小学奥数第29讲--实践与实际操作(含解题思路)

29 实践与实际操作 实践与实际操作 最短路线最短路线 例 1 一只蚂蚁要从 A 处出发 经粘合在一块木板上的正方体 如图 5 74 的表面爬到 B 处 请你在图上画出最短的路线 看得见的画实线 看不见的画虚线 有几 条就画几条 1990 年 新苗杯 小学数学竞赛试题 讲析 可将正方体的几个面 按正视位置的前面 上面展开 前面 右面 展开 左面 后面展开 左边 上面展开 其展开图都是由两个正方形面组成 的长方形 如图 5 75 所示 根据两点之间直线段最短的原理 故最短路线为每个长方形对角线 它们 共有四条 如图 5 76 所示 例 2 请你在图 5 77 3 4 5 上画出三种与图 2 不一样的设 计图 使它们折起来后 都成为图 1 所示的长方形盒子 粗线和各棱交于棱 的中点 第四届 从小爱数学 邀请赛试题 讲析 解题的关键 是要分清实线 与虚线 然后思考它们是按什么方式展开的 不难想象 其答案如图 3 4 5 所示 切分图形切分图形 例 1 请将图 5 78 分成面积相等 形状相同 且每一块中都含有 数学竞赛 字样的四块图形 新苗杯 小学数学竞赛试题 讲析 从条件看 所分成的每一块图中 必须有四个小正方形 且只有五 种 如图 5 79 根据图中汉字的具体位置 可发现图 5 79 中图 1 图 2 明显不合 图 3 图 4 也不能分成 于是只剩下图 5 进一步搜索 便可得到答案 答案如图 5 80 所示 例 2 在一张正方形纸上画两个三角形 最多可以把这个正方形分成 块 画三个三角形 最多可以把这个正方形分成 块 画四个 三角形 最多可以把这个正方形分成 块 1990 年无锡市小学数学竞赛试题 讲析 可先找出规律 在正方形纸上 画一个三角形 依次画三条边时 增加了 1 1 1 块 最多可把它分成 4 块 画二个三角形 依次画三条边时 增加了 3 3 3 块 共 13 块 画三个三角形 依次画三条边时 增加了 5 5 5 块 共 28 块 如图 5 81 所示 由此推得 画四个三角形 可增加 7 7 7 块 最多 共 49 块 拼合图形拼合图形 例 1 图 5 82 是由图 5 83 中的六块图形拼合而成的 其中图 放在中间一列 的某一格 请在图 5 82 中找出这六个图形 并画出来 1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛试题 讲析 可先确定图 的位置 因为图 在中间的一列的某一格 当图 放 在 A B C 处时 经试验 与其它五图不能拼成图 5 82 当图 放在 D 处时 这六幅图可以拼成图 5 82 拼法如图 5 84 所示 例 2 7 块正方体积木堆在桌上 从东 南 西 北四个方向看去 所看到的一面都只有 5 个正方形 而且 看到的图案是一样的 如图 5 85 那么从上面看下去 看到的图形可能是 什么 样的 请在图 5 86 中正确的图形下面打 错误的图形下面打 从小爱数学 邀请赛第五届试题 讲析 上面的七幅图都是俯视图 在看每幅图是否正确时 关键是想象出 将另两块积木 放在这五块中哪两块的上面 然后分别从东西南北四个方向去 看 得出的图形是否与图 5 85 相吻合 经试验 得出的答案如图 5 86 所示 即按从左往右 从上至下的位置 依 次为 省工省时问题省工省时问题 例 1 某车队有 4 辆汽车 担负 A B C D E F 六个分厂的运输任 N O T 5 U5 s5 w 图 5 97 所标出的数是各分厂所需装卸工人数 若各分厂自派装卸 工 则共需 33 人 若让一部分人跟车装卸 在需要装卸工人数较多的分厂 再配备一个或几个装卸工 那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数 又 使装卸工人数最少 1990 年 小学生报 小学数学竞赛试题 讲析 可从需要工人数最少的 E 分厂着手 假定每辆车上配备 3 人 则 需在 D C B A F 五处分别派 1 5 2 3 4 人 共需 27 人 Z3 d m7 Q6 s H 若每车配备 4 人 则需在 C B A F 四处分别派 4 1 2 3 人 共 需 26 人 u t t S4 n d Y1 d 若每车配备 5 人 则需在 C A F 三处分别派 3 1 2 人 共需 26 人 所以 上面的第二 三种方案均可 人数为 26 人 d y1 x o O6 J 由图可知 完成任务所需的最短时间 是 85 分钟 0 h2 Q h0 D4 A g1 I A 例 3 若干箱同样的货物总重 19 5 吨 只知每箱重量不超过 353 千克 今有载重量为 1 5 吨的汽车 至少需要 辆 才能保证把这些货物一次 全部运走 箱子不能拆开 x m p p 北京市第七届 迎春杯 小学数学竞赛试题 讲析 关键是要理解 至少几辆车 才能保证一次运走 的含义 也就是 说 在最大浪费车位的情况下 最少要几辆车 这堆货物箱数至少有 2 v b 6 B s A e 19500 353 55 2 56 箱 l 0 8 b z8 V7 一辆汽车每次最多能装的箱数 1500 353 4 2 4 箱 一次全部运走所有货物 至少需要汽车 56 4 14 辆 8 u 3 l b q Z4 o 例 4 如图 5 99 一条公路 粗线 两侧有 7 个工厂 01 02 07 通过小路 细线 分别与公路相连于 A B C D E F 点 现在要设置一个车站 使各工厂 沿小路和公路走 的距离总和越小越好 这个车站应设在一 点 1992 年福州市小学数学竞赛试题 7 E6 x u C E a 6 x 讲析 从各工厂到车站 总是先走小路 小路的总长不变 所以问题可 转化为 在一条公路上的 A B C D E F 处各有一个工厂 D 处有两 个工厂 要在公路上设一个站 使各厂到车站的距离总和最小 如图 5 100 D d m 显然 车站应设在尽量靠七个厂的中间部位 如果车站设在 D 处 则各厂到 D 总长是 6 K5 j7 X P4 W e DA DF DB DE DC AF BE DC 如果车站设在 C 处 则各厂到 C 总长是 CA CF BC CE 2 DC AF BE 2 DC 9 k 6 h1 z4 k f2 G k 比较上面两个式子得 当车站设在 D 处时 七厂到车站的距离总和最小 8 S E2 z0 2 P0 o P 费用最少问题 例 1 在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库 如图 5 101 共有五个 仓库 一号仓库存有 10 吨货物 二号仓库存有 20 吨货物 五号仓库存有 40 吨货物 其余两个仓库是空的 现在想把所有的货物集中存放在一个仓 库里 如果每吨货物运输 1 千米需要 0 5 元的运费 那么最少要花多少运费 才行 I 5 S x8 H a e p8 B 全国第一届 华杯赛 复赛试题 讲析 这类问题思考时 要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小 处 理的方法是 小往大处靠 K m9 G2 R6 E 因为第五个仓库有 40 吨 比第一 二仓库货物的总和还多 所以 尽 量把第五个仓库的货不动或者动得最近 当存放站设在第四仓库时 一 二 五仓库货物运输的吨千米数为 10 300 20 200 40 100 11000 当存放站设在第五仓库时 一 二仓库货物运输的吨千米数为 10 400 20 300 10000 所以 存放点应设在第五号仓库 运费最少 运费是 0 5 10000 5000 元 例 2 有十个村 坐落在从县城出发的一条公路上 如图 5 102 单位 千米 要安装水管 从县城送自来水到各村 可用粗细两种水管 粗管足 够供应所有各村用水 细管只能供一个村用水 粗管每千米要用