3.3.2均匀随机数的产生

几何概型课后反思 几何概型 这一概念的教学比较抽象 学生理解起来困难 遇到具体问题 时 时常出错 而且不易找到错误原因 所以对教学内容的理解程度还需进一 步深化 教学上还需进一步探索 下面结合笔者的教学实践 谈谈对几何概型 教学的一些思考 论文网 9 view 1577176 htm 1 关于新课引入创设情境的反思 下面三个是新课引入环节的问题 问题 1 本市人本超市进行有奖销售活动 购物满 500 元可摇奖一次如 图 1 规则如下 1 奖电视机一台 2 奖高压锅一个 3 奖 2L 食用油一桶 4 奖肥皂一块 5 奖铅笔一支 6 谢谢惠顾 问顾客中得电视机的概率是多大 问题 2 2008 北京奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 如图 2 从外向内分为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 比赛 靶面直径为 122cm 靶心直径为 12 2cm 运动员在 70m 外射箭 假设射箭都能 中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率为多少 问题 3 在 500ml 的水中有一只草履虫 现从中取出 2ml 的水样放到显 微镜下观察 求发现草履虫的概率 预设是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度 面积和体 积 但实际的教学证明效果不是很好 对于问题 1 虽然是不等分区域 但学生立即反应的是区域的面积之 比 从运算结果来说是正确的 因为是在圆形的转盘中 但这样的引入还是没 能达到预期的目的 不能恰如其分地引导学生关注基本事件是指针的位置 指 出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件 而且等可能 从而 启发学生通过角度 或弧长 度量概率 基于以上想法 我认为可以按教材的 转盘模型引入 说明概率与区域的位置无关 再添加一个不等分的方形盘 如图 3 可以引起学生思维上的冲突 这样老师就能恰到好处地揭示几何 概型的本质 归纳出几何概型的特征后 还可再设计一个反例 如图 4 某女生投铅球 投到区域 1 的概率是多少 这个问题不能用几何概型来解 虽然在一次试验中 出现的结果有无限个 但是每个结果的发生并不是等可能性 因为某女生的力 气较小 1 号区域较远 所以投到该区域的可能性当然小一些 所以不能用几 何概型计算 这样可加深学生对几何概型特征的理解 对于问题 2 这是一个简单的用面积之比求概率的问题 学生在初中时就 计算过此类概率问题 教案预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量 但 事实上问题 1 中已有体现 因此 在这里设置问题 2 过于简单 思维水平的 层次只能停留在原来的状态 仅仅是图式的重现而已 但可以把问题 2 从 课头 问 变为 课中问 安排在得出概率公式之后 问题设计为 向一个圆中投一石 子 击中圆心所在的阴影区域的概率有多大 石子刚好击中圆心的概率是多少 如图 5 让学生认识到概率为零的事件不一定是不可能事件 进一步认识 到几何概型的特殊性 与古典概型的区别 这样知识点可拓宽引申 纵横联系 教学上也有波有澜 给出问题 3 时 学生答不上 当我引导学生 总的基本事件个数可以用 500ml 水来刻画 事件 A 包含的基本事件个数可以用取得 2ml 水来刻画 所以 概率为 2500 大多数学生还是一脸的疑惑 不能接受 我再启发他们想象这 一条草履虫均匀地溶解在水中等云云 他们还是不思其解 在课堂上我只好跳 过 继续后面的内容 教学中创设成功的情景不仅可以促进学生认知的发展 知识的构建 更有 利于学生的兴趣 情感 价值观的生成和体验精神的成长 新课程主张科学世 界向生活世界的回归 强调情景创设的生活性 为此 创设成功的问题情境 首先要注重联系学生的现实生活 在学生鲜活的日常生活环境中发现 挖掘学 习情景的资源 其次要挖掘和利用学生的经验 把设置问题的难易度确定在学 生的 最近发展区 情景创设还要体现数学学科特色 紧扣教学内容 能够简 单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题 激发学生的求知欲 使之产生非知不可之感 达到启发积极思维的目的 2 关于例题教学的反思 2 1 例题教学要强调 对应点 人教 A 版几何概型是这样定义的 如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 在几何概型中 事件 A 的概率的计算公式如下 P A 构成事 件 A 的区域全部结果所构成的区域 长度 面积或体积 人教版 A 版 数学必修 3 教师教学用书对几何概型的特点补充说明 几何概型也是一种概率模型 它 与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个 它的特点是试验结果在一个 区域内均匀分布 如果随机事件所在区域是一个单点 由于单点的长度 面积 体积均为 0 则它出现的概率为 因此 几何概型的教学要突出两点 1 事件 A 发生与哪些点对应 2 求出这些点的区域的测度 长度 面积或体积 与全部结果构成区域的测度之 比 尤其要强调 1 即 对应点 的思想 例 取一根长度为 3m 的绳子如果拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的 长都不小于 1m 的概率有多大 我觉得教学时可以引导学生思考以下几个问题 1 一个基本事件能否看作与线段上一个点对应 与所有基本事件对应的 这些点构成的几何区域是什么 2 事件 A 发生剪刀应剪在什么位置 3 事件 A 发生应与线段上什么样的点对应 这些点构成的几何区域又是 什么 4 这里的几何区域用什么来度量 通过这些思考 使学生理解几何概型的概率就是事件 A 发生对应点的区域 测度与从任一个位置剪断对应点的区域测度之比 2 2 例题教学要抓住 等可能 教学中 我们发现 学生在把事件空间转化为与之对应的区域时 常常构造 出错误的几何区域 往往是因为没有抓住几何概型中的等可能 应引起我们足够 的重视 例 2 已知等腰直角 ABC 中 如图 8 C 90 在 CAB 内作射线 AM 求 CAM 30 的概率 不少学生给出了下列解决问题的思路 在线段 CB 上截取 CM1 使得 CAM1 30 当点 M 位于线段 CM1 内时 CAM 30 故 CAM 30 的 概率为 CM1CB 33 通过动画演示及理论探讨 使学生即直观又理性地认识到 几何概型中的等可能性 2 3 例题教学适当运用变式 几何概型教学中还有一个难点是概率计算测度的选择 在类似的双动点问 题中 该设一个变量还是两个变量 即对几何概型问题作出一维的还是二维的 判断 是比较困难的 为了使学生知其然且知其所以然 我在例题教学上运用变式 即通过对表 面相似而实质不同的两道题进行深入的研究 使学生真正理解何时设一个变量 何时设两个变量 例 3 1 甲 乙两人各自在 300 米长的环形跑道上跑步 在任一时刻两人 在跑道上相距不超过 50 米 跑道上的曲线长度 的概率为多少 2 甲 乙两人各自在 300 米长的直线形跑道上跑步 在任一时刻两人在 跑道上相距不超过 50 米的概率为多少 图 11 先看 1 处理方法是把甲 记为点 P 看作定点 乙 记为点 Q 可在圆周上任 意运动 如图 11 PA 的长度为 50m PB 的长度为 50m 当点 Q 在 APB 上时 甲 乙相距不超过 50m 这样双动点几何概型就转化为单动点几何概 型 为什么可以这样处理呢 原因是当点 P 在任意位置时 满足条件的点 Q 应 在 APB 上运动 而圆弧 APB 长都等于定值 100m 圆周长为 300m 所以所求 事件的概率是 100300 13 再看 2 甲 乙各自在跑道上跑步 能不能也固定一个动点处理呢 不妨 先看具体的数据 假设线段 AB 300m 若甲距离 A 处 20m 则乙距离 A 处 70m 之间 事件 两人相距不超过 50m 发生 若甲距离 A 处 30m 则乙距离 A 处 80m 之间事件发生 若甲距离 A 处 50m 则乙距离 A 处 100m 之间事件发 生 若甲距离 A 处 80m 则乙距离 A 处 30m 到 130m 之间事件发生 由此不难看出 当甲的位置发生变化时 对应地乙