1.2.1任意角的三角函数教学设计

1 2 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 教 材人教 A 版必修四章 节第一章 课 题1 2 1 任意角的三角函数课 型 小组合作 习题课 授课时间 第一 课时 学生情况 隆化存瑞中学是普通高级中学 从学生中考成绩看 虽不及 市里高中 但整体水平还可以 平行班学生虽然学习积极性不高 可智力水平不低 基础中等 学习习惯稍差 我讲授的班级就是 两个理科平行班 概念教学他们理解起来有点吃力 但基本公式 均可记清 基本会用 我们通过引导思维的方式 配合习题训练 期望学生可以将此部分内容学会 这节课就是这样 通过问题导 向 小组讨论 解决所设计问题 希望学生积极起来 增强合作 意识 培养探究意识 真正培育数学意识和数学应用能力 学生已经掌握的内容及学生学习能力 1 学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义 掌握了 锐角三角函数的一些常见的知识和求法 2 学生的运算能力较差 3 部分同学对数学的学习有一定的兴趣和积极性 4 在探究问题的能力 合作交流的意识等方面发展不够均衡 必须 在老师一定的指导下才能进行 教材分析 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型 有非常广 泛的应用 三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及 刚学过的 角的概念的推广 的基础上讨论和研究的 三角函数 的定义是本章最基本的概念 对三角内容的整体学习至关重要 是其他所有知识的出发点 紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源 泉 可以自然地导出本章的具体内容 三角函数线 定义域 符 号判断 值域 同角三角函数关系 多组诱导公式 多组变换公 式 图象和性质 三角函数的定义在教材中起着承前启后 的作用 一方面 通过这部分内容的学习 可以帮助学生更加深 入理解函数这一基本概念 另一方面它又为平面向量 解析几何 等内容的学习作必要的准备 三角函数知识还是物理学 高等数 学 测量学 天文学的重要基础 三角函数定义必然是学好全章内容的关键 如果学生掌握不 好 将直接影响到后续内容的学习 由三角函数定义的基础性和 应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身 教学目标 根据上述教材结构与内容分析 考虑到学生已有的认知结构 心理特征 我制定如下教学目标 1 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义 理解 三角函数是以实数为自变量的函数 并从任意角的三角函数定义 认识正弦 余弦 正切函数的定义域 理解并掌握正弦 余弦 正切函数在各象限内的符号 2 通过对任意角的三角函数定义的理解 掌握终边相同角的 同一三角函数值相等 3 正确利用与单位圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值表示出来 即用正弦线 余弦线 正切线表示 出来 4 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单 问题 通过学习 渗透数形结合和类比的数学思想 培养学生良好 的思维习惯 教法学法 本节课采用 启发探索 讲练结合 的方法组织教学教法 在课堂结构上 设计了四步学法 1 推广认知 形成概念 2 巩固新知 探求规律 3 总结反思 提高认识 4 任务后延 自主探究 它们环环相扣 层层深入 从而顺利 完成教学目标 教学重点 任意角的正弦 余 弦 正切的定义 终边 相同的角的同一三角函 数值相等 教学难点 用角的终边上的点的坐 标来刻画三角函数 三角函 数符号 利用与单位圆有关 的有向线段 将任意角 的 正弦 余弦 正切函数值用 几何形式表示 教学方法 教学资源 小组合作和实物投影 学案 教 学 过 程 设 计设计意图 一 复习引入 回想再认 情景 1 我们在初中通过直角三角形的边角关系 学习了锐角的正弦 余 弦 正切等三个三角函数 请回想 这三个三角函数分别是怎样规定的 图 1 学生口述后再投影展示 教师再根据投影进行强调 sin cos tan 对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边 二 引申铺垫 创设情景 情景 2 我们已经把锐角推广到了任意角 锐角的三角函数概念也能推广 到任意角吗 试试看 可以独立思考和探索 也可以互相讨论 留时间让学生独立思考或自由讨论 教师参与讨论或巡回对个别学生作 启发引导 能推广吗 怎样推广 针对刚才的问题点名让学生回答 用角的对边 邻边 斜边比值的说法显然是受到阻碍了 由于 1 1 节已经以直角坐标系为工 具来研究任意角了 学生一般会想到 否则教师进行提示 继续用直角坐标系来 研究任意角的三角函数 师生共做 学生口述 教师板书图形和比值 把锐角 安装 如何安装 角的顶点与原点重合 角的始边与 x 轴非负半 轴重合 在直角坐标系中 在角 终边上任取一点 P 作 PM x 轴于 M 构造 一个 Rt OMP 则 MOP 锐角 设 P x y x 0 y 0 的邻边 OM x 对边 MP y 斜边长 OP r 图 2 根据锐角三角函数定义用 x y r 列出锐角 的正弦 余弦 正切三个比 值 并补充对应列出三个倒数的比值 学生在初中学习了锐角学生在初中学习了锐角 的三角函数概念 现在学习的三角函数概念 现在学习 任意角的三角函数 又是一任意角的三角函数 又是一 种推广和拓展的过程种推广和拓展的过程 类似类似 于从有理数到实数的扩展于从有理数到实数的扩展 温故知新 要让学生体会 温故知新 要让学生体会 知识的产生 发展过程 就知识的产生 发展过程 就 要从源头上开始 从学生现要从源头上开始 从学生现 有认知状况开始 对锐角三有认知状况开始 对锐角三 角函数的复习就必不可少 角函数的复习就必不可少 从学生现有知识水平和从学生现有知识水平和 认知能力出发 创设问题情认知能力出发 创设问题情 景 让学生产生认知冲突 景 让学生产生认知冲突 进行必要的启发 将学生思进行必要的启发 将学生思 维引上自主探索 合作交流维引上自主探索 合作交流 的的 再创造再创造 征程 征程 教师对学生回答情况进教师对学生回答情况进 行点评后布置任务情景 请行点评后布置任务情景 请 同学们用直角坐标系重新研同学们用直角坐标系重新研 究锐角三角函数定义 究锐角三角函数定义 sin cos tan 斜边 对边 r y 斜边 邻边 r x 邻边 对边 x y y r x r y x 情景 3 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点 P 在 的终边上的位 置的改变而改变呢 显然 我们可以将点取在使线段 OP 的长 r 1 的特殊位置上 这样就可 以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 sin y cos x tan MP OP OM OP MP OM y x 思考 上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的概念 推广以后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利于推广到 任意角呢 本节课就研究这个问题 任意角的三角函数 先让学生想象思考 作出主观判断 再用几何画板动画演示 同时作好 解释说明 引导学生观察图 3 联系相似三角形知识 探索发现 对于锐角 的每一个确定值 三个比值都是确定的 不会随 P 在终边上的移动而变化 图 3 三 探究新知 1 探究 结合上述锐角 的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角 的三角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆 的定义 在直角坐标系中 我们称以原点 O 为圆心 以单位长度为半径的圆 为单位圆 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数 如图 4 设是一个任意 角 它的终边与单位圆交于 点 那么 yxP 此处做法简单 思想重此处做法简单 思想重 要 为了顺利实现推广 可要 为了顺利实现推广 可 以构建中间桥梁或公共载体 以构建中间桥梁或公共载体 使之既与初中的定义一致 使之既与初中的定义一致 又能自然地迁移到任意角的又能自然地迁移到任意角的 情形 初中以直角三角形边情形 初中以直角三角形边 角关系来定义锐角三角函数 角关系来定义锐角三角函数 现在要用坐标系来研究 探现在要用坐标系来研究 探 索的结论既要满足任意角的索的结论既要满足任意角的 情形 又要包容初中锐角三情形 又要包容初中锐角三 角函数的定义 这是一个认角函数的定义 这是一个认 识的飞跃 是理解任意角三识的飞跃 是理解任意角三 角函数概念的关键之一 也角函数概念的关键之一 也 是数学发现的重要思想和方是数学发现的重要思想和方 法 属于策略性知识 法 属于策略性知识 能够形成迁移能力 为学生能够形成迁移能力 为学生 在以后学习中对某些知识进在以后学习中对某些知识进 行推广拓展奠定了基础 行推广拓展奠定了基础 初中学生对函数理解较初中学生对函数理解较 肤浅 这里在学生思维的最肤浅 这里在学生思维的最 近发展区进一步研究初中学近发展区进一步研究初中学 过的锐角三角函数 在思维过的锐角三角函数 在思维 上更上了一个层次 扣准函上更上了一个层次 扣准函 数概念的内涵 突出变量之数概念的内涵 突出变量之 间的依赖关系或对应关系 间的依赖关系或对应关系 是从函数知识演绎到三角函是从函数知识演绎到三角函 数知识的主要依据 是准确数知识的主要依据 是准确 理解三角函数概念的关键 理解三角函数概念的关键 也是在认知上把三角函数知也是在认知上把三角函数知 识纳入函数知识结构的关识纳入函数知识结构的关 图 4 1 y 叫做 的正弦 sine 记做 sin 即 sin y 2 x 叫做 的余弦 cossine 记做 cos 即 cos x 3 叫做 的正切 tangent 记做 tan 即 tan x 0 y x y x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出中 华 资 源 库 对边 邻边 斜边所 在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终 边 终边就必然与单位圆有交点 P x y 从而就必然能够最终算出三角函数 值 四 探索定义域 情景 4 1 函数概念的三要素是什么 函数三要素 对应法则 定义域 值域 正弦函数 sin 的对应法则是什么 正弦函数 sin 的对应法则 实质上就是 sin 的定义 对 的每一个 确定的值 有唯一确定的比值 与之对应 即 sin y r y r 2 布置任务情景 什么是三角函数的定义域 请求出三个三角函数的定 义域 填写下表 三角函数sin cos tan 定义域 引导学生自主探索 如果没有特别说明 那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数 的定义域 三角函数的定义域自然是指 使比值有意义的角 的取值范围 关于 sin cos 对于任意角 弧度数 r 0 恒有意义 定 y r x r y r x r 义域都是实数集 R 对于 tan k 时 x 0 无意义 tan 的定义域是 R 且 y x 2 y x k 中 华 资 源 库 2 教师指出 sin cos tan 的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基 础上记熟 键 这样做能够使学生有效键 这样做能够使学生有效 地增强函数观念 地增强函数观念 定义域是函数三要定义域是函数三要 素之一 研究函数必须素之一 研究函数必须 明确定义域 指导学生明确定义域 指导学生 根据定义自主探索确定根据定义自主探索确定 三角函数的定义域 有三角函数的定义域 有 利于在理解的基础上记利于在理解的基础上记 住它 应用它 也增进住它 应用它 也增进 对三角函数概念的掌对三角函数概念的掌 握 握 五 符号判断 形象识记 情景 5 能判断三角函数值的正 负吗 试试看 引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析 r 0 三角函数值的符号决 定于 x y 值的正负 根据终边所在位置总结出形象的识记口诀 图 5 sin 上正下负横为 0 cos 左负右正纵为 0 y r x r tan 交叉正负 y x 六 例题讲解 理解记忆 1 自学例 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 2 例 2 角 的终边经过点 P 3 4 求 的正弦 余弦及正切值 活动 教师留给学生一定的时间 学生独立思考并回答 明确可以用角 终边 上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数 但用单位圆上点的坐标来定义 既不失一般性 又简单 更容易看清对应关系 教师要点拨引导学生习惯画 图 充分利用数形结合 但要提醒学生注意 角的任意性 如图 6 设 是一 个任意角 P x y 是 终边上任意一点 点 P 与原点的距离 r 0 x2 y2 那么 图 6 叫做 的正弦 即 sin y r y r 叫做 的余弦 即 cos x r x r 叫做 的正切 即 tan x 0 y x y x 这样定义三角函数 突出了点 P 的任意性 说明任意角 的三角函数值 判断三角函数值的判断三角函数值的 正负符号 是本章教材正负符号 是本章教材 的一项重要的知识 技的一项重要的知识 技 能要求 要引导学生抓能要求 要引导学生抓 住定义 数形结合判断住定义 数形结合判断 和记忆三角函数值的正和记忆三角函数值的正 负符号 并总结出形象负符号 并总结出形象 的识记口诀 这也是理的识记口诀 这也是理 解和记忆的关键解和记忆的关键 及时安排例题讲解 及时安排例题讲解 自做教材练习题 一般自做教材练习题 一般 性与特殊性相结合 进性与特殊性相结合 进 行适量的变式练习 以行适量的变式练习 以 巩固和加深对三角函数巩固和加深对三角函数 概念的理解 通过课堂概念的理解 通过课堂 积极主动的练习活动进积极主动的练习活动进 行思维训练 把行思维训练 把 培养培养 学生分析解决问题的能学生分析解决问题的能 力力 贯穿在每一节课的贯穿在每一节课的 只与 有关 而与点 P 在角的终边上的位置无关 教师要让学生充分思考讨 论后深刻理解这一点 3 例 3 求下列三角函数值 1 sin390 2 cos 3 tan 330 19 6 活动 引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点 终边相同的角相 差 2 的整数倍 那么这些角的同一三角函数值有何关系 为什么 引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行 讨论 然后再用三角函数的定义证明 由三角函数的定义 可以知道 终边相同的角的同一三角函数的值相 等 由此得到一组公式 公式一 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求 0 到 2 或 0 到 360 角的三角函数值 这个公式称为三角函数的 诱导公式一 解 1 sin390 sin 360 30 sin30 1 2 2 cos cos 2 cos 19 6 7 6 7 6 3 2 3 tan 330 tan 360 30 tan30 3 3 七 课堂练习 课本本节练习题 1 2 3 处理 要求取点用定义求解 针对计算过程提问 点评 理解巩固定 义 强调 终边在坐标轴上的角叫轴线角 如 0 等 今后经常用到 2 3 2 轴线角的三角函数值 要结合三角函数定义记熟这些值 八 回顾小结 建构网络 要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记 提问检查并强调 1 你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的 或者说任意角三角函 sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 其中 k Z 课堂教学始终 课堂教学始终 遗忘的规律是先快遗忘的规律是先快 后慢 回顾再现是记忆后慢 回顾再现是记忆 的重要途径 在课堂内的重要途径 在课堂内 及时总