运筹学中的设备更新问题

数学方法在管理研究中 的应用 运筹学中的设备更新问题 键入作者姓名键入作者姓名 2 运筹学中的设备更新问题 摘 要 在日益激烈的市场竞争中 企业生产设备的更新问题不仅在短期内直接影 响到企业的综合竞争能力 而且对企业的长远发展有着深远的影响 本文从运筹学的 角度出发 就设备更新问题建立运筹学模型并运用动态规划的方法对其求解 关键词 设备更新问题 运筹学 动态规划 引言引言 一种设备 例如汽车 机床等 在使用过程中总会变旧 以至于损坏 通常 或者对旧设备进行维修 或者卖掉旧设备再买新的 更新 在给定的年 限 n 年内 使用该设备进行生产 设备应使用多少年后再进行更新 以使得 n 年内总的纯收入最大 这就是设备更新问题 一般来说 一种设备使用时间过 长 由于收入减少 维修费用增大 所以从经济上看并不合算 但是 使用时 间过短 频繁更换设备也是不合算的 这类问题存在一个最佳的更新周期 这 类设备更新问题因为在计划期每年都要作出决策 以决定是否更新设备 所以 是多阶段决策问题 可以用动态规划方法求解 1 1设备更新问题涉及的变量设备更新问题涉及的变量 在讨论设备的最佳更新周期问题时 一般要考虑下面几个因素 1 在第 k 年机龄为 t 的一台设备运转一年带来的收入额 显然 trk 是 t 的递减函数 这是因为设备随着使用时间的增加 即机龄的增长 而 trk 变旧 因而收入减少 2 在第 k 年机龄为 t 的一台设备所需的维修费 是 t 的递增函 tok tok 数 这是因为随着使用年限的增加 设备变旧 维修费用也逐渐增加 3 在第 k 年卖掉旧设备购买新设备所需款项 是 t 的递增函数 tck tck 因为随着设备的老化 旧设备越不值钱 卖旧买新所需的款项越大 2 2设备更新问题的运筹学模型设备更新问题的运筹学模型 若不考虑资金时间价值 求 n 期内使总回收额最大的设备更新方案 建立动态规划模型 设阶段变量为计算期数 n 即 k 1 2 n 设状态变量为设备的机龄 t 设决策变量为保留设备继续使用 K KEEP 的缩写 还是更新设备 R REPLACEMENT 的缩写 两种决策 设阶段效益为阶段回收额 当决策为保留设备继续使用 K 时 回收 k u 额为 当决策为更新设备 R 时 回收额为 tutr 0 0 urpts o 其中 分别为机龄为 0 新设备 的阶段使用收益和使用费用 0 r 0 u 3 设指标函数为阶段效益求和 设最优值函数为第 k 阶段对机龄为 t 的设备执行最优策略时的总 tfk 回收额 基本方程为 1 0 0 1 max 1 1 ko k k furptsR tftutrK tf 当时保留设备继续 1 0 0 1 11 kok furptsftutr 使用 K 否则更新设备 R 该基本方程是一个多阶段逆序递推函数 下面通过实际问题对设备更 新问题的运筹学模型及其求解过程进行直观的解释 1 3 3设备更新问题模型的求解设备更新问题模型的求解 已知一种设备在五年计划开始时 机龄为 1 在未来五年内的收入 运行费 trk 更新费用 如下表所示 试制定五年中的设备更新策略 使五年内的总收 tok tck 入达到最大 2 产品年代 k 1 第一年 k t 1 第二年 k t 2 第三年 k t 3 第四年 第五年 期前 k t0 机龄 01234012301201012345 trk2221201816272524222926243028321816161414 tok6688105689556454889910 tck2729323437293134363132333233343234363638 解 以年为阶段 k 1 2 3 4 5 取 k 年初设备的机龄为状态变量 记决策变 量 则 记 为第 k 年到第 5 年底的最大总收入 则动态规划基本方程是 1 2 3 4 50 f 1 0 0 max 66 1 11 kx fxcorR xfxoxrK xf kkkkk kkkkkk kk R 0 K 1 uk 简记为更新 简记为继续使用 k x 0 1 1 1 x 1k kk kkk xu xux fk k x 4 5 4 3 2 15 5 xk 1 1 23 5 23 max 1 1 0 0 2 1 1 max 1 5 6555 655 5 u R K fcorR forK f 1 5 4 10 4 max 1 5 0 0 6 5 5 max 5 1 4 6 9 6 max 1 4 0 0 5 4 4 max 4 1 3 13 8 13 max 1 3 0 0 1 3 3 max 3 1 2 18 5 18 max 1 2 0 0 1 2 2 max 2 5 6555 655 5 5 6555 655 5 5 6555 655 5 5 6555 655 5 u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f 0 4 13 13 9 max 1 4 0 0 5 4 4 max 4 1 3 16 15 16 max 1 3 0 0 4 3 3 max 3 1 2 29 15 29 max 1 2 0 0 3 2 2 max 2 1 1 39 17 39 max 1 1 0 0 2 1 1 max 1 4 3 2 1 x4k 4 5444 544 4 4 5444 544 4 4 5444 544 4 4 5444 544 4 4 u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f 0 3 27 27 20 max 1 3 0 0 4 3 3 max 3 0 2 31 31 28 max 1 1 0 0 3 2 2 max 2 1 1 48 32 48 max 1 1 0 0 2 1 1 max 1 3 2 13 3 4333 433 3 3 4333 433 3 3 4333 433 3 3 u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f xk 0 2 36 36 35 max 1 2 0 0 3 2 2 max 2 1 1 46 41 46 max 1 1 0 0 2 1 1 max 1 2 12 2 3222 322 2 2 3222 322 2 2 u R K fcorR forK f u R K fcorR forK f xk 1 1 46 30 46 max 1 1 0 0 2 1 1 max 1 11 1 2111 211