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第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 14 一 以2l为周期的函数的 傅里叶展开式 机动目录上页下页返回结束 第十二章 二 定义在任意有限区间上 函数的傅里叶展开式 一 以2l为周期的函数的傅里叶展开 周期为2l函数f x 周期为2 函数F z 变量代换 将F z 作傅里叶展开 f x 的傅里叶展开式 机动目录上页下页返回结束 设周期为2l的周期函数f x 满足收敛定理条件 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为 其中 定理 机动目录上页下页返回结束 证明 令 则 令 则 所以 且它满足收敛 定理条件 将它展成傅里叶级数 在F z 的连续点处 变成 是以2 为周期的周期函数 机动目录上页下页返回结束 其中 令 在f x 的连续点处 证毕 机动目录上页下页返回结束 说明 其中 在f x 的连续点处 如果f x 为偶函数 则有 在f x 的连续点处 其中 注 无论哪种情况 在f x 的间断点x处 傅里叶级数 收敛于 如果f x 为奇函数 则有 机动目录上页下页返回结束 例1 把 展开成 1 正弦级数 2 余弦级数 解 1 将f x 作奇周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 2 将 作偶周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 说明 此式对 也成立 由此还可导出 据此有 机动目录上页下页返回结束 二 定义在任意有限区间上的函数的傅里叶展开法 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 机动目录上页下页返回结束 方法2 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 机动目录上页下页返回结束 例3 将函数 展成傅里叶级数 解 令 设 将F z 延拓成周期为10的周期函数 理条件 由于F z 是奇函数 故 则它满足收敛定 机动目录上页下页返回结束 为正弦级数 内容小结 周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式 x 间断点 其中 当f x 为奇函数时 偶 余弦 2 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形 答 易看出奇偶性及间断点 2 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 答 用系数公式计算 如分母中出现因子n k 作业 11 81 2 本章已讲完 下次课为习题课 请复习 从而便于计算系数和写出 收敛域 必
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