一轮复习函数的奇偶性与周期性.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 2 知识梳理 考点自测 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 3 知识梳理 考点自测 2 函数的周期性 1 周期函数 T为函数f x 的一个周期 则需满足条件 T 0 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做f x 的最小正周期 3 周期不唯一 若T是函数y f x x R 的一个周期 则nT n Z 且n 0 也是函数f x 的周期 即f x nT f x f x T f x 最小的正数 最小正数 4 知识梳理 考点自测 1 函数奇偶性的四个重要结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 3 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 4 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 5 知识梳理 考点自测 2 周期性的几个常用结论对f x 定义域内任一自变量的值x 其中a 0 且为常数 1 若f x a f x 则T 2a 6 知识梳理 考点自测 3 对称性的四个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 即f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 2 若对于R上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图象关于直线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 即f x b f x b 0 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 4 若y f x 对任意的x R 都有f a x f b x 则f x 的图象关于直线 7 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 函数y x2在区间 0 内是偶函数 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图象关于点 b 0 中心对称 4 如果函数f x g x 是定义域相同的偶函数 那么F x f x g x 是偶函数 5 已知函数y f x 是定义在R上的偶函数 若在 0 内f x 是减少的 则在 0 内f x 是增加的 6 若T为y f x 的一个周期 则nT n Z 是函数f x 的周期 答案 8 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 解析 9 3 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则当x 0时 f x 的解析式为 A f x x 1 x B f x x 1 x C f x x 1 x D f x x x 1 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 解析 10 4 已知函数f x 是奇函数 在区间 0 内是减函数 且在区间 a b a b 0 上的值域为 3 4 则f x 在区间 b a 上 A 有最大值4B 有最小值 4C 有最大值 3D 有最小值 3 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 解析 11 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 解析 5 已知函数f x 的定义域为R 且对于x R 恒有f x 2 f x 当x 2 4 时 f x x2 2x 则f 2017 12 考点1 考点2 考点3 考点4 13 考点1 考点2 考点3 考点4 即f x f x f x 是偶函数 2 由题意知函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x2 2x 1 f x x2 2x 1 f x 故对于x 0 0 均有f x f x 即函数f x 是奇函数 14 考点1 考点2 考点3 考点4 15 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点 1 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 2 判断关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 思考判断函数的奇偶性要注意什么 16 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 17 考点1 考点2 考点3 考点4 例2 1 2017齐鲁名校模拟 已知f x 为定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x m 则f 2 2 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 3 已知f x 是偶函数 g x 是奇函数 且f x g x 则函数f x 的解析式为 4 已知函数f x 为奇函数 当x 0时 f x x2 x 则当x 0时 函数f x 的最大值为 18 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 因为f x 为R上的奇函数 所以f 0 0 即f 0 20 m 0 解得m 1 则f 2 f 2 22 1 3 2 因为f x 是奇函数 所以当xf a 得2 a2 a 解得 2 a 1 19 考点1 考点2 考点3 考点4 20 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 函数奇偶性的应用主要有 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性求最值等 2 已知函数的奇偶性求函数的解析式 往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式 或充分利用奇偶性产生关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用 21 考点1 考点2 考点3 考点4 3 2017贵州贵阳适应性检测 若f x 是R上的奇函数 且当x 0时 f x x3 8 则 x f x 2 0 A x 22 B x 04 C x x2 答案 解析 22 考点1 考点2 考点3 考点4 例3 1 已知定义在R上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2017 等于 A 336B 337C 1678D 2012 2 已知f x 是定义在R上的偶函数 并且f x 2 若当2 x 3时 f x x 则f 105 5 答案 1 B 2 2 5 23 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 f x 6 f x 函数f x 的周期T 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 又f 2017 f 1 1 f 1 f 2 f 3 f 2017 336 1 337 24 考点1 考点2 考点3 考点4 函数f x 的周期为4 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 25 考点1 考点2 考点3 考点4 思考函数周期性的主要应用是什么 解题心得利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 再进行求解 26 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 1 D 2 2 3 0 27 考点1 考点2 考点3 考点4 2 因为f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 所以函数f x 的周期为4 所以f 2018 f 4 504 2 f 2 又2 2 3 所以f 2 2 即f 2018 2 28 考点1 考点2 考点3 考点4 29 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 1 D 2 A 3 2 例4 1 已知函数f x 是定义域为R的偶函数 且f x 1 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 则f x 在 1 3 上是 A 增函数B 减函数C 先增后减的函数D 先减后增的函数 2 已知偶函数f x 的定义域为R 当x 0 时 f x 是增函数 则f 2 f f 3 的大小关系是 A f f 3 f 2 B f f 2 f 3 C f f 3 f 2 D f f 2 f 3 3 2017山西晋中模拟 已知f x 是R上的奇函数 f 1 2 且对任意x R都有f x 6 f x f 3 成立 则f 2017 30 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 因为f x 在 1 0 上是减少的 又f x 是R上的偶函数 所以f x 在 0 1 上是增加的 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 故2是函数f x 的一个周期 结合以上性质 画出f x 的部分草图 如图所示 由图象可以观察出 f x 在 1 2 上是减少的 在 2 3 上是增加的 故选D 2 因为 3 2 且当x 0 时 f x 是增加的 所以f f 3 f 2 又函数f x 为R上的偶函数 所以f 3 f 3 f 2 f 2 故f f 3 f 2 31 考点1 考点2 考点3 考点4 3 因为f x 是R上的奇函数 所以f 0 0 又对任意x R都有f x 6 f x f 3 所以当x 3时 有f 3 f 3 f 3 0 所以f 3 0 f 3 0 所以f x 6 f x 周期为6 故f 2017 f 1 2 32 考点1 考点2 考点3 考点4 思考解有关函数的单调性 奇偶性 周期性的综合问题的策略有哪些 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 函数单调性与奇偶性结合 注意奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行转换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 再利用奇偶性和单调性求解 33 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 1 已知f x 是定义在R上的以3为周期的偶函数 若f 1 1 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 0 C 1 0 D 1 2 2 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且f x 在区间 0 2 上是增函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 答案 1 A 2 D 34 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 f x 是定义在R上的周期为3的偶函数 f 5 f 5 6 f 1 f 1 解得 1 a 4 2 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在R上的奇函数 且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增加的 f x 在R上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增加的 所以f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 35 考点1 考点2 考点3 考点4 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个关键点 1 定义域关于原点对称 是 函数f x 为奇