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信号检测与估计理论 第四章信号波形的检测 引言 研究目的 根据性能指标要求 设计与环境相匹配的接收机 检测系统 从噪声污染的接收信号中提取有用的信号 在噪声干扰背景中区别不同特性 不同参量的信号 理论基础 假设检验和似然比检验最佳检测的判决方式 判决表示式 检测系统的结构检测性能分析最佳波形设计 引言 简化的信号流程模型 二元数字通信系统波形检测模型 把随机过程用正交级数表示 进行统计描述 再应用信号的统计检测理论来处理信号波形的检测问题 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 二元信号的模型 若似然比超过门限 即 则检测器判断为H1成立 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 检测信号 似然函数 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 两边取对数 并转换 可以根据不同的准则 确定门限值 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 上式表明 检验统计量根据信号的值对数据样本进行加权 大的信号样本采用大较大的加权 把接收到的数据和信号的仿形品进行相关运算 检测器称为相关器或仿形 相关器 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 用FIR FiniteImpulseResponse 滤波器模型 令冲击响应为信号的镜像 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 用FIR滤波器模型来表达 将信号相对n 0反转 再向右移N 1个样本得到匹配滤波器的冲击响应 FromStevenM Kay 检测器的建立 匹配滤波器的引入 WGN中已知的确定性信号的检测问题 利用NP准则与最大SNR准则都可以导出匹配滤波器 对于非高斯噪声 匹配滤波器输出的信噪比最大 匹配滤波器的概念 通信 雷达等电子信息系统的接收机模型 对信号进行加工 处理 使信噪比最大 检测判断 例如与门限值进行比较判断 若线性时不变滤波器输入的信号是确知信号 噪声是加性平稳噪声 则在输入功率信噪比一定的条件下 使输出功率信噪比最大的滤波器 是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器 即匹配滤波器 MF 匹配滤波器的设计 图4 3线性滤波器 匹配滤波器的设计 输出噪声的功率谱密度 设滤波器输出信号在时刻出现峰值 有 匹配滤波器的设计 输出功率信噪比 利用Schwarz不等式 满足式 4 2 12 等号成立 匹配滤波器的设计 令 由 有 当式 4 2 16 中的等号成立 匹配滤波器的设计 噪声为有色噪声时 广义滤波器 当滤波器输入为白噪声时 有 匹配滤波器的主要特点 1 匹配滤波器的脉冲响应与时刻的选择 图4 4匹配滤波器的脉冲响应特性 在时刻 输入信号s t 已全部送入滤波器 因此 至少要选择在输入信号s t 的末尾 匹配滤波器的主要特点 2 匹配滤波器的输出功率信噪比 若输入信号s t 的能量为 白噪声n t 的功率谱密度为 匹配滤波器的输出功率信噪比为与输入信号s t 的能量有关 与波形无关 匹配滤波器的主要特点 3 匹配滤波器的适应性 对振幅和时延参量具有适应性 对频移信号不具有适应性 匹配滤波器的主要特点 4 匹配滤波器与相关器的关系 对平稳输入信号 自相关器的输出为 图4 5自相关器 匹配滤波器的主要特点 图4 6互相关器 匹配滤波器的主要特点 图4 7输入为正弦信号时 相关器和匹配滤波器的输出波形 在时刻 匹配滤波器的输出与相关器的输出信号相等 5 匹配滤波器输出的频谱函数与输入信号频谱函数的关系 输入信号s t 的频谱函数模的平方 称为s t 的能量频谱 随机过程的正交级数展开 完备的正交函数集及确知信号s t 的正交级数展开 在 0 T 时间内满足式 4 3 1 则函数集构成相互正交的函数集 若不存在另一个函数g t 使 则正交函数集是完备的正交函数集 展开系数 随机过程的正交级数展开 接收信号用正交级数展开 随机过程x t 完全由其展开系数确定 随机过程的卡亨南洛维展开 根据噪声干扰的特点 正确选择正交函数集 以使展开系数之间是互不相关的随机变量 随机过程的卡亨南 洛维展开 展开系数的均值 若要求展开系数互不相关 有 随机过程的卡亨南 洛维展开 正交函数集每个函数需满足积分方程 根据平稳噪声n t 的自相关函数 求解上式的积分方程 得到特征函数 作为正交函数集的坐标 对平稳随机过程进行展开 展开系数之间是互不相关的 核函数 特征函数 特征值 白噪声情况下正交函数集的任意性 任意取正交函数集 x t 的展开系数协方差 当时 协方差 n t 是白噪声的条件下 取任意正交函数集对平稳随机过程x t 进行展开 展开系数之间都是互不相关的 参量信号随机过程的正交级数展开 把参量信号看作以为条件的信号 有 其中 有 展开系数互不相关 应满足 高斯白噪声中确知信号波形的检测 主要内容 简单二元信号波形的检测一般二元信号波形的检测M元信号波形的检测高斯有色噪声中确知信号波形的检测技术路线分析信号模型推导信号状态的判决表示式设计检测系统分析检测性能研究最佳波形设计 简单二元信号波形的检测 1 信号模型 接收信号中的信号分量是能量为的确知信号 n t 是均值为零 功率谱密度为的高斯白噪声 2 判决表示式 用正交级数展开式表示接收信号 简单二元信号波形的检测 2 判决表示式 第一步 用正交级数展开式表示接收信号 假设下 有 第二步 简单二元信号波形的检测 2 判决表示式 假设下 有 假设下和假设下 展开系数的概率密度函数为 第二步 取前N项 构成似然比检验 简单二元信号的波形检测 2 判决表示式 简单二元信号的波形检测 2 判决表示式 第二步 第三步 取的极限 将离散判决表示式变成连续形式的判决表示式 简单二元信号的波形检测 3 检测系统的结构 图4 8相关检测系统结构 相关接收机 图4 9匹配滤波器检测系统结构 简单二元信号的波形检测 4 检测性能分析 检验统计量在假设H0或假设H1下 都是高斯随机变量 通过分析两种假设下的均值和方差 计算判决概率 并据此分析检测性能 可以得到 简单二元信号的波形检测 偏移系数 简单二元信号的波形检测 5 最佳信号波形设计 在高斯白噪声条件下 简单二元确知信号波形的检测性能由偏移系数d2决定 d2取决于信号的能量Es 与信号波形无关 图4 10接收机工作特性 图4 11检测概率PD与参数d的关系 简单二元信号的波形检测 6 充分统计量的分析方法 第一个坐标函数选择为确知信号的归一化函数 第一个展开系数 两种假设下 其余展开系数在两种假设下 因此 展开系数x1是充分统计量 参考 线性代数的几何意义 page133 174 简单二元信号的波形检测 6 充分统计量的分析方法 利用充分统计量x1构造似然比检验 x1是高斯随机变量 有 返回 一般二元信号波形的检测 1 信号模型 2 判决表示式 用正交级数展开系数表示接收信号 一般二元信号波形的检测 2 判决表示式 取展开系数的前N项 一般二元信号波形的检测 2 判决表示式 一般二元信号波形的检测 3 检测系统的结构 图4 12双路相关检测系统结构 图4 13双路匹配滤波器检测系统结构 一般二元信号波形的检测 4 检测性能分析 定义两个信号波形的相关系数为 一般二元信号波形的检测 4 检测性能分析 一般二元信号波形的检测 5 最佳信号波形设计 信号的检测性能随偏移系数d2的增加而增大 因此 信号的检测性能与以下两个因素有关 1 信号相对于噪声的能量大小 2 信号之间的波形差异 两个信号反相 两个信号正交 两个信号满足 一般二元信号波形的检测 6 充分统计量的分析方法 1 选择正交函数集中的第一个坐标函数为 2 根据Gram Schmidt正交化方法 构造第二个坐标函数为 一般二元信号波形的检测 6 充分统计量的分析方法 由x1与x2构成的二维矢量是充分统计量 x1和x2都是高斯随机变量 且相互统计独立 4 4 53 4 4 54 4 4 55 一般二元信号波形的检测 6 充分统计量的分析方法 一般二元信号波形的检测 6 充分统计量的分析方法 一般二元信号波形的检测 6 充分统计量的分析方法 一般二元信号波形的检测 例题4 4 1 图4 14超越方程的解 一般二元信号波形的检测 7 二元信号波形检测归纳 1 对于高斯白噪声背景的接收信号 进行正交展开的函数集可以任意选择 展开系数xk是相互统计独立的高斯随机变量 采用格拉姆 施密特正交化方法生成的正交函数集 可以获得有限维且与假设Hj有关的充分统计量 2 检验统计量是高斯分布 因此判决概率P HiIHj 完全由偏移系数d2决定 即有效功率信噪比决定 对于简单二元信号波形检测 对于一般二元信号波形检测 因此 的信号互补关系是最佳的波形 一般二元信号波形的检测 7 二元信号波形检测归纳 3 采用充分统计量分析方法的判决表示式 图4 15判决域划分示意图 一般二元信号波形的检测 7 二元信号波形检测归纳 3 分界线 直线的斜率 原信号差矢量的斜率 有 判决域分界线是垂直于信号间连线的直线 一般二元信号波形的检测 7 二元信号波形检测归纳 4 若二元信号假设的先验概率相等 采用最小平均错误概率准则 则判决域分界线满足 分界线是两信号连线的垂直平分线 若进一步 两信号的能量相等 有 分界线是两信号连线的垂直平分线 并通过判决域的原点 一般二元信号波形的检测 7 二元信号波形检测归纳 返回 M元信号波形的检测 系统每次发送M个可能信号的一个 接收信号x t 后 判断M个可能信号的哪一个 M元信号的检测模式识别中的分类或辨识一般采用最小平均错误概率准则或一般贝叶斯准则 4 4 73 M元信号波形的检测 1 根据格拉姆 施密特正交化方法 正交函数集中 的坐标函数不必设计 考虑到M个信号中 可能有N个是线性不相关的 只需构造N个正交函数集 M元信号波形的检测 2 转换为N维随机矢量问题 M元信号波形的检测 3 平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则 由于是N维联合高斯概率密度函数 有 判决假设Hi成立 两边取对数 注意 C为对角阵 M元信号波形的检测 3 平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则 若各假设的先验概率相等 有 判决假设Hi成立 即 M元信号波形的检测 例4 4 3 图4 16四元信号检测判决域划分 图4 17四元信号检测系统结构 返回 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 加性高斯有色噪声背景中二元确知信号波形检测 1卡亨南 洛维展开法根据噪声的自相关函数选择合适的正交函数集 2将接收信号先通过白化滤波器 其输出端噪声变为白噪声 有色噪声 噪声过程的功率谱密度在频域上的分布不均匀 一般采用高斯功率谱密度的模型 白色包含了所有的颜色 因此白噪声的特点就是包含各种噪声 白噪声定义为在无限频率范围内功率谱密度为常数的信号 这就意味着还存在其它 颜色 的噪声 即 其功率谱密度函数不平坦 大多数的音频噪声 如移动汽车的噪声 电钻的噪声 周围人们走路的噪声等等 其频谱主要都是非白色低频段频谱 而且 通过信道的白噪声受信道频率的影响而变为有色的 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 1信号模型及其统计特性 均值为零 自相关函数为的高斯有色噪声 2信号检测的判决表示式 展开系数 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 展开系数之间的协方差函数 目的要得到正交函数集的坐标函数 当时 协方差函数 展开式中各展开系数之间互不相关 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 取前N个展开系数构造N维矢量的似然比检验 再取的极限 求信号波形下的判决表示式 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 N维随机矢量分别求解在两个假设下的概率密度函数 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 由前N项构成的似然比函数为 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 由前N项构成的似然比函数为 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的判决表示式 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 2信号检测的等效判决表示式 若 即高斯白噪声环境 高斯白噪声环境下的结果是高斯有色噪声结果的特例 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 3检测系统的结构 双路相关器检测系统结构 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 4检测性能分析 检验统计量 均值与方差 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 4检测性能分析 确定函数与 带入上页均值函数 有 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 4检测性能分析 统计量的方差 统计量的均值 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 4检测性能分析 偏移系数 检测性能随着的增大而增大 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 4检测性能分析 高斯白噪声背景下 变为 对比 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 5最佳信号波形设计 在一定条件下 寻找使达到最大的信号波形 构造辅助函数 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 5最佳信号波形设计 若与分别代表与的最佳波形 求偏微分 并令偏微分的值为0 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 5最佳信号波形设计 上式说明需满足条件 信号间的波形相关系数 接下来确定信号的函数形式 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 5最佳信号波形设计 等号左边的积分 有 信号是上述齐次积分方程的特征函数 响应的特征值为 高斯