一元二次方程练习

1 一元二次方程一元二次方程 一 一 基础知识回顾 基础知识回顾 1 一元二次方程必须满足的三个条件 不满足其中任何一个条件的方程都 一元二次方程 实例解答 下列关于的方程 a 0 x 2 0axbxc 5xy x 6 0 mx2 4x 1 中 一元二次方程 2 4 30 x x 25 40 xx 2 3xx 的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 一元二次方程的一般形式为 当 时 是不含一次项的 一元二次方程 当 时 是不含常数项的一元二次方程 当 时 是不含一次 项和常数项的一元二次方程 实例解答 把方程化为一般形式为 其中二次项系数是 2 5 2 xx 一次项系数是 常数项是 若是一个一元二次方程 0992 1 1 2 xxm m 则 m 的值为 若 kx2 x k2 6 的一个根是 2 则 k 的值是 3 解一元二次方程的方法有 其中 是一般方法 是特殊方法 4 配方法是将方程化为形式 当 时 利用开平方求解 步骤为 5 公式法解 a 0 的求根公式为 步骤 2 0axbxc 04 2 acb 为 当 时 方程有 为 当 时 方程有 为 当 时 方程 6 因式分解法解一元二次方程 是把方程一边化为 另一边分解成 的形式 常 用方法有 7 已知方程可化为 0 则 x1 x2 0 2 pqxqpx 8 解方程 练方法 1 x x 3 3x 8 配方法 2 公式法 3 因式分712 x x 032432 2 x x 解法 4 利用配方法说明二次三项式有最大值还是最小值 当 x 为何值时 最大值或最11105 2 xx 2 小值是多少 5 用求根公式法在实数范围内分解二次三项式 若 a 0 有两实数根 则二次三项式 2 0axbxc 21 x x cbxax 2 49 4 x52 2 xx6 222 xxxx 9 9 根与系数的关系 根与系数的关系 基本型 方程的两根为 则 0 2 qpxx 21 xx 21 xx 21 xx 一般型 方程 a 0 的两根为 则 2 0axbxc 21 xx 21 xx 21 xx 利用根与系数的关系构造一元二次方程 以 a b 为根的一元二次方程是 0 2 xx 实例解答 1 已知是关于的一元二次方程的两实数根 求下列各式的 12 x xx0432 2 xx 2 2 2 1 xx 2 1 1 2 x x x x 1 1 21 xx 2 21 xx 2 求证 无论 m 为何值 方程总有实数根 01 2 mmxx 3 以为两根的一元二次方程是 33 33 思路归纳 思路归纳 要证明一元二次方程 有两个不相等的实数根 只要推导出 有两个相等的 实数根 只要推导出 没有实数根 只要推导出 总有实数根 只要推导出 二 方程应用题 二 方程应用题 1 1 单 双 循环问题 单 双 循环问题 设参与数量为 x 总次数为 a 时 则 单循环问题的方程是 双循环问题的方程是 2 2 平均增长 下降 率问题 平均增长 下降 率问题 设增长 下降 前的数量为 a 增长 下降 后的数量为 b 增长 下降 次数为 n 平均增长 下降 率为 x 时 则 平均增长 下降 率问题的方程是 平均增长 下降 次数是 2 时 方程是 3 3 数字问题 数字问题 若个位上数字 十位上数字 百位上数字分别为 a b c 则这个数为 3 100c 10b a 扎实掌握整数 奇数 偶数等数量关系 还有 4 4 面积 体积问题 面积 体积问题 牢记几何图形的面积和体积公式 注意图形的拼 拆 平移等变换 三 典例分析 三 典例分析 1 如果方程 m 2 x 3 0 是关于 x 的一元二次方程 那么 m 2 2 m x 2 一元二次方程 x2 4x 1 0 化为 x a 2 b 的形式为 3 已知关于 x 的方程 ax2 bx c 0 a 0 且 9a 3b c 0 那么方程必有一个解是 4 关于 x 的一元二次方程 2x2 3mx m2 0 的一个根是 1 则 m 值为 5 若 2x 3y 2 3 2x 3y 2 0 则 2x 3y 的值为 6 一元二次方程 x2 x 2 0 的根的情况是 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 无实数根 D 只有一个实数根 7 若关于x的方程的两根为 则方程分解因式的结果是 0 2 cbxx2 1 21 xxcbxx 2 8 某个化肥厂今年一月份化肥产量是吨 以后每个月比上一月增产的百分率为 则二月份的ax 产量为 吨 三月份的产量为 吨 若三月份产量为 b 吨 列方程为 若一季度产量为 c 吨 列方程为 9 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛 共进行了 110 场 共有多少队参加比赛 如 果设有 x 队参加比赛 则根据题意列出的方程是 10 一个凸多边形共有 27 条对角线 它是几边形 11 两个数的和为 26 积为 168 求这两个数 12 某植物的主干长出若干数目的支干 每个支干又长出同样数目的小分支 主干 支干 小分支 的总数是 73 每个支干长出多少小分支 练习应用练习应用 一 选择题 一 选择题 1 下列方程是一元二次方程的是 A B C D 01 22 cbxx a 165 2 xx02 1 x x 21 2 x 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 0132 mxx m m A m 2 B m 2 C m 2 D m 2 3 关于的一元二次方程的一个根是 则的值为 x 22 1 10axxa 0a A B C 或 D 11 11 1 2 4 把下列方程化为一般式后 系数的和为零的是 A B C D 032 2 xxxx352 2 034 2 xx032 2 xx 5 用配方法解下列方程 其中应在两端同时加上 4 的是 4 A B C D 2 45xx 2 245xx 2 25xx 2 25xx 6 方程的根是 1x xx A B C D 2x 2x 12 2 0 xx 12 2 0 xx 7 下列方程中以为根的一元二次方程是 21 A B C D 120 xx 121xx 021 x x 021 x x 8 利用配方法解方程 则方程可变为 01 2 xx A B C D 4 3 2 1 2 x 4 3 2 1 2 x 4 5 2 1 2 x 1 2 1 2 x 9 适合用因式解法解的方程是 A B C D 0223 2 xx42 2 xx7021 x x 01011 2 xx 10 关于 x 的一元二次方程的有实数根 则 02 2 kxx A B C D 1 k1 k1 k1 k 11 若方程 m 1 x2 x 是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范围是 1 m A m 1 B m 1 C m 1 D m 为任意实数 12 若 则的值为 043 2 nm nm nm A 1 或 4 B 1 或 4 C 1 或 4 D 1 或 4 13 m 是方程 x2 x 2 0 的一个根 则代数式的 2m2 2m 5 的值等于 A 2 B 5 C 7 D 9 14 某个体户同时卖出两件衣服 每件售价都是 135 元 按成本计算 一件盈利 25 另一件亏本 25 那么这次买卖中该个体户是 A 不赔不赚 B 赚 9 元 C 赚 18 元 D 赔 18 元 二 填空题二 填空题 1 关于的方程 当 时 是一元二次方程 x0231 2 axx a 当 时 是一元一次方程 2 若代数的值为 8 则 x 的值是 xx44 2 3 若 则一元二次方程 a 0 必有一个根为0 2 1 4 1 cba0 2 cbxax 4 若是方程的两个不相等的实根 则 ba 020072x 2 x baa3 2 5 方程用 法解比较简单 其解为 0107 2 xx 6 已知 则的值为 061 2222 yx yx 22 yx 某工厂两年内计划将产量提高 44 则每年应提高的百分数是 7 用 100cm 的金属丝作成矩形的框子 使面积分别为 500 cm2 625 cm2 800 cm2 能办得 到的是 填序号 8 小王将元钱存入银行 年利率为 第二年他把本息和全部存入银行 两年后不计利息税 他得到ax 本息和共元 由题意可列方程为 b 9 假设每一位参加宴会的人见面时都与另外的人握手一次 共握了 36 次手 那么与会人士共有 10 在长为 10cm 宽为 8cm 的矩形的四角上截去四个全等的小正方形 使得留下的图形面积是原 来矩形面积的 80 则截去的小正方形的边长是 三 解答题 三 解答题 1 解方程 解方程 145 2 xx013 2 xx 422 2 x x 2 不解方程 判断下列方程根的情况 5 2y2 3y 4 0 xx542 2 xx5454 2 3 已知关于 x 的方程 求证 无论 m 为任何实数 方程总没有实01212 22 mx m x 数根 4 三角形两边的长是 3 8 第三边是方程的根 求此三角形的周长 06617 2 xx 5 今年 我国政府为减轻农民负担 决定在 5 年内免去农业税 某乡今年人均上缴农业税 25 元 若两年后人均上缴农业税为 16 元 假设这两年降低的百分数相同 1 若小红家有 4 人 明年小红家减少多少农业税 2 小红所在的乡约有 16000 名农民 问该乡农民明年减少多少农业税 6 如图 有一面积是 150 的长方形鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 18m 墙对面有一个 2m 宽的门 且这边 门除外 用竹篱笆围成 篱笆总长 33m 求鸡场的长和宽各是多少米 7 已知关于 x 的方程 求的值 1 1 2 1 2 2 x x x x1 1 x x 8 阅读文字 然后解答问题 解方程 06 24 xx 解 设 则原方程可化为