Lagrange插值法.ppt

在生产和实验中 函数f x 无表达式 只知道f x 在一些给定点的函数值 或其导数值 或者其表达式复杂不便于计算 此时我们希望建立一个简单而又便于计算的函数 x 使其近似的代替f x 第四章插值与拟合 插值法 插值法是利用函数f x 在一组节点x0 x1 xny0 y1 yn 构造一个插值函数 x 来逼近已知函数f x 并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同 即 x0 y0 x1 y1 xn yn 求近似函数 x 的方法一般分为两类 一类是插值 另一类是拟合 引例及问题综述 插值法 插值法是利用函数在一组节点上的值 构造一个插值函数 x 来逼近已知函数f x 并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同 曲线拟合方法 不要求近似函数 x 所表示的函数严格通过已知数据点 xi yi 而是通过观察这些点的分布规律 选择某种能描述这一近似规律的函数 x 来逼近函数f x 然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好 其中最常见的原则就是最小二乘原理 但在实际应用中 节点上的函数值通常不是精确值 而是由实验或测量得到的数据 不可避免的带有误差 如果用插值法 会保留这些误差 影响精度 为了尽量减少这种测量误差 人们又提出了另外一种构造近似函数的方法 曲线拟合方法 原始数据的散点图 分段线性插值 二次分段拟合曲线 已知数据点 xi yi 艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 艾滋病的医学全名为 获得性免疫缺损综合症 英文简称AIDS 它是由艾滋病毒 医学全名为 人体免疫缺损病毒 英文简称HIV 引起的 这种病毒破坏人的免疫系统 使人体丧失抵抗各种疾病的能力 从而严重危害人的生命 人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用 当CD4被HIV感染而裂解时 其数量会急剧减少 HIV将迅速增加 导致AIDS发作 艾滋病治疗的目的 是尽量减少人体内HIV的数量 同时产生更多的CD4 至少要有效地降低CD4减少的速度 以提高人体免疫能力 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法 目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用 而且成本也很高 许多国家和医疗组织都在积极试验 寻找更好的AIDS疗法 附件1 同时服用3种药物 zidovudine 齐多夫定 lamivudine 拉米夫定 indinavir 茚地那韦 的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度 第1列是病人编号 第2列是测试CD4的时刻 周 第3列是测得的CD4 乘以0 2个 ml 第4列是测试HIV的时刻 周 第5列是测得的HIV 单位不详 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据 略 PtIDCD4DateCD4CountRNADateVLoad23424017805 523424422843 923424812684 7234242517125423424409940501405 3 附件2 1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度 第1列是病人编号 第2列是4种疗法的代码 1 600mgzidovudine 齐多夫定 与400mgdidanosine 去羟肌苷 按月轮换使用 2 600mgzidovudine加2 25mgzalcitabine 双脱氧胞苷 3 600mgzidovudine加400mgdidanosine 4 600mgzidovudine加400mgdidanosine加400mgnevirapine 奈韦拉平 第3列是病人年龄 第4列是测试CD4的时刻 周 第5列是测得的CD4 取值log CD4 1 ID疗法年龄时间Log CD4count 1 1236 427103 13551236 42717 57143 04451236 427115 57142 77261236 427123 57142 83321236 427132 57143 2189 请你完成以下问题 1 利用附件1的数据 预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 继续治疗指在测试终止后继续服药 如果认为继续服药效果不好 则可选择提前终止治疗 2 利用附件2的数据 评价4种疗法的优劣 仅以CD4为标准 并对较优的疗法预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 3 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下 600mgzidovudine1 60美元 400mgdidanosine0 85美元 2 25mgzalcitabine1 85美元 400mgnevirapine1 20美元 如果病人需要考虑4种疗法的费用 对 2 中的评价和预测 或者提前终止 有什么改变 生长阻滞模型 缺少数据 缺少数据是用样条插值函数求出来的 高等教育学费问题探讨 数据散点图O拟合曲线图 其中部分数据是用样条插值函数求出来的 样条插值 插值法是函数逼近的重要方法之一 有着广泛的应用 基本思想 就是利用函数f x 在一些给定点的函数值 或其导数值 建立一个简单而又便于计算的函数 x 使其近似的代替f x 插值法有很多种 其中以拉格朗日 Lagrange 插值和牛顿 Newton 插值为代表的多项式插值最有特点 常用的插值还有Hermit插值 分段插值和样条插值 插值法 插值法设函数y f x 在区间 a b 上有定义 且已知f x 在 a b 上n 1个互异点x0 x1 xn处的值y0 y1 yn 若存在一个近似函数 x 满足 x0 y0 x1 y1 xn yn 则称 x 为f x 的插值函数 f x 称为被插值函数 x0 x1 xn称为插值节点 式称为插值条件 而误差函数R x f x x 称为插值余项 基本概念 满足同一插值条件的插值函数 x 有许多类型 如 多项式函数类型 三角函数类型 指数函数类型等 常用的插值函数是多项式 我们称其为代数插值 或多项式插值 x 作为函数y f x 的近似表达式 近似函数 满足 y f x x 我们把构造满足插值条件的近似函数 x 称为插值问题 我们这章只讨论代数插值 插值多项式Pn x 是否存在 如何求解 插值误差和余项如何估计 最简单的插值函数是代数多项式Pn x a0 a1x anxn 1 这时插值问题变为 求一个n次多项式Pn x 使其满足插值条件 pn xi yi i 0 1 2 n 2 pn x0 y0 pn x1 y1 pn xn yn 而ai i 0 1 2 n 的系数行列式是Vandermonde行列式 由于xi互异 所以 4 右端不为零 从而方程组 3 的解a0 a1 an存在且唯一 解出ai i 0 1 2 n Pn x 就可构造出来了 但遗憾的是方程组 3 是病态方程组 当阶数n越高时 病态越重 为此我们从另一途径来寻求获得Pn x 的方法 Lagrange插值和Newton插值 Lagrange插值 1Lagrange插值多项式 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 且已知在点a x0 x1 xn b上的函数值为y0 y1 y2 yn 求一个次数不超过n的多项式Ln x a0 a1x anxn 1 使得Ln xi yi i 0 1 2 n 2 成立 称 1 式为满足插值条件 2 的拉格朗日插值多项式 由两点式 可求L1 x 的表达式 整理得 另一种推导方式 令L1 x l0 x y0 l1 x y1 一 拉格朗日插值多项式的构造 线性插值多项式 1 线性插值 先从最简单的线性插值 n 1 开始 即有 a x0 b x1 这时插值问题就是求一次多项式L1 x c dx 使其满足条件 L1 x0 y0 L1 x1 y1 即l0 x 含有因子x x1 l1 x 含有因子 x x0 l0 x l1 x 称为以x0 x1为节点的线性插值基函数 这样得到一次插值多项式 令L1 x l0 x y0 l1 x y1 l0 x0 1 l1 x0 0 l0 x1 0 l1 x1 1 令l0 x 0 x x1 l1 x 1 x x0 利用l0 x0 1和l1 x1 1确定其中的系数 0 1得 线性插值多项式 0 1 x0 x1 故有 由L1 x0 y0 L1 x1 y1得 1 1 x1 x0 令L2 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 线性插值仅仅用两个节点上的信息 精确度较差 为了提高精确度 我们进一步考察以下三点的插值问题 求二次多项式L2 x a0 a1x a2x2 使其满足条件 L2 x0 y0 L2 x1 y1 L2 x2 y2 类似的可以得出l1 x l2 x 这样l0 x 含有x x1 x x2两个因子 令l0 x 0 x x1 x x2 利用l0 x0 1确定其中的系数 0 得 2 抛物线插值 l0 x0 1 l1 x0 0 l2 x0 0 l0 x1 0 l1 x1 1 l2 x1 0 l0 x2 0 l1 x2 0 l2 x2 1 于是 x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 L2 x y0 y1 y2 4 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 l0 x l1 x l2 x 称为以x0 x1 x2为节点的抛物线插值基函数 3 n次多项式插值 仿照线性插值和二次插值的办法 进一步讨论一般形式的n次多项式Ln x a0 a1x a2x2 anxn 使其满足Ln x0 y0 Ln x1 y1 Ln xn yn 5 我们仍从构造插值基函数着手 先对某个固定的下标j 作n次多项式lj x 使其满足条件可求得 二次插值多项式 公式 就是Lagrange插值多项式 lj x 称为以x0 x1 xn为节点的Lagrange插值基函数 将lj x 代入 例1求过点 2 0 4 3 6 5 8 4 10 1 的拉格朗日型插值多项式 解 用5个节点作4次插值多项式 例1求过点 2 0 4 3 6 5 8 4 10 1 的拉格朗日型插值多项式 解 用5个节点作4次插值多项式 L4 x y0l0 x y1l1 x y2l2 x y3l3 x y4l4 x 例2 已给sin0 32 0 314567 sin0 34 0 333487 sin0 36 0 352274 用线性插值及抛物插值计算sin0 3367的值 y1 y0sin0 3367 L1 0 3367 y0 0 3367 x0 x1 x00 01892 0 314567 0 0167 0 330365 0 02 用线性插值计算 取x0 0 32及x1 0 34 解 由题意取 得 由线性插值公式 用抛物插值计算sin0 3367时 因为 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样 这说明查表时用二次插值精度已相当高了 插值多项式的存在性 其截断误差是多少 所以 定理1假设x0 x1 xn是n 1个互异节点 函数f x 在这组节点的值f xj j 0 1 n 是给定的 那么存在唯一的次数不超过n的多项式Pn x 满足Pn xj f xj j 0 1 n 二 插值多项式的存在性和唯一性 证明 由插值函数的构造知n次多项式Pn x 的存在性 由代数基本定理可证明它的唯一性 函数f x 的n次插值多项式Ln x 只是在节点处有 Ln xj f xj j 0 1 n 若x xj 一般Ln x f x 令Rn x f x Ln x 称Rn x 为插值多项式的余项 三 Lagrange插值的插值余项 截断误差 定理2 设Ln x 是过点x0 x1 x2 xn的n次插值多项式 f x 在 a b 上有n阶连续导数 在 a b 内存在n 1阶导数 其中 a b 是包含点x0 x1 x2 xn的任一区间 则对任意给定的x a b 总存在一点 a b 依赖于x 使其中 证明 Rn x f x Ln x 当x xi时 显然有 Rn xi f xi Ln xi 0 n 1 xi 0 i 0 1 n 结论成立 当x xi时 Rn xi 0 n 1 xi 0 i 0 1 n 可设Rn x K x n 1 x 需证 K x f n 1 n 1 现在 a b 上任意固定一点x 引进辅助函数g t f t Ln t K x n 1 t 则g t 在 a b 上具有n阶连续导数 在 a b 内存在n 1阶导数 当t x x0 x1 xn时 g t 0 即g t 在 a b 内有n 2个零点 由Rolle定理知g t 在 a b 内有n 1个零点 如此反复 最后可推知g n 1 t 在 a b 内有1个零点 即有g n 1 0 a b 这样 由 式便有 现在 a b 上任意固定一点x 引进辅助函数g t f t Ln t K x n 1 t 有g n 1 0 a b 这样 由 式便有 因为 n 1 t 是n 1次多项式 n 1 n 1 t n 1 又因为Ln t 是次数为n的多项式 因此Ln n 1 t 0 由此得 K x f n 1 n 1 代入Rn x K x n 1 x 定理得证 需证 K x f n 1 n 1 上式称为带余项的Lagrange插值公式 当f x 具有n 1阶导数 才有余项表达式成立 且余项为 由此得 那么插值多项式Ln x 逼近f x 的截断误差是 注 1 余项表达式只有在f x 的n 1阶导数存在时才能应用 2 在 a b 内的具体位置通常不可能给出 如果我们可以求出 例2 已给sin0 32 0 314567 sin0 34 0 333487 sin0 36 0 352274 用线性插值及抛物插值计算sin0 3367的值并估计截断误差 解 用线性插值计算 取x0 0 32及x1 0 34 又由公式得y1 y0sin0 3367 L1 0 3367 y0 0 3367 x0 x1 x00 01892 0 314567 0 0167 0 330365 0 02 其截断误差得 其中 其截断误差得 R1 0 3367 sin0 3367 L1 0 3367 1 2 0 3335 0 3367 0 32 0 3367 0 34 1 2 0 3335 0 0167 0 0033 0 92 10 5 用线性插值计算 取x0 0 32及x1 0 34 其中 可取 因f x sinx f x sinx 于是 sin0 3367 若取x1 0 34 x2 0 36为节点 则线性插值为 其截断误差为 其中 于是 注 从计算可看出 插值误差与节点xi和点x之间的距离有关 节点距离x越近 一般插值误差小 当x位于插值区间 a b 以外 称为外插 一般会引起较大误差 应避免外插 R1 0 3367 sin0 3367 L1 0 3367 1 2 0 3335 0 0167 0 0033 0 92 10 5 误差值比较 取x0 0 32及x1 0 34 取x1 0 34 x2 0 36为节点 其截断误差为 用抛物插值计算sin0 3367时 因为 所以 其中 其截断误差为 其中 于是 显然 抛物插值比线性插值误差小的多 线性插值误差 R1 0 3367 0 92 10 5 练习 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据 高度 m 0100300100015002000 压强 kgf m2 0 96890 93220 89690 85150 79840 7485试用二次插值法求1200米处的压强值 作业 P1071 2 解 设x为高度 y为大气压强的值 选取 1000 0 8515 1500 0 7984 2000 0 7485 三点构造二次插值多项式 x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 L2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 代入已知的数值 得L2 1200 0 8515 1200 1500 1200 2000 1000 1500 1000 2000 0 7984 1200 1000 1200 2000 0 7485 1200 1000 1200 1500 2000 1000 2000 1500 300 800 0 8515 500 1000 200 800 0 7984 500 500 200 300 0 7485 500 1000 0 82980所以y 1200 L2 1200 0 82980 kgf m2 T T x xk xj xk k 0 1 2 j 1 j 1 n j 0 1 2 n T 1 j 1 内层循环 ifk j 用for循环语句 对k 程序设计 对每一个T T x xk xj xk k 0 1 2 j 1 j 1 n j 0 1 2 n 外层循环 L T y0 j L 最后输出L 用for循环语句 L 0 y0 j yj 开始 输入xi yii 0 1 2 n L 0 j 0 T 1 T T x xk xj xk k 0 1 2 j 1 j 1 n L L T yj j n j j 1 输出L 结束 N Y 编程思想 返回首页 functiony lagrange x0 y0 x n length x0 m length x fori 1 mz x i L 0 0 forj 1 nT 1 0 fork 1 nifk jT T z x0 k x0 j x0 k endendL T y0 j L endy i L end MatLab实现 x0为全部插值节点 向量 y0为插值节点处的函数值 向量 x为被估计函数自变量 可为向量 y为被估计函数x处的值 可为向量 输出被估计函数在x i 处的值 x0 0 4 0 1 0 8 y0 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 lagrange x0 y0 0 54 在MatLab命令窗口输入 例给出f x lnx的数值表 用Lagrange插值计算ln 0 54 的近似值 输出结果 0 616143 精确解 0 616186 0 6161 x0 0 4 0 1 0 8 y0 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 lagrange x0 y0 0 54 0 65 ans 0 6161 0 4308 lagrange x0 y0 0 54 0 65 0 78 ans 0 6161 0 4308 0 2484 实验4 1 观察龙格 Runge 现象实验 实验目的 观察拉格朗日插值的龙格 Runge 现象 实验内容 1 给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序 2 对于函数进行拉格朗日插值 取不同的节点数 在区间 5 5 上取等距间隔的节点为插值点 把f x 和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较 a可以取任意值 具体步骤 1 a 1时 i 取n 4 作出f x 和插值多项式的曲线图 ii 取n 10 作出f x 和插值多项式的曲线图 2 a 0 5时 i 取n 4