微观金融技术与方法6ppt课件.ppt

微观金融技术与方法 2020 3 27 NJU SME 2 在第五章的框架下 在不对回报支付分布和个体效用函数做特别假定的条件下 讨论复杂证券的估值理论 基于消费的资本资产定价模型 CCAPM 在限定偏好与分布的情况下推导风险资产估值的显表达式 在此基础上计算股票的欧式看涨期权的价格 应用欧式看涨期权的估值公式来研究有风险的公司债券的定价 本章的主要内容 第六章具有偏好约束的复杂证券和期权的估值 2020 3 27 NJU SME 3 复杂证券的估值理论 假设个体具有相同的概率估计 效用函数时间可加且与状态无关 记为和 且假设这些效用函数是递增 严格凹和可导的 共有N 1种证券在交易 记为j 0 1 N 个体0时期的禀赋是0时期的消费品的单位数和证券的份额数 证券j用与状态有关的回报支付结构来表示 第0个证券就是对所有的 的无风险折现债券 2020 3 27 NJU SME 4 假定均衡配置满足帕累托最优 此时可构造一个代表性代理人 其效用函数和是递增 严格凹的 原始状态或有要求权的价格可表示为其中是状态的状态价格 一份复杂证券可视为基本状态或有要求权的一个组合 从而证券j的价格为 见 5 8 1 2020 3 27 NJU SME 5 将 6 2 1 式代入 6 2 2 式中的 得到此处用记证券j的1时期随机回报支付 对于一单位的无风险折现债券来说 即对一份在1时期回报支付恒为1单位消费的复杂证券来说 有 2020 3 27 NJU SME 6 因为是一个单位折现债券的价格 无风险利率应为由效用函数的严格单调性知 这意味着 将 6 2 5 代入 6 2 4 可得 2020 3 27 NJU SME 7 将 6 2 3 式两边同时除以 由协方差定义得其中是证券j的收益率 将 6 2 6 代到 6 2 7 得到证券风险补偿的均衡关系式 由于是严格凹函数 1份证券的风险补偿为正的充要条件是该证券1时期的随机回报支付与其1时期的总量消费正相关 2020 3 27 NJU SME 8 注意在一个两期 0时期和1时期 经济模型中 由效用函数的严格单调性 1时期的总量消费与1时期的总量禀赋相等 从而与1时期的总量财富相等 因此 6 2 8 可写成即一份证券的风险补偿为正的必要和充分条件为该证券的1时期的随机回报支付与1时期的总量财富正相关 这一结果与CAPM一致 2020 3 27 NJU SME 9 由此式可得 在其他条件不变时 一份在总量财富较低的状态下回报支付较多的证券的价值高于一份在总量财富较高的状态下回报支付较多的证券 市场资产组合是所有可交易证券的资产组合 因此其收益率也必须满足 6 2 9 式 2020 3 27 NJU SME 10 关系式 6 2 10 说明市场资产组合的风险补偿必定严格大于零 因为而且严格递减使得严格为负 将 6 2 10 式代入 6 2 9 式得到达到均衡时 证券j的风险补偿与市场组合的风险补偿成比 比例系数等于与的协方差和与的协方差的比率 2020 3 27 NJU SME 11 具体效用函数下风险资产估值的显表达式 假设1时期消费的个体效用函数为幂函数 而且市场存在无风险资产 由第五章知 若存在无风险资产而且所有的资产都可以交易 则1时期消费的帕累托最优分配法则在这种情况下是线性的 并且可以实现 进一步 存在一个代表性代理人 其1时期消费的效用函数为幂函数 其中A 2020 3 27 NJU SME 12 因此 6 2 11 式成为注意 当B 1时 个体的效用函数是二次的 而 6 3 3 就成了CAPM关系式 当B 1 2时 代表性代理人1时期消费的效用函数是三次幂的 这种情况下 边际效用函数为 2020 3 27 NJU SME 13 因此时是递增和严格凹的函数 这样 如果 6 3 3 式成为其中是0时期可交易证券的总价值 注意到风险资产j的风险补偿不仅取决于其收益和市场资产组合收益的协方差 而且还依赖于 称之为协偏差 coskewness 2020 3 27 NJU SME 14 欧式看涨期权的定义和性质 定义 1份欧式看涨期权是1份衍生证券 其持有者有权利在期权的到期日以预定的执行价购买1份标的物证券 令表示1份欧式看涨期权在1时期的回报支付 其标的物为1份j证券 在1时期到期且执行价为k 用表示标的物股票价格为时这份看涨期权在0时期的价格 所以其中是1份j证券的随机回报支付 2020 3 27 NJU SME 15 性质 证明 利用无套利定价方法 如果期权执行的概率严格处于0和1之间 不等式就严格成立 下面证明严格成立的不等式 考虑以下策略 卖空1份证券j 买入一份标的物为证券j 执行价为k而且在1时期到期的欧式看涨期权 以无风险利率借出k 1 美元 2020 3 27 NJU SME 16 这一策略的初始成本为 1时期的回报支付为 这一策略1时期的回报支付是非负的 而且由于的概率是严格为正的 1时期的回报支付大于零的概率也是严格为正的 2020 3 27 NJU SME 17 因此 初始成本必须也是严格为正以避免无中生有的套利 即 必须有这等价于最后 因为期权的持有者拥有的是以执行价购买1份标的物证券的权利而非义务 期权的价格必定非负 此外 由假设知期权执行的概率是严格大于零的 因此 2020 3 27 NJU SME 18 把这样的观察结论与 6 5 2 结合起来有 其直觉涵义在于 在1时期以价格k购买一份证券j的义务的现值为 当严格小于k的概率严格大于零时 期权不购买标的物的选择的权利具有严格正的价值 因此看涨期权的价值必然严格大于 另一方面 期权执行的概率严格为正 因此 2020 3 27 NJU SME 19 欧式看涨期权价格是其执行价格的凸函数 下面在全局范围内证明期权价格是其执行价格的凸函数 即 要证明其中并且 证明 考虑如下策略 购买份执行价为k的看涨期权和份执行价为的看涨期权 卖空1份执行价为的看涨期权 不失一般性 假设 2020 3 27 NJU SME 20 这一策略到1时期的回报支付是非负的 因此正好是 6 6 1 式 当的概率严格大于零时 这一不等式就严格成立 2020 3 27 NJU SME 21 性质 1份标的物为一个正权重证券组合 执行价为k的期权的价值低于一个执行价同样为k的以证券为标的物的期权的组合 即 证明 考虑一个正权重证券组合 权重为 j 1 N 其中表示证券j在组合中的权重 注意这一资产组合0时期的成本和1时期的随机回报支付分别为和 2020 3 27 NJU SME 22 令表示1份欧式看涨期权的价格 期权的标的物是一个证券组合 执行价是k 到期日为1时期 这份期权1时期的随机回报支付为 因为max z 0 是z的凸函数 由Jensen不等式得 这一不等式的右边表示的是看涨期权的组合在1时期的随机回报支付 这些看涨期权的执行价格是k 标的物是个别的证券 因此 2020 3 27 NJU SME 23 欧式看涨期权与看跌期权的平价公式 定义 1份欧式看跌期权的持有者有权利在到期日按照执行价出售标的物 令表示1份欧式看跌期权在0时期的价格 标的物是1份证券j 当前 0时期 价格为 执行价格为k而且到期日为1时期 这一看跌期权1时期的回报支付为 欧式看跌期权的价格 可以由其标的物证券的价格和其对应的欧式看涨期权的价格 通过期权平价关系计算得到 2020 3 27 NJU SME 24 我们断言为得到这个关系式 考虑下述策略 以无风险利率借出 卖空1份证券j 而且以执行价k买入1份欧式看涨期权 这一策略1时期的回报支付为 正好是1份执行价为k的欧式看跌期权的回报支付 为了排除套利机会 两项回报支付相同的金融资产组合必须以相同的价格出售 易知是k的增函数 而且 利用与6 5节相似的论证方法可得 2020 3 27 NJU SME 25 给出了期权平价关系 又知道看涨期权是其执行价的递减函数而且看跌期权是其执行价的递增函数 当和在k点可导时 我们有 和此外 根据期权平价关系 也是k的凸函数 2020 3 27 NJU SME 26 欧式看涨期权关于标的物的性质 性质 在标的物的收益分布固定的情况下 1份看涨期权是其标的物价格的递增的凸函数 证明 考虑 假设的分布不随的变化而变化 例如 假设增加至 那么变为 我们首先断定是的增函数 而且如果的概率严格为正 就是严格的增函数 假设收益的分布固定 我们有 2020 3 27 NJU SME 27 下面证是的凸函数 令其中为证是凸函数 必须证明 因为无论为何值 都是k的凸函数 其中 2020 3 27 NJU SME 28 现在取 和 在 6 9 3 式两边同乘 又由 6 9 1 式知关于和k是一阶齐次的 有 2020 3 27 NJU SME 29 利用 的定义 这一不等式可以写为如果 6 9 3 严格成立 6 9 4 就严格成立 由6 6节知 当处于和之间或者等价的处于和之间的概率严格大于零时 6 9 3 不等式严格成立 2020 3 27 NJU SME 30 图6 9 1作为标的物股票价格函数的看涨期权的价格 2020 3 27 NJU SME 31 欧式看涨期权定价公式的推导 这节中 将在这样一些条件下推导欧式看涨期权的定价公式 一定的个体偏好 1时期的总消费量 以及期权标的物资产收益的联合分布 考虑一个两期的证券市场经济体 个体的效用函数是时间可加的 有相同的细致度的幂函数 如 6 3 1 式所示 此外 假设 因为最优分配法则是线性的 均衡配置满足帕累托最优 因此一个代表性代理人可以用幂效用函数构造 其中是时间偏好参数 2020 3 27 NJU SME 32 由 6 2 3 推得 我们进一步假设和服从二元对数正态分布 即和服从均值为的二元正态分布 其方差 协方差矩阵如下 其中是和的相关系数 2020 3 27 NJU SME 33 这一假设推出和服从二元正态分布 其均值为并且方差 协方差矩阵为在上述分布假设下 6 10 1 可写为 2020 3 27 NJU SME 34 其中f z y 是和的联合密度函数 关系式 6 10 2 可以改写成两个积分的差 求出这两个积分的值后 可得如下关系式 和 2020 3 27 NJU SME 35 其中N 是标准正态随机变量的分布函数 而是标准正态密度函数 置 6 10 4 式可用于计算 6 10 3 式右边的第二个积分 因为置 6 10 5 式可用于计算 6 10 3 式右边的第一个积分 2020 3 27 NJU SME 36 容易验证 而且由于 6 10 6 式左边给出了一时期消费在任何状态恒为1单位商品的现值 因而等于 因此 2020 3 27 NJU SME 37 另外 6 2 3 式意味着 6 10 7 式的左边等于1 因此现在将 6 10 4 6 10 5 6 10 8 和 6 10 9 式代入 6 10 3 式 得到 其中关系式 6 10 8 和 6 10 9 也说明 2020 3 27 NJU SME 38 关系式 6 10 10 6 10 13 就是著名的布莱克 舒尔斯 Black Scholes 期权定价公式 这一公式最初是在一个连续时间经济中在股票价格服从几何布朗运动而且无风险利率为已知常数的假设下利用套利方法推导出来的 这里 我们在一个离散时间经济中对分布和个体偏好规定了一些条件后 推导了这一公式 2020 3 27 NJU SME 39 欧式看涨期权定价公式的静态平衡关系 由 6 10 10 和 6 10 13 式知 依赖于标的物的0时期价格 执行价k 无风险利率 以及的方差 但不依赖于的均值 对一些参数有以下比较静态平衡的关系 2020 3 27 NJU SME 40 2020 3 27 NJU SME 41 期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的 在这种经济中 经济行为主体的效用函数是具有相同细致度B的线性风险容忍效用函数 并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券 在市场均衡时 每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市场组合构成的线性组合 并且实现了帕累托最优 这样 如果一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中 在市场均衡时就没有人需要这支期权 几点说明 2020 3 27 NJU SME 42 这就是说 只要期权是按照以上期权定价关系式定价的 那么 在经济处于均衡时 引入一个买入期权 初始的均衡就不会遭到破坏 期权的定价使得在均衡时的经济中没有一个行为主体对其有所需求 在这样的背景下 期权在经济均衡时就没有配置资源的作用 因而有时就被称为多余证券或资产 几点说明 2020 3 27 NJU SME 43 期权定价公式在公司财务中的应用 期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险的公司债券的定价研究 前提假设 假设公司j有 个单位的普通股股票和一支面值为k的贴现债券在外流通 股票和债券的价格分别为Sj和Dj 贴现债券在时期 到期 公司j在时期 的总收入为 我们假设与时期 的总消费构成联合对数正态分布 并且这个分布的参数和我们上一节的讨论相同 的现值是该公司在时期 的价值 我们用Vj来表示 因此 Vj Sj Dj 2020 3 27 NJU SME 44 折现债券到1时期的随机回报支付为 如果公司到1时期有偿付能力 即时 债券的持有者收到折现债券的票面价值 否则 公司破产 债券持有者接管公司并且收到 可以利用Black Scholes期权定价公式直接计算 因此 股权持有者持有的是1份标的物为公司总价值 执行价为k 1时期到期的欧式看涨期权 股权的价值为 其中 2020 3 27 NJU SME 45 运用关系式 6 2 3 复合证券的定价公式计算Dj可得 同时 我们也可以用布莱克 舒尔斯期权定价公式以一种更直接和直观的方式来计算Dj 2020 3 27 NJU SME 46 我们对有风险的公司债券可以作出两种解释债务到1时期的随机回报支付 第一种第二种 2020 3 27 NJU SME 47 解释 利用 6 14 4 式 债券的持有者可以视为在持有该公司的同时向股权持有者出售1份以公司价值为标的物的欧式看涨期权 期权的执行价等于债务的票面价值 另一方面 6 14 5 式说明债券持有者持有的是面值为k的无风险折现债券 同时出售1份以公司价值为标的物 执行价为k的欧式看跌期权 当公司到1时期的收入严格少于k时 股权持有者会以价格k把公司出售给债券持有者 2020 3 27 NJU SME 48 价格密度 利用期权的价格可以给任何复杂证券定价 以记标的物为总消费量 执行价为k 到期日为1时期的欧式看涨期权的价格 于是有其中和是1时期总量消费的现值 2020 3 27 NJU SME 49 由 5 19 2 在1时期的总量消费等于k的状态下 回报支付是1单位商品的基本要求权价格为 价格密度严格为正 2020 3 27 NJU SME 50 价格密度对参数的比较静态分析 弹性 价格密度对总量消费现值的弹性为 注意是k的严格递减函数 而且 因此 当k大时 弹性为正 当k小时 弹性为负 2020 3 27 NJU SME 51 价格密度对标准差的弹性是 当k非常大或者非常小时 这一弹性为正 当k的值在附近时 这一弹性为负 原因在于方差的增加使得观测到极端值的概率与观测到中心值的概率相比有所增加 2020 3 27 NJU SME 52 价格密度对无风险证券价格的弹性是 因此 无风险证券价格的增加降低了