高等数学各章总结.doc

精品文档第一章 函数一、知识结构：函数集合函数关系实数集（区间）集合的运算（交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数分段函数反函数函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）二、例题：判断题1. 设,可以复合成一个函数；2. 函数的定义域是且；3. 函数在内无界；4. 函数在内无界；5. 是奇函数；6. 与是相同函数 ；7. 函数是奇函数；8. 与 是同一函数；9. 函数是奇函数；10. 函数的定义域是 ；11. 与 不是同一个函数；12. 函数是偶函数 .填空题1. 设则复合函数为= _；2. 设,则 = _ ；3. 复合函数是由 _, _, _函数复合而成的；4. 已知,则 _ ；5. ,其定义域为 _ ；6. 设函数,则= _；7. 考虑奇偶性,函数为 _ 函数 ；8. 函数的反函数是 ,它的图象与的图象关于_ 对称 .选择题1. 函数的定义域是 ( )(A) (B) (C) (D)2. 函数 在区间 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( ) (A) (B) (C) (D)4. 已知函数 ，则的值为 ( )(A) (B) (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构：极限连续极限连续极限的定义极限的性质数列极限连续的定义一点处的连续开区间上连续闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计算函数极限唯一性有界性保号性四则运算法则夹逼准则无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算连续函数的四则运算连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型二、例题：判断题1. 函数在点处有极限，则函数在点必连续；2. 时,与是等价无穷小量；3. 若，则必在点连续；4. 当时，与相比是高阶无穷小；5. 函数在内是单调的函数；6. 设在点处连续，则 ；7. 函数 在点连续；8. 是函数的间断点；9. 是一个无穷小量；10. 当时，与是等价的无穷小量；11. 若 存在，则在处有定义；12. 若与是同一过程下两个无穷大量，则在该过程下是无穷小量；13. 是一个复合函数；14. ；15. ；16. 函数 在 点连续；17. 是函数的间断点；18. 以零为极限的变量是无穷小量；填空题1. _ ； 2. = _ ；3. 函数 在 _ 处间断；4. = _； 5. 当 时， 是比 _ 阶的无穷小量；6. 当 时， 若 与 是等价无穷小量，则 _；7. _ ；8. 设 连续，则 _ ；9. _ ；10. _；11. _ ；12. 设 在 处_（是、否）连续； 13. 当时，与是_（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当时， 为 ( )(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量2. 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) (B) (C) (D) 3. 已知函数，则 和 ( )(A) 都存在 (B) 都不存在 (C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 的连续区间是 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 设 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 7. 函数 ，在 处 ( ) (A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. ( )(A) 0 (B) 不存在 (C) (D) 19. 在点 处有定义，是 在 处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件10. 下列极限存在的有 ( )(A) (B) (C) (D) 计算与应用题1. 设 在点 处连续，且 ，求 .2. 求极限 :(1) . (2) . (3). (4) . (5) . (6) . (7) .(8) . (9). (10)3. 求极限 :(1) . (2) . (3).(4) . (5) . (6) . (7) . (8) . (9) . (10) 第三章 导数与微分一、知识结构：导数微分导数微分导数的定义左导数微分的计算基本微分公式微分形式不变性微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导可微的定义可微、可导及连续的关系可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程高阶导数可导与连续的关系二、例题：判断题1. 若函数在点可导，则；2. 若在处可导，则 一定存在；3. 函数 在其定义域内可导；4. 若 在 上连续，则 在 内一定可导；5. ；6. 函数 在 点可导；7. 若 则 ；8. ；9. 若 在 点不可导，则 在 不连续；10. 函数 在点 处不可导 .填空题1. ，则 _ ；2. 曲线 在点 处的切线方程是 _ ；3. 设 ，则 = _ ；4. ，_ ；5. 设 ，则 = _ ；6. 设 ，则 = _ ；7. 曲线 在点 的处的切线方程是_；8. 若 与 在 处可导，则 = _ ；9. = _；10. 设 在 处可导，且 ，则 用A的代数式表示为_ ；11. 导数的几何意义为 _ ；12. 曲线 在 处的切线方程是 _ ；13. 曲线 在 处的切线方程是 _ ；14. 函数 的微分 _ ；15. 曲线 在点 处切线方程是_ ；16. 的近似值是 _ ；17. ( 是正整数)的 阶导数是 _ .选择题1. 设在点处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 存在 (B) 不存在(C) 存在 (D) 不存在 2. 设在点处可导且，则等于 ( )(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 23. 设 ，则在点= 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义4. 设 可导，则 = ( )(A) (B) (C) (D) 5. 设 ，且 存在，则 ( )(A) (B) (C) (D) 6. 函数 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 7. 函数 的导数为 ( )(A) (B) (C) (D)8. 函数 在 处连续，是 在 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9. 已知 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 10. 函数 在 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导11. 函数 ，在 处 ( ) (A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续12. 设 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 13. 函数 ，在点 不连续是因为 ( )(A) (B) (C) 不存在 (D) 不存在14. 设 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 15. 已知函数 ，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 16. 设 ，则 在 处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 计算与应用题1. 设 f(x) = (), 求 2. 设 确定 是 的函数，求 3. 设 ，求 4. 设 ，求 5. 设 确定 是 的函数，求 6. 设 ，求 7. y , 求 及 8. ，求 及 9. ，求 ，并求其在点处的切线与法线方程.10. ，求 及 11. ，求 及 12. ，求 ，并求其在点处的切线与法线方程.13. 已知 ，求 14. 设 ， 求 15. 求 的微分16. 设 ，求 17. 设 ，求 18. 方程 确定 是 的函数，求 19. 设 ，求 20. 方程 确定 是 的函数，求 21. ，求 22. ，求 23. 已知 ，求 24. 设 ，求 25. 已知 ，求 26. 求 的微分第四章 函数一、知识结构：中值定理及应用中值定理罗尔定理中值定理的应用洛必达法则函数的单调性极值曲线的凹向拐点拉格朗日定理柯西定理最大值与应用问题渐近线，函数作图边际与弹性分析二、例题：判断题1. 曲线在是下凹的，在是上凹的；2. 是在 上的极小值点；3. 曲线在点没有切线；4. 函数可导，极值点必为驻点； 5. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；6. 是曲线的拐点；7若，则是的极大值；8.函数在上满足拉格朗日定理； 9.若是函数的极值点，则 ；10. 函数在上的极大值一定大于极小值；11. 当很小时，；12. ；13. 曲线 的拐点是 ；14. 函数 在 点处取得极大值，则 或不存在；15. 是可导函数在点处取得极值的充要条件；16. 曲线 没有拐点；17. 设，其中函数在处可导，则 ；18. 因为 在区间内连续，所以在内 必有最大值；填空题1. （ 为正整数）= _ ；2. 设 在点 处取得极小值，则 = _ ；3. 设 在 是上凹的，则 = _ ；4. 若函数 在区间 内恒有 ，则曲线 在 内的凹向是_；5. 若 ，则曲线 的拐点横坐标是 _ ；6. 函数在上满足罗尔中值定理的 _ ；7. 函数在上满足拉格朗日中值定理的 _ ；选择题1. 函数 在区间 上满足罗尔定理的 ( )(A) 0 (B) (C) (D) 2. 函数 在点 处取得极大值，则必有（ ）(A) (B) (C) 且 (D) 或不存在计算与应用题1. 求极限：(1); (2) ; (3) ; (4).2. 设某产品价格与销量的关系为（为销量），求：(1) 销量为 30 时的总收益；(2) 销量为 30时的平均收益；(3) 销量为 30时的边际收益；3、设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是(1) 求边际利润函数；(2) 当产量分别200公斤，250 公斤和 300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 4. 某商品的成本函数 为 ，求：(1) 时的总成本，平均成本及边际成本；(2) 产量 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。(3) 求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少?5.给定函数，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。证明题1.证明当时，2证明当时，；3. 证明当时，第五章 不定积分一、知识结构：二、例题：判断题1. ；2. ；3. 若 可导，则 ；4. 是 的一个原函数；5. 若 则 ；6. 设且,则 ；7. ；填空题1. _ ；2. 设 是 的一个原函数，则 = _；3. _ ；4. _ ；5. 函数 _ 的原函数是 ；6. 若 ，则 _ ；7. = ；选择题1. 若 ，则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 设 ，则 ( )(A) 为常数 (B) 为常数(C) (D)