数学建模差分方程混沌现象的起源ppt课件.ppt

市场经济中的蛛网模型混沌 差分形式的阻滞增长模型 差分方程模型 市场经济中的蛛网模型 问题 供大于求 现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 蛛网模型 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 设x1偏离x0 x1 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 曲线斜率 蛛网模型 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型 方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 考察 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 结果解释 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1 使 尽量小 如 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 如 0 靠经济实力控制数量不变 结果解释 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定 即k xk x0的条件 方程通解 c1 c2由初始条件确定 1 2 特征根 即方程的根 平衡点稳定 即k xk x0的条件 平衡点稳定条件 比原来的条件放宽了 模型的推广 分岔与混沌 内容目录 哲学与研究分形几何的产生混沌现象的出现 哲学与研究 哲学是人类认识世界的最高层次的思考 寻找世界的本原问题 人类在世界中的位置 即人类作为认识的主体在研究中的重要性 了解哲学是从总体上 大局上把握世界 把握研究的方向 不至于走入死胡同 付里叶变换 Fourier是法国大革命时期的数学家 他在频谱分析领域做有卓越的贡献 在当时 拿破仑时代 科学界流行一种哲学 世界是有 基元 组成的 任何一种物质只是基元的加权的代数和 基元是什么 运动是物质的一种存在形态 也应该具有一种相同的特性 即运动应由基元组成 付里叶变换 续 Fourier通过研究 振动弦 的运动得出一个规律 即振动弦的运动可以分解为多个 正弦 信号的和 又通过对很多现象的研究 Fourier得出一个结论 任何一个信号可以分解为多个 简谐周期函数 的加权和 而sin x cos x 是最简单的 简谐周期函数 付里叶变换 续 由此 付里叶得出如下的结论 任意时间周期信号 基元 权值 常量 付里叶变换 续 从当时的角度 哲学观点 来看 是任何一个信号可以表示为 正弦 信号的加权和 符合哲学观点 推导正确 当Fourier将论文提交给法国研究院 由Lagrange等三名数学家组成的委员会没有允许该论文的发表 原因是该数学推导不严格 Lagrange提出对于处处不可导的信号 函数 该理论不成立 结论 在世界是由基元组成这一哲学思想下 产生了一系列的十分有效的技术 可见哲学对研究的意义 相反 如果没有一种哲学思想 我们的研究如何归纳总结出一种一般的规律 总结出的规律正确与否 马恩格思 数学分析八讲 两个重要的现象 研究对象 欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体 一维空间 线段 有长度 没有宽度 二维空间 平行四边形 有周长 面积 三维空间 球 表面积 体积 自然界中很多的物体具有特征长度 诸如 人有高度 山有海拔高度等 研究对象 有一类问题却比较特别 Mandelbrot就提出了这样一个问题 英国的海岸线有多长 英国的海岸线地图 研究对象 续 当你用一把固定长度的直尺 没有刻度 来测量时 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线 只能用直线来近似 因此 测得的长度是不精确的 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处 就会发现 这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的 随着你不停地缩短你的尺子 你发现的细小曲线就越多 你测得的曲线长度也就越大 如果尺子小到无限 测得的长度也是无限 研究对象 续 得到的结论是 海岸线的长度是多少 决定与尺子的长短 海岸线的长度是无限的 而显然海岸线的面积为零 而我们确实看到了海岸线的存在 而且海岸线应该是有界的 海岸线什么有界 长度 面积 体积显然无界 Koch曲线 Koch曲线 续 Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼 同样的道理 长度无限 面积为零 而曲线还有 界 另外 有一个特点 当取其中的一部分展开 与整体有完全的自相似性 似乎是一个什么东西的无数次的自我复制 自然界中的其他事物 取下一片蕨类植物叶子似乎与整体有某种相似性 England的海岸线从视觉上也感觉有某种自相似性 分形几何学的产生 混沌的思想 混沌 由一定的非線性作用導致 在確定性系統中出現極其複雜 貌似無規的運動 混沌的产生 Lorenz動力方程式dx dt x y dy dt xz x ydz dt xy bzx y z 速度 溫度 溫度梯度 b 確定的控制參數運動軌跡確定性 繞A B兩點 進入混沌 一维逻辑斯蒂映射 映射 mapping 也叫迭代 iteration xn 1 2xn 若x1 3 则x2 6 x3 12 从控制系统的角度看 这也叫反馈 feedback 把输出当作输入 不断滚动 很容易想到 反馈的结果有若干种 发散的 收敛的 周期的等等 但是我们要问一下 一共有多少种可能的运动类型 是否存在既不收敛也不发散 也不周期循环的迭代过程 这就是有界非周期运动 它与混沌有关 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 Logistic模型 t x N x N是稳定平衡点 与r大小无关 离散形式 x t 某种群t时刻的数量 人口 yk 某种群第k代的数量 人口 若yk N 则yk 1 yk 2 N 讨论平衡点的稳定性 即k yk N y N是平衡点 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 一阶 非线性 差分方程 1 的平衡点y N 讨论x 的稳定性 变量代换 1 的平衡点x 代数方程x f x 的根 稳定性判断 1 的近似线性方程 x 也是 2 的平衡点 x 是 2 和 1 的稳定平衡点 x 是 2 和 1 的不稳定平衡点 补充知识 的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性 另一平衡点为x 0 不稳定 的平衡点及其稳定性 初值x0 0 2 数值计算结果 b 3 x b 3 3 x 两个极限点 b 3 45 x 4个极限点 b 3 55 x 8个极限点 倍周期收敛 x 不稳定情况的进一步讨论 2倍周期收敛 的平衡点 x 不稳定 研究x1 x2 的稳定性 倍周期收敛 的稳定性 倍周期收敛的进一步讨论 出现4个收敛子序列x4k x4k 1 x4k 2 x4k 3 平衡点及其稳定性需研究 时有4个稳定平衡点 2n倍周期收敛 n 1 2 bn 2n倍周期收敛的上界 b0 3 b1 3 449 b2 3 544 n bn 3 57 b 3 57 不存在