中考数学二轮复习专题练习（下）因动点产生的平行四边形问题新人教版.docx

5.因动点产生的平行四边形问题1.如图，抛物线与轴交于、两点，过点作直线轴，交直线于点（1）求该抛物线的解析式；（2）求点关于直线的对称点的坐标，判定点是否在该抛物线上，并说明理由；（3）点是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交线段于点，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线与轴交于、两点解得抛物线的解析式为（2）过点作轴于，与交于点点在直线上，点和关于直线对称，在和中，又，即点的坐标为当时，点在该抛物线上（3）存在理由：设直线的解析式为则解得直线的解析式为设，则要使四边形是平行四边形，只需又点在点的上方，解得（不合题意，舍去）当时，当点运动到时，四边形是平行四边形2.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于的动直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标解析：（1）由抛物线经过点可得对称轴又抛物线过点，由解得：抛物线的解析式为（2）假设存在满足条件的点，连接、，作轴于，轴于设点的坐标为，其中则，令，即则，方程无解故不存在满足条件的点（3）设直线的解析式为，又过点，解得直线的解析式为由，得又点在直线上，则点于是由于，若以、为顶点的四边形是平行四边形，只需设点，则当时，由，解得或当时，线段与重合，舍去，此时当或时，由，解得，经检验符合题意此时，综上所述，满足条件的点P有三个，分别是，.3.如图，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，且对称轴与轴交于点（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；（2）为中点，直线交轴于，若点的坐标为，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点在直线上，且使得的周长最小，在抛物线上，在直线上，若以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标解析：（1）抛物线的顶点的坐标为（2）令，解得，抛物线与轴负半轴交于点且.过点作轴于由为中点，可得由抛物线的对称性得，由，得，抛物线的解析式为（3）依题意，得，可得直线的解析式为，直线为作点关于直线的对称点，连接交于，则即为所求由，可得直线的解析式为由解得点的坐标为由点在抛物线上，设当为平行四边形的一边时如图，过作轴于，过作于则可证，得，如图，同理可当为平行四边形的对角线时如右图，过作于，过作轴于则可证，得综上，点的坐标为，4.已知正方形的边、分别在、轴的正半轴上，点坐标为，点是轴上一动点，过点作于点，直线交直线于点，连接（1）如图1，当点在线段上时，求证：；（2）在点运动过程中，与以、为顶点的三角形相似时，求的值；（3）如图2，抛物线上是否存在点，使得以、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解析：（1）证明：正方形，（2）解：当点在线段上时若， 当点在延长线上时，如图1若，则可证，解得（舍去）或当点在延长线上时，如图2，又，若，则可证，,，解得（舍去）或当与以、为顶点的三角形相似时，或或（3）若为平行四边形的对角线则（i）当点在线段上时，如图3，代入，得，解得或（舍去）（ii）当点在延长线上时，如图，代入，得，解得（舍去）或（舍去）若为平行四边形的边则（i）当点在延长线上时，如图5，代入，得，解得（舍去）或（ii）当点在延长线上时，如图6、图7，或把代入，得，解得或（舍去）把代入，得，解得或（舍去）综上所述，抛物上存在点，使得以、为顶点的四边形为平行四边形，的值为：，5.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，将沿翻折得（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过、两点，试判断点是否在该抛物线上，并说明理由；（3）设（2）中的抛物线与矩形的边交于点，与轴交于另一点，点在轴上运动，在轴上运动，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，试求点、的坐标解析：（1）在中，过作于，如图1在中，（2）将、两点坐标代入抛物线的解析式中，得：解得抛物线的解析式为当时，点在该抛物线上（3）若是平行四边形的对角线，如图2点在轴上，轴，过点作交轴于，则四边形为平行四边形把代入抛物线解析式，得点的坐标为把代入抛物线解析式，得点的坐标为，点即为点，坐标是若是平行四边形的边，如图3、图4 过点作交轴于，四边形是平行四边形，同理过点作交轴于，四边形是平行四边形6.如图，已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，抛物线与抛物线关于轴对称，点、的对称点分别是、，连接、，设（1）当时，求的值；（2）若点是抛物线上的一个动点（不与点、重合），试判断点关于原点的对称点是否在抛物线上，请说明理由；（3）将沿直线折叠，点的对应点为是否存在实数，使得四边形为平行四边形，且点恰好落在抛物线上，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线的对称轴为直线抛物线与抛物线关于轴对称抛物线的对称轴为直线（2）抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称抛物线设是抛物线上任意一点则点关于原点的对称点，且将点的横坐标代入抛物线的解析式得点不在抛物线上（3）存在、关于轴对称，点在轴上，由折叠知四边形是平行四边形，是等边三角形是等边三角形假设点恰好落在抛物线上由抛物线和等边三角形的对称性可知点一定在抛物线的对称轴上为等边三角形，对于抛物线，根据根与系数的关系，有存在实数，使得四边形为平行四边形，且点恰好落在抛物线上7.已知抛物线经过点，顶点为，点是轴上位于点上方的一个动点，连接并延长，交抛物线于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接、（1）求抛物线的解析式；（1）当、三点构成直角三角形时，求点的坐标；（2）当、四条线段构成平行四边形时，求点的坐标解析：（1）抛物线经过点，抛物线的解析式为（2），若过点作轴，分别交、于、则易证， 设，代入抛物线解析式，得可得直线的解析式为若过点作轴，交于易证，若过点、分别作轴的平行线，交于、设，则，可证，即，得（舍去）或，方程无实数解当为直角三角形时，点的坐标为或（3）若，此时点与点关于轴对称若，设，则解得或当时，则此时直线解析式为与抛物线的交点为此时、四条线段能构成平行四边形符合题意当时，则此时直线解析式为与抛物线的交点为过作于，则，即此时、四条线段不能构成平行四边形不符合题意若，则点必在点上方，此时、四条线段不能构成平行四边形满足条件的点的坐标为或8.如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点的坐标为点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以、为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标解析：（1）在直线解析式中，令，得，点、在抛物线上，解得，抛物线的解析式为：（2），且以、为顶点的四边形是平行四边形，将直线沿轴向上、下平移个单位之后得到的直线，与抛物线轴右侧的交点，即为所求之交点由答图1可以直观地看出，这样的交点有个将直线沿 轴向上平移个单位，得到直线，联立，解得，；将直线沿轴向下平移个单位，得到直线，联立，解得（在轴左侧，不合题意，舍去），当为值为或时，以、为顶点的四边形是平行四边形（3）存在理由：设点的横坐标为，则由答图2所示，过点作于点，则，在中，由勾股定理得：过点作于点，则，而，在中，由勾股定理得：，整理得：，解得（舍去）或，；同理求得，另一点为符合条件的点的坐标为或9.如图，抛物线的顶点在直线上（1）求抛物线顶点的坐标；（2）设抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），试判断的形状；（3）在直线上是否存在一点，使以点、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）顶点的横坐标为，且顶点在上当时，（2）是直角三角形将代入，得，当时，即是直角三角形（3）存在由题意知：直线交轴于点，交轴于点，又与都是等腰直角三角形，即则构成平行四边形只能是或，如图,过点作轴的垂线，过点作轴的垂线并交于点设，则则，由勾股定理得：，或或存在点或使以点、为顶点的四边形是平行四边形10.抛物线与轴交于、两点，与轴负半轴交于点，且（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，为直线上一点，若以、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）如图2，过点作交抛物线于点，交轴于点，直线与抛物线交于点，与直线交于