2020届高三上学期期中考试数学试题（pdf版—后附答案）

1 数学试题数学试题 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 52 分 一 单项选择题一 单项选择题 本题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知集合 ln 2 Axx 2 Bx yx 则 BACR A 2 0 e B 2 0 e C 2 2 e D 2 2 设i是虚数单位 复数 i ia 1 为纯虚数 则实数a的值为 A 1 B 1 C 2 1 D 2 3 能够把椭圆 C 1 84 22 yx 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 xf称为椭圆 C 的 亲和函数 下列函数是椭圆 C 的 亲和函数 的是 A 23 xxxf B x x xf 5 5 ln C xxxfcossin D xx eexf 4 设 m n是不同的直线 是不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 mnmn 则 B 若 mnmn 则 C 若 mnmn 则 D 若 mnmn 则 5 函数 2 ln 8 x f xx 的图象大致是 6 已知点P是ABC 的内心 三个内角平分线交点 外心 三条边的中垂线交点 重心 三条中 线交点 垂心 三个高的交点 之一 且满足 22 2AP BCACAB 则点P是ABC 的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 7 双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 焦点到渐近线的距离为3 则 C 的焦距等于 A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 2 8 根据历年气象统计资料 某地四月份吹东风的概率为 7 30 既吹东风又下雨的概率为 1 10 则 在吹东风的条件下下雨的概率为 A 3 11 B 3 7 C 7 11 D 1 10 9 已知抛物线 2 4yx 的焦点为F P为抛物线上一点 1 1 A 当PAF 周长最小时 直线PF的斜率为 A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 10 已知函数 2 0 2 23 0 x e x f xx xxx 当0a 时 方程 2 20fxf xa 有 4 个 不相等的实数根 则a的取值范围是 A 158a B 2 15 4 e ae C 15a D 2 15 4 e ae 二 多二 多项项选选择择题题 本题共 3 小题 每小题 4 分 共 12 分 在每小题给出的四个选项中 有多个 选项是符合题目要求的 全部选对的得 4 分 选对但不全的得 2 分 有选错的得 0 分 11 已知函数 2 2sin cos2sinf xxxx 给出下列四个选项 正确的有 A 函数 f x的最小正周期是 B 函数 f x在区间 88 上是减函数 C 函数 f x的图象关于点 0 8 对称 D 函数 f x的图象可由函数2sin2yx 的图象向右平移 8 个单位 再向下平移 1 个 单位得到 12 已知 ab 0 O 为坐标原点 点 P a b 是圆 x2 y2 r2外一点 过点 P 作直线 l OP 直线 m 的方程是 ax by r2 则下列结论正确的是 A m l B m l C m 与圆相离 D m 与圆相交 13 将四个不同的小球放入三个分别标有 1 2 3 号的盒子中 不允许有空盒子的放法有多少 种 下列结论正确的有 A 1111 3213 C C C C B 23 43 C A C 122 342 C C A D 18 第 卷 非选择题 共 98 分 三 填空题三 填空题 本题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 14 已知二项式 6 1 ax x 的展开式中的常数项为 160 则a 15 随机变量 服从正态分布 2 N 若241 0 2 P 则 2 P 3 16 已知 CS A B是球O表面上的点 SA 平面ABC ABBC 1 2SAABBC 则球O的表面积等于 17 已知向量 1 abab 向量c满足 0 ca2cb 则 c的最小值为 最大值为 四 解答题 本题共 6 小题 共 82 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 12 分 在ABC 中 内角A B C的对边分别为a b c 且cossinaBbAc 1 求角A的大小 2 若2a ABC 的面积为 21 2 求bc 的值 19 14 分 在 Rt ABC 中 ABC 90 tan ACB 1 2 已知 E F 分别是 BC AC 的中点 将 CEF 沿 EF 折起 使 C 到 C 的位置且二面角 C EF B 的大小是 60 连接 C B C A 如 图 1 求证 平面 C FA 平面 ABC 2 求平面 AFC 与平面 BEC 所成二面角的大小 20 14 分 红铃虫是棉花的主要害虫之一 能对农作物造成严重伤害 每只红铃虫的平均产卵数 y 和 平均温度 x 有关 现收集了以往某地的 7 组数据 得到下面的散点图及一些统计量的值 x y z 1 n i ii zzxx n i i xx 1 2 27 429 81 286 3 612 40 182 147 714 表中 7 1 1 ln 7 ii i zy zz 1 根据散点图判断 bxay 与 d x yce 其中 e 2 718 为自然对数的底数 哪一个更适 宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 并由 判断结果及表中数据 求出y关于x的回归方程 计算结果精确到小数点后第三位 平均温度 x 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y 个 7 11 21 24 66 115 325 4 2 根据以往统计 该地每年平均温度达到 28 以上时红铃虫会造成严重伤害 需要人工防治 其他情况均不需要人工防治 记该地每年平均温度达到 28 以上的概率为 01 pp 记该地今后 5 年中 恰好需要 3 次人工防治的概率为 pf 求 pf的最大值 并求出相 应的概率 0 p 当 pf取最大值时 记该地今后 5 年中 需要人工防治的次数为X 求X的数学期望和 方差 附 对于一组数据 112277 x zx zx z 其回归直线 z abx 的斜率和截距的最小二 乘法估计分别为 7 1 7 2 1 ii i i i xx zz bazbx xx 21 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且 2 8a 1 1 2 n n a Sn 1 求数列 n a的通项公式 2 设数列 1 2 3n nn a a 的前n项和为 n T 220 n n STn 对任意 n N的恒成立 求实数 的最大值 22 14 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶点为A 上顶点为B 已知椭圆的离心率为 3 5 13 AB 1 求椭圆的标准方程 2 设直线 0 kkxyl与椭圆交于NM 两点 且点M在第二象限 l与AB延长线交 于点P 若BNP 的面积是BMN 面积的 3 倍 求k的值 23 14 分 已知函数1 2 bxaxexf x 其中Rba e 2 71828 为自然对数的 底数 设 xg是 xf的导函数 1 若1 a时 函数 xg在0 x处的切线经过点 1 1 求b的值 2 求函数 xg在区间 0 1 上的单调区间 3 若0 1 f 函数 xf在区间 0 1 内有零点 求a的取值范围 1 数学试题参考答案数学试题参考答案 一 单项选择题 CABCD BCBAA 二 多项选择题 11 AB 12 AD 13 BC 三 填空题 14 a 2 15 0 259 16 4 17 73 4 73 4 四 解答题 18 解 1 由已知及正弦定理得 sincossinsinsinABBAC 2 分 sinsin sincoscossinCABABAB sinincossinBsAAB sin0sincosBAA 5 分 0 4 AA 6 分 2 1221 sin22 242 ABC SbcAbcbc 9 分 又 2222 2cos2 22 abcbcAbcbc 所以 2 4 2bcbc 12 分 19 1 解法一 F 是 AC 的中点 AF C F 设 AC 的中点为 G 连接 FG 设 BC 的中点为 H 连接 GH EH 易证 C E EF BE EF BEC 即为二面角 C EF B 的平面角 2 分 BEC 60 而 E 为 BC 的中点 易知 BE EC BEC 为等边三角形 EH BC EF C E EF BE C E BE E EF 平面 BEC 而 EF AB AB 平面 BEC AB EH 即 EH AB 4 分 由 BC AB B EH 平面 ABC G H 分别为 AC BC 的中点 GH 1 2AB FE 四边形 EHGF 为平行四边形 FG EH FG 平面 ABC 又 FG 平面 AFC 平面 AFC 平面 ABC 6 分 解法二 如图 建立空间直角坐标系 设 AB 2 2 则 A 0 0 2 B 0 0 0 F 0 2 1 E 0 2 0 C 3 1 0 设平面 ABC 的法向量为 a x1 y1 z1 BA 0 0 2 BC 3 1 0 z1 0 3x1 y1 0 令 x 1 1 则 a 1 3 0 3 分 设平面 AFC 的法向量为 b x2 y2 z2 AF 0 2 1 AC 3 1 2 2y2 z2 0 3x2 y2 2z2 0 令 x 2 3 则 b 3 1 2 a b 0 平面 AFC 平面 ABC 6 分 2 如图 建立空间直角坐标系 设 AB 2 则 A 0 0 2 B 0 0 0 F 0 2 1 E 0 2 0 C 3 1 0 显然平面 BEC 的法向量 m 0 0 1 8 分 设平面 AFC 的法向量为 n x y z AC 3 1 2 AF 0 2 1 2y z 0 3x y 2z 0 n 3 1 2 10 分 cos m n m n m n 2 2 12 分 由图形观察可知 平面 AFC 与平面 BEC 所成的二面角的平面角为锐角 平面 AFC 与平面 BEC 所成二面角大小为 45 14 分 20 解 1 根据散点图可以判断 d x yce 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程 类型 1 分 对 d x yce 两边取自然对数得lnlnycdx 令zln y lnac b d 得z abx 因为 7 1 7 2 1 40 182 0 2720 147 714 ii i i i xx zz b xx 4 分 所以 3 6120 272 27 4293 849azbx 所以z关于x的线性回归方程为 0 2723 849zx 5 分 所以y关于x的回归方程为 0 2723 849 x ye 6 分 2 由 332 5 1 f pC pp 得 32 5 1 3 5 fpC ppp 因为01p 令 0fp 得3 50p 解得 3 0 5 p 3 令 0fp 得3 50p 解得 3 1 5 p 所以 f p在 3 0 5 上单调递增 在 3 1 5 上单调递减 所以 f p有唯一极大值 3 5 f 也为最大值 所以当 3 5 p 时 max 216 625 f p 此时相应的概率 0 3 5 p 9 分 由 知 当 f p取最大值时 3 5 p 所以 3 5 5 XB 10 分 所以 3 53 5 E X 326 5 555 D X 14 分 21 解 1 2 8a 1 1 2 n n a Sn 2 11 22 2 a aS 1 分 当2n 时 1nnn aSS 1 1 22 nn aa nn 即 1 32 nn aa 3 分 又 12 832aa 1 32 nn aan N 4 分 1 13 1 nn aa 数列 1 n a 是等比数列 且首项为 1 13a 公比为3 1 13 33 nn n a 31 n n a 6 分 2 由 1 得 1 1 31 11 22 n n n a Snn 7 分 1 1 2 32 3 31 31 nn nn nn a a 1 11 3131 nn n T 223 1111 3 1313131 1 11 3131 nn 1 11 231 n 9 分 1 1 15 2230 312 n n n n STn 1 1 15 3 312 n n 10 分 设 1 1 15 3 312 n n M n 则 21 21 11 1 33 3131 nn nn M nM n 21 12 11 33 3131 nn nn 1 1 12 2 3 2 30 31 31 n n nn M n是递增数列 12 分 2 2 1551 1 3 3128 M 4 的最大值是 51 8 14 分 22 解 1 设椭圆的焦距为c2 由已知得 13 3 5 22 ba a c 2 3 ba 所以 椭圆的方程为1 49 22 yx 3 分 2 设点M 11 yx P 00 yx 由题意 0 10 xx且 11 yxN 由BNP 的面积是BMN 面积的 3 倍 可得 3 MNPN 5 分 所以 MNPN3 从而 3 11110101 yyxxyyxx 所以 3 1101 xxxx 即 10 5xx 6 分 易知直线AB的方程为632 yx 由 kxy yx632 消去y 可得 23 6 0 k x 7 分 由方程组 kxy yx 1 49 22 消去y 可得 49 6 2 1 k x 9 分 由 10 5xx 可得 23 6 k49 30 2 k 10 分 整理得082518 2 kk 解得 9 8 k 或 2 1 k 12 分 当 9 8 k时 09 0 x 符合题意 当 2 1 k时 012 0 x 不符合题意 舍去 所以k的值为 9 8 14 分 23 解 1 1 a时 bxexg x 2 2 1 0 x exgbg 切线斜率1 0 gk 切点坐标 1 0 b 切线方程xby 1 切线经过点 1 1 1 1 1 b 1 b 3 分 2 baxexg x 2 aexg x 2 aexg x 2 在 0 1 单调递增 21 2 1 aa e xg 02 1 a e 即 e a 2 1 时 0 x g 所以 xg单调递增区间为 0 1 4 分 当021 a 即 2 1 a时 0 x g 所以 xg单调递减区间为 0 1 5 分 5 当 2 1 2 1 a e 时 令0 x g 得 0 1 2ln ax 令0 x g 得 2ln 1ax 令0 x g 得0 2ln xa 函数 xg单调递减区间为 2ln 1 a 单调递增区间为 0 2 ln a 综上 可得 当 e a 2 1 时 xg单调递增区间为 0 1 当 2 1 2 1 a e 时 xg单调递减区间为 2ln 1 a 单调递增区间为 0 2 ln a 当 2 1 a时 xg单调递减区间为 0 1 7 分 3 由 0 1 f得 e ab 1 1 1 1 2 e aa