专题03相似三角形的存在性问题玩转压轴题,争取之备战2018年中考数学解答题高端原卷版.doc

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为ABCDEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为ABC与 DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：ABCDEF ,ABCFDE、 ABCEFD、 3、若题目中为ABC与 DEF并且有 A、 D（或为90），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：、ABCDEF ，、ABCDFE 需要分类讨论上述的各种情况。【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线（a0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与ACD相似，直接写出点M的坐标【解析】试题分析：（1）由对称轴求出B的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D的坐标；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出ACD为直角三角形，ACD=90得出AD为ACD外接圆的直径，再证明AED为直角三角形，ADE=90得出ADDE，即可得出结论；（3）求出直线AC的解析式，再求出线段AD的中点N的坐标，过点N作NPAC，交抛物线于点P，求出直线NP的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案试题解析：（1）抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），根据抛物线的对称性知点B的坐标为（1，0），OA=3，将A（3，0），B（1，0）代入抛物线解析式中得： ，解得： ，抛物线解析式为；当x=1时，y=4，顶点D（1，4）（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得： ，解得： ，直线AC的解析式为y=x+3，A（3，0），D（1，4），线段AD的中点N的坐标为（2，2），过点N作NPAC，交抛物线于点P，设直线NP的解析式为y=x+c，则2+c=2，解得：c=4，直线NP的解析式为y=x+4，由y=x+4，y=x2+2x+3联立得：x2+2x+3=x+4，解得：x=或x=，y=，或y=，P（， ）或（， ）；学=科网（4）分三种情况：M恰好为原点，满足CMBACD，M（0，0）；M在x轴正半轴上，MCBACD，此时M（9，0）；M在y轴负半轴上，CBMACD，此时M（0， ）；综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0， ）【名师点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，（点A在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将DMN沿MN翻折，得到DMN，判断四边形DMDN的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】 典例指引2（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，CED、CBD全等，首先在RtCEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在RtAED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于DEC=90，首先能确定的是AED=OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似，那么QPC=90或PQC=90，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值；（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标试题解析：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，得BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD，由勾股定理易得EO=6，AE=106=4，设AD=x，则BD=ED=8x，由勾股定理，得 ， 解得，x=3，AD=3，抛物线过点D（3, 10），C（8, 0），O（0, 0），解得 ，抛物线的解析式为： ；（2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t，EP=2t，PC=102t，当PQC=DAE=90，ADEQPC， ，即 ， 解得， 当QPC=DAE=90，ADEPQC， ，即 ， 解得， 当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似；EC为平行四边形的边，则EC/MN，EC =MN，设N（4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）； 将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4，32）；将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ， ； ， ；， 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为（1,0）（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】 典例指引3（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m0，与x轴相交于点B（4，0）抛物线y=ax2+bx（a0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E（1）设a=，m=2时，求出点C、点D的坐标；抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由（2）当以F、C、D为顶点的三角形与BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得FCD=90，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值试题解析：（1）如图1，当a=时，将B点坐标代入，得y=x22x=（x2）22顶点坐标为（2，2）；当m=2时，一次函数的解析式为y=x2 联立抛物线与直线，得22x=x2，解得x=1，当x=1时，y=，即C点坐标为（1，） 当x=2时，y=1，即D点坐标为（2，1）； 假设存在G点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上CGDF，DCFG是菱形，点C关于EF的对称点G（3， ）设DF与CG与DF相交于O点，则DO=OF=，CO=OG=1，四边形DCFG是平行四边形抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3， ）；（2）如图2，抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，b=4ay=ax2+bx=ax24ax=a（x2）24a的对称轴是x=2，F点坐标为（2，4a） 三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，BC：AC=3：1 过点C作CHOB于H，过点F作FGOB，FG与HC交于G点则四边形FGHE是矩形 由HCOA，得BC：AC=3：1由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得HE=1，HB=3将C点横坐标代入y=ax24ax，得y=3aC（1，3a），HC=3a，又F（2，4a）GH=4a，GC=a 在BED中，BED=90，若FCD与BED相似，则FCD是直角三角形FDC=BDE90，CFD90，FCD=90BHCCGF， ，a2=1，a=1a0，a=1学科=网抛物线的解析式为y=x24x【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由【新题训练】1如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点（）求抛物线的表达式（）如图，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2平面直角坐标系中，对称轴平行与轴的抛物线过点、和（）求抛物线的表达式（）现将此抛物线先沿轴方向向右平移个单位，再沿轴方向平移个单位，若所得抛物线与轴交于点、（点在点的左边），且使（顶点、依次对应顶点、），试求的值，并说明方向3已知：关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点（1，0）和（2，6）（1）求b和c的值（2）若点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n，使？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的PCD与OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标4如图，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点C（1） ； ；（2）点P为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P作于点Q，连接PC，求线段PQ的最大值；若以P、C、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标5如图，抛物线交轴于， 两点，交轴于点，直线经过坐标原点，与抛物线的一个交点为，与抛物线的对称交于点，连接，点， 的坐标分别为， （）求抛物线的解析式，并分别求出点和点的坐标（）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由6已知直线y=2x5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由7如图，已知抛物线y=x2+2x的顶点为A，直线y=x2与抛物线交于B，C两点（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CDx轴于点D，求证：ODCABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，