2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(文)

1 绝密 启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学数学 网 参考公式 参考公式 样本数据 12 n x xx 的方差 22 11 11 nn ii ii sxxxx nn 其中 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案分 请把答案 填写在答题卡相应的位置上填写在答题卡相应的位置上 1 若复数 12 429 69zi zi 其中i是虚数单位 则复数 12 zz i 的实部为 2 已知向量a和向量b的夹角为30 2 3 ab 则向量a和向量b的数量积 a ba b 3 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 4 函数sin yAxA 为常数 0 0 A 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 5 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它 们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 6 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生 进行投篮练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答 在其他位置作答一律无效 作答必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔 请注意字体工整 笔迹清楚 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 6 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 1 1 2 3 3 Ox y 2 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班67787 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 7 右图是一个算法的流程图 最后输出的W 8 在平面上 若两个正三角形的连长的比为 1 2 则它们的面积比 为 1 4 类似地 在宣传部 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 9 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处 的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 10 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数 m n满足 f mf n 则 m n的大小关系为 11 已知集合 2 log2Axx Ba 若AB 则 实数a的取值范围是 c 其中c 12 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 13 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 14 设 n a是公比为q的等比数列 1q 令 1 1 2 nn ban 若数列 n b有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在分 请在 x y A1 B2 A2O T M 开始 0S 1T 2 STS 10S 2TT WST 输出W 结束 Y N 3 答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明或演算步骤答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明或演算步骤 15 本小题满分 14 分 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若a与2 bc垂直 求tan 的值 2 求 bc的最大值 3 若tantan16 求证 a b 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分别是 11 AB AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF ABC乙乙 2 111 AFDBBCC 乙乙乙乙 17 本小题满分 14 分 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaa S 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列中的 n a 项 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂 的直线 12 ll乙 它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求所有满足 条件的点 P 的坐标 19 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 x y O1 1 A B C A1 B1 C1 E F D 4 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易 a na 的综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与卖 出 B 的综合满意度为h乙 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 1 求h乙和h乙关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h乙 h乙 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最 大的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 20 本小题满分 16 分 设a为实数 函数 2 2 f xxxaxa 1 若 0 1f 求a的取值范围 2 求 f x的最小值 3 设函数 h xf x xa 直接写出 不需给出演算步骤 不等式 1h x 的解集 5 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 1 20 2 3 3 1 11 4 3 5 5 1 6 5 2 7 22 8 1 8 9 2 15 10 m0 1 3 1 t ty t tx 答案 063 2 yx D 选修 4 5 不等式选讲 设 求证 0 ba 2233 2323abbaba 答案 23 2 3 23 23 22222233 babaabbbaaabbaba 因为 所以 从而 0 ba0 ba023 22 ba0 23 22 baba 9 即 2233 2323abbaba 22 本题满分 10 分 答案 1 2 xy2 2 0 2 1 yx 2 由 1 可得焦点 F 的坐标为 又直线 OA 的斜率为 1 故与直线 OA 垂直的 0 2 1 直线的斜率为 1 因此 所求直线的方程为 0 2 1 yx 3 设 由点 M m 0 及 ME 2DE 得 2 2 22 t t Es s D 2 2 2 22 s mm t 因此 t 2s 所以 0 20st 2 sm 0 4 2 3 2 2 2 222 2 2 mmmss s smf 23 本题满分 10 分 答案 i 当时 有 又 b 故总有 此时 a 2 nan 22 an n 2 1 2 ab 有种取法 b 有 n2种取法 所以共有组有序数组1 2 nn 22 1 nnn a b 满足条件 ii 当时 满足的 b 有 a2个 故共有11 na 2 1ab 组有序数组 a b 满足条