高考第一轮复习——函数的单调性(文)

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 年年 级级高三学学 科科数学版版 本本人教版 文 内容标题内容标题函数的单调性 编稿老师编稿老师孙力 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数的单调性 1 概念 设函数的定义域为 I xf 1 增函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 当 21 x x 时 都有 那么称函数在这个区间上是增函数 21 xx 21 xfxf xf 2 减函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 当 21 x x 时 都有 则称在这个区间上是减函数 21 xx 21 xfxf xf 3 单调区间 如果函数在某个区间是增函数或减函数 则称函数 xfy 在这一区间上具有 严格的 单调性 该区间叫做的单调区间 xfy xfy 注 注 中学单调性是指严格单调的 即不能是或 21 xfxf 21 xfxf 单调性刻画的是函数的 局部 性质 如在与上是减函数 x y 1 0 0 不能说在上是减函数 x y 1 0 0 单调性反映函数值的变化趋势 反映图象的上升或下降 2 单调性的判定方法 定义法 复合函数单调性结论 函数单调性性质 导数 图象 1 定义法 例 1 证明函数在 R 上是增函数1 3 1 xxf 证 证 设 则 21 xx 3 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 21 3 1 2 3 1 121 xxxx xx xxxfxf 而分子 分母0 21 xx0 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 xxxxxxx 故 得证0 21 xfxf 补 讨论函数的单调性 2 2 xx axf 10 a 解 解 设时 对任 设1 aRx 0 2 2 xx a1 21 xx 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 而 2 11 2 22 22 1 2 xxxx a xf xf 2 22 1212 2 11 2 22 xxxxxxxx 0 即故在单增 同理在单减 12 xfxf 1 1 当时 同理在 单减 在 1 单增10 a1 例 2 讨论的单调性 x x xf 1 解 解 设 则 21 xx 1 1 11 21 12 1 1 2 2 12 xx xx x x x x xfxf 2121 2112 1 xxxx xxxx 1 当时 10 21 xx10 21 xx0 12 xfxf 2 当时 21 1xx 21 1xx 0 12 xfxf 故在上是减函数 在上是增函数 xf 1 0 1 例 3 试求函数 的单调区间 x p xxf p0 分析 分析 考虑到以下分类讨 21 21 12 1 1 2 212 xx pxx xx x p x x p xxfxf 论 1 当时p0 若 则 增pxx 21 0 12 xfxf xf 若 则 减0 21 xxp0 12 xfxf xf 若 则 减pxx 21 00 12 xfxf xf 若 则 增 21 xxp 0 12 xfxf xf 2 当时0 p 若 则增0 21 xx0 12 xfxf 若 则增 21 0 xx 0 12 xfxf 综上所述 时 在或上是减函数0 p xf 0 p 0 p 在或上是增函数 xf p p 时 在或上是增函数0 p xf 0 0 函数 x p xy 范围p 0 p0 p 定义域 0 0 值域 2 2 pp 渐近线及xy 0 x 奇偶性奇函数 单调性在及分 p p 在上递增 在 0 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 别单调递增 在及上分别 0 p 0 p 单调递减 上递增 0 另法 利用导数 2 1 x p xf 1 2 2 px x 1 若则0 p 1 2 pxpx x xf 2 若 则下证0 p0 x f 高考分式函数试题类型与解法研究 例 4 讨论分式函数的单调性 x b axxf 0 ab 以下只研究与两种情形对于与可利0 0 ba0 0 ba0 0 ba0 0 ba 用对称性得到 解 解 当时 由0 0 ba 2 2 22 x a b x a b x a a b x x a x b axf 利用导数可知在与上为单增函数 xf a b a b 在与为单减函数 xf 0 a b 0 a b 当时 由知0 0 ba0 2 x b axf 在与上为增函数 图象如下 xf 0 0 第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 例 5 甲 乙两地相距千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过千米 小时 已知sc 汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 千米 时 的平方成正比 且比例系数为 固定部分为元vba 1 把全程运输成本 元 表示为速度 千米 小时 的函数 并指出这个函数yv 的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解 解 1 依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为 v s 2 v a bvs v s bvay 0 cv 2 依题意都为正数 故有vbas absbv v a s2 当且仅当即时 上式中等号成立bv v a b a v 若 则当时全程运输成本最小c b a b a v y 若 函数在上是减函数c b a bv v a sy 0 c 那么当且仅当时 全程运输成本最小cv y 综上所述可知 为使全程运输成本最小 当时c b ab 行驶速度应为 当时 行驶速度应为 b ab v c b ab cv 例 6 在中 现将分别以ABC ACBcABbACaBC ABC BC AC AB 所在直线为轴 旋转一周 设所得三个旋转体的体积依次为 321 VVV 1 求 用 表示 21 3 VV V T cba 2 若为定值 并令 将 T 表示为的函数 写出这函数的定义域 并 x c ba x 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 求这函数的最大值u 3 当在内变化时 求的最大值 3 u 解 解 1 设的 BC AC AB 边上的高分别为 由 ABC 321 hhh sin 1 bh 得 sin 2 ah c ab c ah h sin 1 3 222 11 sin 33 1 abahV 222 22 sin 33 1 babhV 2 22 2 33 sin 33 1 c ba chV 于是得 21 3 cba ab VV V T 2 令 则由得x c ba cos2 222 abbac cos1 2 cos1 2 22222 abxccabbac 代入 得 2 cos4 1 cos1 2 1 2 2222 cxcx ab 1 2 cos4 1 2 cos4 1 2 cos4 1 222 22 2 22 x x xc cx cba cx T 当为定值时 cos1 2 2 222 ba bac 即 2 sin 222 bac 又 于是 22 0 2 csc 2 sin 1 2 c ba x 当且仅当时 取等号 ba 又由 知 所以函数的定义域为0 cba1 c ba xT 2 csc 1 因为在上递增 所以当 即时 1 2 cos4 1 2x xxT 2 csc 1 2 csc xba T 取最大值 此时 2 csc 4 1 2 sin 2 sin 1 2 cos4 1 2 u 第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 3 由于 是减函数 从而当时 取最大值为 3 2 sin4 1 u 3 u 2 1 注 注 分式函数变通形式 函数的单调性 0 2 a ax x y 将函数式变形为 ax a ax ax aax y 2222 a2 令 则axt a t a ty2 2 由单调性 在即上单减 0 at 0 ax 在即上单增 at 0 x 在即上单减 0 at 2 aax 在即上单增 at 2 ax 2 复合函数的单调性 在复合函数中 设和都是单调函数 xgfy ufy xgu 若为增函数 则的增减性与相同 ufy xgfy xgu 若为减函数 则的增减性与相反 ufy xgfy xgu 区间 单调性 函数 ABCD xgu ufy xufy 利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤 1 先确定复合函数的定义域 xgfy 2 在定义域内分别研究及的单调性 分拆 xgu ufy 3 列表 得结论 例 7 讨论函数的单调性 2 1 1 2 x xf 解 解 由知定义域 1 1 2 2 1 x xf 1 1 1 1 令 1 1 2 x u u y 2 1 以下先研究 的单调性 1 1 2 x u 令 t u 1 1 2 xt 第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 1 10 0 1 1 1 2 xt t u 1 1 1 2 x u 而在 R 上为减函数 故利用复合函数单调性结论知在及 u y 2 1 xf 1 上是减函数 在 0 1 及 1 上是增函数 0 1 补 已知在 0 1 是减函数 则的取值范围是 B 2 logaxy a a A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 解 解 依题意 又故1 a a xax 2 02 21 2 a a 也可由 从而 0 x x a 2 2 2 min x 1 0 x2 a 例 8 讨论的单调性 x x y 1 1 lg 解 解 由定义域 令 0 1 1 x x 1 1 x x u 1 1 uylg 而 1 1 1 1 x x x x u 1 2 1 1 21 xx x 当时是减函数 故 1 1 x 1 2 1 x u 1 1 x x u 1 1 uylg x x y 1 1 lg 故在其定义域 上是减函数 x x y 1 1 lg1 1 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 例 9 讨论的单调性 26 log 2 2 1 xxxf 解 解 由定义域 0 23 12 026 2 xxxx 3 2 2 1 令 以下先考虑的单调性26 2 xxuuy 2 1 log 26 2 xxu 由结合定义域知它在单减 在上单增 24 49 12 1 6 2 xu 2 1 3 2 2 1 3 2 26 2 xxu uy 2 1 log xfy 故 在上是增函数 26 log 2 2 1 xxxf 2 1 在上是减函数 3 2 例 10 已知 求的单调区间 2 28 22 xfxgxxxf xg 解 解 依题意定义域为 R 令 2 2xu 2 28 uuuf 则 xufxg 由知其在上单增 在上单减 2 2xu 0 0 而知 在单增 在单减9 1 28 22 uuuuf uf 1 1 又由或 1121 2 xxu1 x11121 2 xxu 所以单减区间和单增区间与 0 1 xg 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 2xu 2 28 uuuf xufxg 3 利用单调性性质 结论 1 两增函数的和在公共定义域上仍为增函数 例 11 讨论函数的单调性xxxf 1 2 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 解 解 定义域Rx 若 与均为减函数0 x1 2 1 xyxy 2 故也是减函数xxyyxf 1 2 21 若时x0 由与都是增函数 xx xf 1 1 2 1 2 1 xyxy 2 且 是减函数0 21 yy 21 1 yy xf 综上 在 R 上是减函数 此结论用到以下事实 xf 又如讨论的单调性 Rba ax bx y 解 解 ax ab ax abax y 1 利用反比例函数的单调性可知当时 在与上是减ba ax bx y a a 函数 当时 在与上是增函数ba ax bx y a a 结论 2 若函数在区间上是减函数 在区间上是减函数 则 xfy ba cb 必是区间 上的减函数 xfca 证 证 任取且 21 caxx 21 xx 若 则 若 21 baxx 21 xfxf 21 cbxx 21 xfxf 若 则 1 bax 2 cbx 1 bfxf 2 xfbf 从而 21 xfxf 综上 对且 总有得证 21 caxx 21 xx 21 xfxf 上例利用定义法 对于 21 xx 1 1 2 2 21 2 121 xxxxxfxf 0 11 1 12 2 2 2 1 21 12 xx xx xx xx 结论 3 设是单调函数 则其反函数也是单调函数 且 xfy 1 xfy 与其反函数有相同的单调性 xfy 1 xfy 证 证 不妨设是增函数 设 用反证法 xf 21 xx 2 1 21 1 1 xfyxfy 如果 则因是增函数 故 21 yy xfy 21 yfyf 即这与矛盾 故 因此单增 21 xx 21 xx 21 yy 1 xfy 例子 对数函数与指数函数对底的不同情形具有相同的单调性 a 4 利用函数的图象 例 12 讨论函数的单调性543 2 xxxf 第 10 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 解 解 即 0 543 0 543 2 2 xxx xxx xf 0 3 19 3 2 3 0 3 19 3 2 3 2 2 xx xx xf 利用图象 5 利用导数 函数在区间上连续 在内可导 且在内 xfy ba ba ba 如果 那么函数在区间上单调增加0 x f xfy ba 如果 那么函数在区间上单调减少0 x f xfy ba 由此得到确定单调区间的方法 确定函数的定义域 xf ba 求导数 x f 令解此方程 求出在区间内的全部实根 并按从小到大的顺序排0 x f ba 列为 n ccc 21 确定区间内导数符号 211 bcccca n 在某区间内 若 那么函数在这个区间内递增 若那么0 x f xf0 x f 函数在这区间内递减 xf 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 函数的单调减区间为 yxx 23 2 A B 0 0 C D 3 4 3 4 2 设 a b c d 都是函数 f x 的单调增区间 且 x1 a b x2 c d x1 x2 则 f x1 与 f x2 的大小关系是 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D 不能确定 3 下列函数中 在上为减函数的是 0 A B yx 1 2 yxx 2 2 C D y x 1 1 y x x 1 第 11 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 4 函数 y 的单调递减区间是 x 1 A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 5 设是上的减函数 则 f x A B f afa 2f af a 2 C D f aaf a 2 f af a 2 1 6 设函数 f x 2a 1 x b 是 R 上的减函数 则有 A a B a 2 1 2 1 C a D a 2 1 2 1 7 若函数是定义在 R 上的增函数 若时 则下列各式成立的是 f x ab 0 A B f af bfafb f af bfafb C D f afaf bfb f afaf bfb 8 如果是 R 上的减函数 在上是增函数 则函数uf y yg x aaa 0 的单调性是 uf g x A 在上是增函数 在上是减函数 a 0 0 a B 在上是减函数 在上是增函数 a 0 0 a C 在上是增函数 aa D 在上是减函数 aa 9 已知 则与 f xxxg xf xh xfx 822 222 g x h x A 函数值域相同 增减性不同 B 为相同的函数 C 函数值域不同 增减性相同 D 函数值域 增减性都不同 二 填空题 10 已知函数 f x 4x2 mx 1 在 2 上递减 在 2 上递增 则 f 1 11 二次函数的单调区间 当时 增区间是 减区yaxbxc 2 a 0 间为 12 f x 是定义在 0 上的递减函数 且 f x 0 在区间 0 上是减函数 x a a 18 设是上的增函数 a 和 b 是实