自动控制原理（第2版） 第2章控制系统的数学模型(2)

自动控制原理 有志者事竞成 大连民族学院机电信息工程学院 二章控制系统的数学模型 of 连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 传递函数 递函数的定义 传递传递函数的基本性质 控制系统的典型环节及传递函数 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难： 1） 微分方程式的阶次一高 ， 求解就有难度 ， 且计算的工作量大 。 2） 对于控制系统的分析 ， 不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应 ， 而且更重视系统的结构 、参数与其性能间的关系 。 对于后者的要求 ， 显然用微分方程式去描述是难于实现的 。 在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 下面以一个简单的 明卷积积分的应用。 已知一 其中输入电压为 ，输出为电容两端的充电电压 。 由基尔霍夫定律得 因为 ， 则上式便改写为 这就是该电路的微分方程式。 方程两端进行拉氏变换 c)()()0()( s U 递函数 (定义 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 若 则有 )0(1)(11)( 其中， )(*0 r )0()1()(00)0( 则有 )(11)( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 () 11)()(R C 始电压 为 零 时，电路 输出函数 的拉氏变换函数与 输入函数 拉氏变换之比，是一个只与电路结构与参数有关的函数，称为 传递函数 。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 式中， 为系统的输入量； 为系统的输出量。 在零初始条件下， 对上式进行拉氏变换得 )()()()()()()()(1111011110)()()()( 11101110 设线性定常数系统的微分方程式为 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 系统的传递函数定义为 与 之比，即 )()()( )()( )()( )(11101110)()()(于是得 其中 在 零初始条件 ( )下，线性定常系统 输出量 的拉氏变换与引起该输出的 输入量 的拉氏变换之比。 据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义： 输入量施加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即 t 0 时，输出量及其各阶导数也均为 0 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2方法一 方法二 运算法 )(1)(1)()(2211)()()(2 R C 传递函数的求法 先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取 画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利用电路分析方法求取。 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 适用于线性定常系统 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 只取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关 一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。对于多输入 多输出的系统，用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系。 递函数的基本性质 传递函数的拉氏反变换是脉冲响应 g(t). 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g t L C s L G s R s L G s 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 传递函数矩阵 描述输出与输入间的关系 )()()()()( 2121111 )()()()()( 2221212 )()()()()()()()(212221121121)()( )()()()()()()()()()()(222112112121，大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 如果已知系统的单位脉冲响应 g(t)， 就可以根据卷积积分求解系统在任意输入 r(t)作用下的输出响应 ， 即 因为 tt 0 )()()()()()()( )()()()( 求取系统时域响应的两种方法 ： 1. 对 r(t)拉式变换得到 R(s),由 得到 C(s)，然后进行拉式反变换得到 c(t). 2. 由传递函数的拉式反变换得到 g(t),由 得到 c(t). )()()( )()()( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 11)()()(求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 )(1 tu r 11 1( ) ( ) e t G 0 01( ) ( ) ( ) d e e t g t ()1()1(1)( (1)()()(方法 1 方法 2 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2 )t(u)t(t)t( dt)t(iC)t(u o 1)t(u)t(t(t(22112 s)s(U)s(求初始电流为电容初始电压为若 )t(u),(i),(u),t()t(u 01再反变换即可。则若初始值均为零解 ,)R C s(s)s(U,: 初态下的拉氏变换得：现在对微分方程求非零)t(u os)(u)s()( )R C s(s 零状态响应 零输入响应输出响应大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 N(s)=0 系统的 特征方程 ， 特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中 ！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。 K 系统处于静态时，输出与输入的比值。 )()()( 1110 . .)( 1110 . .)(当 s=0时 系统的 放大系数 或 增益 )0(传递函数的 特征方程 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 M(s)=b0(s 0的根 s=zi(i=1, 2, , m) ，称为传递函数的零点。 N(s)=a0(s 0的根 s=pj(j=1, 2, , n) ，称为传递函数的极点。 ！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 ) . .()() . .()()(21021011101110. . . . .)(零点和极点 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 3 1 j传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。 零点用“ o” 表示 极点用“ ” 表示 零、极点分布图 22( ) =( 3 ) ( 2 2 )s s 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 制系统的典型环节及传递函数 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。 典型环节 (大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 这种环节的特点是输入不失真 、 不延迟 、 成比例地复现输入信号 。 它的运动方程为 对应的传递函数是 式中， 是环节的输出量； 是环节的输入量； )()()()()( k R(S) C(S) 方框图： 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1：齿轮传动 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2：运算放大器 uu自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比 ，即有 对应的传递函数为 t )()( )()()(2积分环节 方框图： k/s R(s) C(s) 积分环节具有 记忆 功能和明显的 滞后 作用 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1：积分调节器 C Uc(t) R Ur(t) i1 传递函数为： R C )()()( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律 。 它的微分方程为 对应的传递函数为 式中 ， d ( ) ( ) ( )c t K r 1)()()( 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1： 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 理想的微分环节 ， 其输出与输入信号对时间的微分成正比 ， 即有 对应的传递函数为 ()( )()()(4微分环节 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1： 1 )(大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关 ， 而且与输入量的变化率有关 运动方程 对应的传递函数是 1)()()( )()( 一阶微分环节 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 比例环节： 及时成比例地反映调节系统的偏差信号，偏差一产生，调节器立即产生调节作用，以减少偏差。 积分环节：主要是为了消除系统的余差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。 微分环节：能反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号变得太大之前，引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。 通常情况下三种环节并联做 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 这种环节的特点是 ， 如输入为一阶跃信号 ， 则其输出成周期性振荡形式 。 式中 ， 为阻尼比 ， 其值为 01。 由于该传递函数有一对位于 因而这种环节在阶跃信号作用下 ， 其输出必必然会呈现出振荡性质 。 12)()()(22 22d ( ) d ( )2 ( ) ( )t c c t K r 荡环节 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 1： 11)()(2 R C )()()(22传递函数 微分方程 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 例 2：机械平移系统 大连民族学院机电信息工程学院 自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 在有滞后作用的系统中 ， 其输出信号与输入信号的形状完全相同 ， 只是延迟一段时间后重现原函数 。 其动态方程为 它们之间的传递函数为 )()( ( ) e() 环节