计算偏心距 判断是否 2 截面应力复核 由应力叠加原理 直接用力学公式求得 125 N 换算截面重心轴处的轴向压力 式中 M 考虑纵向弯曲影响的计算弯矩 126 A0 换算截面的面积 I0 换算截面对其重心轴的惯性矩 3 弯矩作用平面外的稳定性验算 127 2截面设计 已知条件 要求 步骤 轴向力N 初始偏心距e0 或M 材料 且可由构件长度及两端支承得出l0 确定混凝土截面尺寸及配筋 1 参照类似结构试定混凝土截面尺寸 2 试用对称配筋 取最小配筋率 128 3 根据应力复核结果适当进行修改 复核后会发生以下几种情况 算出的应力比容许应力小得多 措施 减小混凝土截面尺寸 算出的应力超出容许应力不多 措施 截面尺寸不变 适当增加配筋 算出的应力比容许应力大得多 措施 增大混凝土截面尺寸 129 正负弯矩最大