平方根和立方根

平方根和立方根 page 1 of 11 中考要求中考要求 内容内容基本要求基本要求略高要求略高要求较高要求较高要求 平方根 算数平方根 算数 平方根平方根 了解开方与乘方互为你运算 了解平方根及算术平方根的概 念 会用根号表示非负数的平 方根及算术平方根 会用平方运算的方法 求某些 非负数的平方根 立方根立方根了解立方根的概念 会用根号 表示数的立方根 会用立方运算的方法 求某些 数的立方根 小故事小故事 第一次数学危机之无理数的发现第一次数学危机之无理数的发现 大约公元前 5 世纪 不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论 当时的毕达哥拉斯学派 重视自然及社会中不变因素的研究 把几何 算术 天文 音乐称为 四艺 在其中追求宇宙的 和谐规律性 他们认为 宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 毕达哥拉斯学派的一项 重大贡献是证明了勾股定理 但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数 之比 不可通约 的情形 如直角边长均为 的直角三角形就是如此 这一悖论直接触犯了毕氏 学派的根本信条 导致了当时认识上的 危机 从而产生了第一次数学危机 到了公元前 370 年 这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决 了 他的处理不可通约量的方法 出现在欧几里得 原本 第 5 卷中 欧多克斯和狄德金于 1872 年给出的无理数的解释与现代解释基本一致 今天中学几何课本中对相似三角形的处理 平方根和立方根平方根和立方根 平方根和立方根 page 2 of 11 仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处 第一次数学危机对古希腊的数学 观点有极大冲击 这表明 几何学的某些真理与算术无关 几何量不能完全由整数及其比来表 示 反之却可以由几何量来表示出来 整数的权威地位开始动摇 而几何学的身份升高了 危 机也表明 直觉和经验不一定靠得住 推理证明才是可靠的 从此希腊人开始重视演译推理 并由此建立了几何公理体系 这不能不说是数学思想上的一次巨大革命 知识点睛知识点睛 一一 平方根 算术平方根平方根 算术平方根 1 1 平方根 平方根 如果一个数的平方等于 那么这个数叫做 的平方根 aa 也就是说 若 则 就叫做 的平方根 2 xa xa 一个非负数 的平方根可用符号表示为 aa 2 2 算术平方根 算术平方根 一个正数 有两个互为相反数的平方根 其中正的平方根叫做 的算术平方aa 根 可用符号表示为 有一个平方根 就是 的算术平方根也是 负数没有平方根 a0000 当然也没有算术平方根 负数的平方根在实数域内不存在 具体内容高中将进学习研究 一个非负数的平方根不一定是非负数 但它的算术平方根一定是非负数 即若 0a 则 0a 3 3 平方根的计算 平方根的计算 求一个非负数的平方根的运算 叫做开平方 开平方与平方是互逆运算 可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根 以及检验 一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根 二二 立方根立方根 1 1 立方根 立方根 如果一个数的立方等于 那么这个数叫做 的立方根 也就是说 若则aa 3 xa 就叫做 的立方根 xa 一个数 的立方根可用符号表 其中 叫做根指数 不能省略 a 3 a3 前面学习的 其实省略了根指数 即 也可以表示为 a2 2 aa 读作 三次根号 读作 二次根号 读作 根号 3 aa 2 aaaa 任何一个数都有立方根 且只有一个立方根 正数的立方根为正数 负数的立方根为负数 的立方根为 00 平方根和立方根 page 3 of 11 2 2 立方根的计算 立方根的计算 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方与立方是互逆运算 可以 通过立方运算来求一个数的立方根 以及检验一个数是不是另一个数的立方根 平方根与立方根的区别与联系 平方根与立方根的区别与联系 1 1 区别 区别 1 根指数不同 平方根的根指数是 2 通常省略不写 立方根的根指数是 3 却不能省略 2 被开方数取值范围不同 平方根中被开方数必须是非负数 而立方根中被开方数可以 为任何数 3 平方的结果不同 平方根的结果除 0 之外 还有两个互为相反数的结果 而立方根的结 果只有一个 4 平方根等于本身的数是 0 算术平方根等于它本身的数是 0 1 立方根等于它本身的 数是 0 1 1 2 2 联系 联系 5 平方根与立方根相等的数是 0 6 平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算 例题精讲例题精讲 一 对平方根的定义和性质的考察一 对平方根的定义和性质的考察 例例 1 的平方根是 9 A 81 B C 3 D 3 3 例例 2 下列命题中 真命题是 A 的平方根是 B 的平方根是 2 2001200149 7 C D 若 则 648 22 ab 22 ab 例例 3 判断题 1 一定是正数 a 2 的算术平方根是 2 aa 3 若 则 2 6a 6a 4 若 则 2 64x 648x 5 的平方根是 648 6 若两个数平方后相等 则这两个数也一定相等 7 如果一个数的平方根存在 那么必有两个 且互为相反数 8 没有平方根 2 a 9 如果两个非负数相等 那么他们各自的算术平方根也相等 平方根和立方根 page 4 of 11 例例 4 当 的算术平方根是 0m 2 m 例例 5 算术平方根是 则 2 ab ab ab 例例 6 若一个自然数的一个平方根是 那么比它大 的自然数的平方根是 m1 巩固 若 则的算术平方根是 4 2 16Aa A 巩固 设是整数 则使为最小正整数的的值是 a48aa 例例 7 x 为何值时 下列各式有意义 1 2 3 2x 2 x 2x 4 5 6 x 1 1x 112xx 二 对平方根的计算的考察二 对平方根的计算的考察 例例 8 求下列等式中的 x 1 若 x2 1 21 则 x 2 x2 169 则 x 3 若 则 x 4 若 x2 则 x 2 9 4 x 2 2 例例 9 求下列各式的值 1 2 2 364925 3 4 0 090 64 4 0 81 169 平方根和立方根 page 5 of 11 5 6 22 2921 11 0 64625 45 巩固 求下列各式中 x 的值 1 2 2 9x 2 2500 x 3 4 2 1 51 30 3 x 2 100 2 0 64x 例例 10 设是整数 则使为最小正有理数的的值是 a1989aa 巩固 已知 是整数 则满足条件的最小正整数为 20nn A 2B 3C 4D 5 例例 11 已知某正数的两个平方根是与 求这个正数 35a 1a 例例 12 已知为两个连续整数 且 则 a b 7ab ab 三 对平方根的非负性的考察三 对平方根的非负性的考察 例例 13 如果与互为相反数 求的值 3ab 22ab 27 ab 例例 14 已知 求的平方根 4 942 492baa 11 ab 平方根和立方根 page 6 of 11 巩固 已知 x y z 满足 求的值 2 11 4412 0 52 xyyzz xz y 一 对立方根的定义和性质的考察一 对立方根的定义和性质的考察 例例 15 1 下列说法中 不正确的是 A 8 的立方根是 2 B 的立方根是8 2 C 0 的立方根是 0 D 的立方根是 a 23 a 2 的立方根是 61 164 A B C D 3 61 1 4 1 14 1 14 1 14 3 某数的立方根是它本身 这样的数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 下列说法正确的是 正数都有平方根 负数都有平方根 正数都有立方根 负数都有立方根 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 若 a 立方比 a 大 则 a 满足 A a 0 B 0 a 1 D 以上都不对 6 下列运算中不正确的是 A B 33 aa 3 273 C D 333 231 31 6414 巩固 1 若 x 的立方根是 4 则 x 的平方根是 2 中的 x 的取值范围是 中的 x 的取值范围是 33 11 xx11 xx 平方根和立方根 page 7 of 11 3 27 的立方根与的平方根的和是 16 4 若则 x与y 的关系是 3 3 0 xy 5 如果那么的值是 3 44a 66 2a 6 若则 x 33 2141xx 7 若 m 0 则 33 mm 8 若的立方根是 4 则的平方根是 59x 34x 二 对立方根的计算的考察二 对立方根的计算的考察 例例 16 求下列等式中的 x 1 若 x3 0 729 则 x 2 x3 则 x 64 27 3 若 则 x 4 若 x3 则 x 3 x 5 2 3 2 例例 17 求下列各式的值 1 2 3 0 064 3 8 3 4 3 8 125 3 3 64 5 6 3 10 2 27 33 11 425 7 2 33 27 2 1 巩固 1 填表 a0 0000010 001110001000000 3 a 平方根和立方根 page 8 of 11 2 由上你发现了什么规律 用语言叙述这个规律 3 根据你发现的规律填空 已知 则 3 31 442 3 3000 3 0 000003 已知 则 3 4567 696 3 0 456 例例 18 的相反数是 的立方根是 3 864 例例 19 若 则 31 815848 1 22 3 1815848 例例 20 333 21600010 125 例例 21 若 求所有可能值 22 3 x 33 2 y xy 三 立方根的综合应用三 立方根的综合应用 例例 22 平方根等于本身的数是 算术平方根等于它本身的数是 立方根等于它本身 的数是 平方根与立方根相等的数是 例例 23 若与互为相反数 求的立方根 8a 2 27 b 33 ab 平方根和立方根 page 9 of 11 例例 24 已知的平方根是 2 的立方根是 3 求的平方根 2x 27xy 22 xy 例例 25 已知 求的值 为正整数 3 2 27ab 235ab 21 3 n ab n 例例 26 已知的平方根是 的立方根是 求的平方根 2a 2 27ab 3 22 ab 例例 27 已知的负的平方根是 的立方根是 求的平方根 xy 3 xy 3 25xy 例例 28 已知 且 求的值 3 xa 2 yb 0y 2 4 8ab 4ba 3 3 18ab xy 例例 29 是的算术平方根 是的立方根 求的立方根 24 3 a b xa 3a 32 3 ba yb 3b yx 平方根和立方根 page 10 of 11 例例 30 若和互为相反数 求的值 3 21y 31 3x x y 课后作业课后作业 1 下列命题中 错误的命题个数是 1 没有平方根 2 100 的算术平方根是 10 记作 2 a 10100 3 数轴上的点不是表示有理数 就是表示无理数 4 是最小的无理数 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 若 则下列等式成立的是 22 ba A B C D 33 ba ba ba ba 3